文档内容
第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
数量积的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分 坐标计算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化简、求
值二倍角的余弦公式
向量加法的法则
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分 无
向量减法的法则
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；当 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
求实数λ与向量a的
数乘 λ<0 时，λa 与 a 的方向 ＝λa＋μa；
积的运算
相反；当λ＝0时，λa＝ λ(a＋b)＝λa＋λb
01．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应
抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并
同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，
用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔OP＝(OA＋OB)．
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
（3）向量的数乘运算
，则：
（4）向量的模
，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
（7）向量的平行关系
， ，
考点一、 平面向量基本概念的综合考查1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
2．下列结论正确的是：（ ）
A．若 与 都是单位向量，则 