文档内容
第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
数量积的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分 坐标计算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化简、求
值二倍角的余弦公式
向量加法的法则
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分 无
向量减法的法则
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；当 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
求实数λ与向量a的
数乘 λ<0 时，λa 与 a 的方向 ＝λa＋μa；
积的运算
相反；当λ＝0时，λa＝ λ(a＋b)＝λa＋λb
01．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应
抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并
同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，
用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔OP＝(OA＋OB)．
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
（7）向量的平行关系
， ，
考点一、 平面向量基本概念的综合考查1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.
【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；
零向量方向任意，D错误.
故选：B
2．下列结论正确的是：（ ）
A．若 与 都是单位向量，则 ．
B．若 与 是平行向量，则 ．
C．若用有向线段表示的向量 与 相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A、B，只有当 与 的方向相同且模长相等时才有 ，故A、B均错误；
对于C，若向量 ，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确；
对于D，因为 轴与 轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；
故选：C.
3．（多选）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若 ，则 ， 不是共线向量；
C．若 ，则四边形 是平行四边形；
D． 与 同向，且 ，则
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断
和选择.
【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对B：若 ，也有可能 ， 长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；对C：若 ，则 ， 可以方向不同，所以四边形 不一定是平行四边形，故C错误；
对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.
故选：BCD.
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；
由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；
长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；
向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.
故选：D.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．对任意非零向量 ， 是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
【答案】C
【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，当 时，任意向量都与 共线，则 不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量 ， 是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.
故选：C
3．下列说法错误的是（ ）
A．
B． ， 是单位向量，则C．若 ，则
D．两个相同的向量的模相等
【答案】C
【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ， 是单位向量，则 ，故B正确；
对于C，若 ，则 不能比较大小，故C错误；
对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确.
故选：C.
4．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若 与 都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点M与N不重合
【答案】AC
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，因为 与 的方向可能不同，故错误；
对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；
对于C，因为x轴、y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
对于D，假设点M与点N重合，则向量 ，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，
故正确；
故选：AC
考点二、 相等向量及其应用
1．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，能使 一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
【详解】因为 ，故 同向.
对于A: ， 方向相反,A选项错误；
对于B: ，得出 ,不能得出方向，B选项错误；
对于C: , 方向向相同,则 成立，C选项正确；
对于D: ,不能确定 的方向，D选项错误.
故选：C．
2．（2024高三·上海·专题练习）已知向量 ， 不共线，实数 ， 满足 ，则
（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求 ， ，进而求出答案.
【详解】由 ， 不共线，实数 ， 满足 ，
得 ，解得 ， ，
所以 .
故选：A
1．（2023·北京大兴·三模）设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由 表示单位向量相等，则 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出 ，
由 表示 同向且模相等，则 ，所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
2．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为 ．
【答案】（1，5）
【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，
求出点的坐标．
【详解】设D（x，y）则
在平行四边形ABCD中
∵
又∵
∴ 解得
故答案为：（1，5）
【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．
考点三、 平面向量线性运算的综合考查
1．（广东·高考真题）如图所示，已知在 中， 是边 上的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得 ，再由 ，即可得到答案.
【详解】由于 是边 上的中点，则 ..
故选：B.
2．（海南·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形 中， ，且 ，点 是 的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意可得
．
故选：D4．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 的坐标得出 ，设点 ，得出 ，根据 列出方程组求解即可．
【详解】因为 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ．
故选：B．
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量 ， ，点 ，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.
【详解】由题意得， ，
设点B的坐标为 ，则 ，所以点B的坐标为 .
故选：A.
2．（山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.
【详解】如图，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 是平行四边形， ， ，记 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.
【详解】在 中， ， ， ， ，
所以 .
故选：A
考点 四 、平面向量共线定理 与点共线问题
1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线， ， ，则
（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
【详解】对A， 与 不共线，A错误；
对B， 则 与 不共线，B错误；
对于C， 则 与 不共线，C错误；
对于D， ，
即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.
故选：D.
2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】C
【分析】根据向量 共线则 判断即可.【详解】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共
线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故B
错误；
对C，因为 ， ，则 ，故 、 、 三点共线，故C正
确；
对D，因为 ， ，不存在实数 使得
，故 、 、 三点不共线，故D错误.
故选：C
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量 三点共线，则
.
【答案】 /
【分析】由点共线可得 ，再利用两角和的正切公式即可求得结果.
【详解】因为 三点共线，所以 ，
所以 ，
可得
故答案为：
1．已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】A
【分析】运用向量的加法运算，求得 ，从而得出结论.
【详解】因为 ，所以 三点共线，
故选：A．
2．（2024·辽宁·二模）（多选） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点 为 的重心，
所以 ，所以 ，
所以 三点共线，故A正确，B错误；
，
因为 ，
所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，
所以点 的位置随着点 位置的变化而变化，故点 不一定在 的内部，故D错误；
故选：AC．
考点 五 、平行向量（共线向量） 求参数
1．（2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ， ，解得 ．
故答案为：15．
2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量 ， 满足 ，则正数 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出 .思路二：由共线向量基本定理即可得解.
【详解】方法一：由已知有 ， ，解得 .方法二：设 ，由题意 ，解得 .
故选：B.
3．（23-24高一下·广东河源·期中）已知 是两个不共线的向量， ，若 与 是共
线向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量共线可设 ，进而对比系数列式求解即可.
【详解】因为 是两个不共线的向量， ，
若 与 是共线向量，设 ，则 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意得 ，
．
又 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： .
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.【详解】 ，故 ，解得 .
故选：D
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，即 ，
又 ， 不共线，
所以 ，解得 .
故选：A
3．（2024·江苏·二模）已知非零向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个向量平行的性质可得 ，化简可得 ，利用齐次式即可得到答案.
【详解】因为 ， 为非零向量，所以 ，即
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，
即 ，由于 ，所以两边同除 ，
1
可得： ，解得：tanα= 或 (舍去),
3所以 .
故选：D
一、单选题
1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若 ，则 只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若 ，则 方向相同，C 正确；
对于D：若 ，如果 为零向量，则不能推出 平行，D错误.
故选：C.
2．（22-23高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形 中，若 ，则（ ）
A．四边形 是平行四边形 B．四边形 是矩形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是正方形
【答案】A
【分析】由 推出 ，再根据向量相等的定义得 且 ，从而可得答案.
【详解】因为 ，故 ，即 ，
故 且 ，故四边形 一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.
故选：A.
3．（2024高三·全国·专题练习）设 分别为 的三边 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据向量的线性运算可得结果.
【详解】
，
故选：A.
4．（2021·全国·二模）已知向量 和 不共线，向量 ， ， ，若 ､
､ 三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据A、B、D共线的条件得到 ，进而得到 ，根据平面向量基本定理
中的分解唯一性，得到关于 的方程组，求解即得.
【详解】因为 ､ ､ 三点共线，
所以存在实数λ，使得 ，
，
所以 ，
∴ ，解得 .
故选：A.
5．（2024·陕西西安·一模）已知点 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设 的中点为D，连接 ，点 是 的重心，则P在 上，
且，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 ， ， ， ，则与向量 同方
向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，
从而与向量 同方向的单位向量为 .
故选：A.
7．（22-23高一下·江西九江·期中）设 为两个非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为 ，所以 同向共线，所以 ，
因为 ，所以 同向共线，此时 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A
二、多选题
8．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为 的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【分析】根据零向量的定义与性质，判断出A项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出B、D
两项的正误；根据单位向量的定义，判断出C项的正误．
【详解】解：对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；
对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．
故选：ACD．
三、填空题
9．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量 共线的向量 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据共线向量定理求解即可
【详解】与向量 共线的向量为 .
取 ，可得出一个与向量 共线的向量为
（答案不唯一，满足 即可）.
故答案为： （答案不唯一）
10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量 ，若 与 共线，则实数 ．
【答案】2
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】 ，
若 与 共线，则 ，
解得 .
故答案为： .一、单选题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
③ （ 为实数），则 必为零.
④ 为实数，若 ，则 与 共线.
其中正确的命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比
较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若 （ 为实数），则 也可以零，因此命题
也是错误的；若 为0，尽管有 ，则 与 也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A．
2．已知， ，则与 共线的单位向量是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】利用 求得与 共线的单位向量
【详解】 ，故与 共线的单位向量为 ，即
或 ，故选B.
【点睛】本小题主要考查单位向量的知识，考查共线向量的坐标表示，属于基础题.
3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的
单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【分析】求出 的坐标，除以 ，再考虑方向可得．
【详解】由 得 ，即 ， ，，
，
，
与 同向的单位向量为 ，反向的单位向量为 ．
故选：C．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若 ，则 与 的方向相反
D．若 ，则
【答案】B
【分析】对于A：利用向量不能比较大小直接判断；对于B：利用向量的线性运算法则直接判断；对于C：
由 ，可以得到 与 的方向相同或 与 中有零向量.对于D： 的方向不确定.即可判断.
【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B： .故B正确；
对于C：若 ，则 与 的方向相同或 与 中有零向量.故C错误；
对于D：若 ，但 的方向不确定.故D错误.
故选：B
5．（2024·四川·模拟预测）如图， 是 边 的中点， 在 上，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案.【详解】由题意有 ，
所以 ．
故选：A
6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在 中，M为线段 的中点，G为线段 上一点， ，
过点G的直线分别交直线 ， 于P，Q两点， ， ，则 的最
小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的线性运算得到 ，再利用三点共线的充要条件，得到 ，再
利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段 的中点，所以 ，又因为 ，所以
，
又 ， ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.故选：B.
二、填空题
7．（2024·青海西宁·二模）若向量 不共线，且 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】根据题意，可设 为一组基向量，利用向量共线定理和向量基本定理运算求解.
【详解】因为 不共线，所以可设 为一组基向量，
因为 ，所以 ，使得 ，
所以 ，所以 ，消去 ，得 ．
故答案为：1.
8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量 ， ，若 ，则 .
【答案】
【分析】由向量平行可得 ，再由向量线性运算的坐标表示可得 ，最后应用向量模长的
坐标运算求 .
【详解】由题设， ，即 ，则 ，
所以 ，故 .
故答案为： .
9．（2024·山西·三模）如图，函数 的图象经过点A，B，点T在x轴上，若 ，
则点B的纵坐标是 ．【答案】 /
【分析】设 ，计算出 ， ，再设 ，根据中点公式得到 的坐标，将其代
入三角函数解析式并结合二倍角的余弦公式得到 ，解出即可.
【详解】由题意设 ，则 ， ，
设 ， ，因为 ，
所以 为线段 的中点，所以 ， ，
又点 在函数图象上，所以 ，
又 ， ，
所以 即 ，所以 （负舍），
则点B的纵坐标是 .
故答案为： .
10．（2022高三·全国·专题练习）设两个向量 和 ＝ ，其中
为实数.若 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由 可得 ，且 ，整理得 ，结
合三角函数和二次函数性质求出 范围，即可得 范围，同时将 代换成关于 表达式，
即可求解.
【详解】∵2 ＝ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得 ≤m≤2，
∴ ，又∵λ＝2m－2，∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为： .
一、单选题
1．（四川·高考真题）如图，正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将 平移到 ， 平移到 ，
故 ，
故选D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
2．（安徽·高考真题）若 ， , 则 （ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
【答案】B
【详解】试题分析：因为向量 ， ，所以 ．故
选B．
考点：向量减法的坐标的运算．
3．（辽宁·高考真题）已知点 则与 同方向的单位向量为
A． B． C． D．【答案】A
【详解】试题分析： ,所以与 同方向的单位向量为 ，
故选A.
考点：向量运算及相关概念.
4．（山东·高考真题）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么 能够表示为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意， ．
故选：B
5．（全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步
应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得，
所以 ，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，
则 等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知得，
而 所以 ，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
7．（山东·高考真题）已知向量 与 且 则一定共线的三点是
（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，
所以 ,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为 ，
所以 ,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以 ，所以 ，又 是 与 的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为 ，
所以 ,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
8．（广东·高考真题）已知平面向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
【分析】由 ，求得 ，再利用向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以m=-4， ，
所以 =（-4，-8），
故选：D
9．（海南·高考真题）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）
A． ， 方向相同 B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ， D．存在不全为零的实数 ， ，
【答案】D
【解析】根据 ， 共线的定义得到向量 ， 共线的充要条件
【详解】由 ， 共线的定义，
若 ， 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 ，使得 ；
若 ，则由两向量共线知，存在 ，使得 ，
即 ，符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.
二、填空题
10．（全国·高考真题）已知向量 ，且 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示得出 ，求解即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
11．（上海·高考真题）已知点 和向量 ，若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【详解】试题分析：设点 ， ，因此 ，得 ，得点
．
考点：平面向量的坐标表示．
12．（全国·高考真题）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 ．
【答案】
【详解】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．
考点：向量共线．
13．（全国·高考真题）已知向量 ， ， ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
14．（浙江·高考真题）已知 ，若平面内三点A（1， ），B（2， ），C（3， ）共线，则
．
【答案】 /
【详解】 ， ，
(舍负)．
故答案为： .
15．（陕西·高考真题）已知向量 （2，﹣1）， （﹣1，m）， （﹣1，2），若（ ）∥ ，
则m＝
【答案】-1
【分析】先求出 （1，m﹣1），再由（ ）∥ ，能求出m．【详解】解：∵向量 （2，﹣1）， （﹣1，m）， （﹣1，2），
∴ （1，m﹣1），
∵（ ）∥ ，
∴ ，
解得m＝﹣1．
【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
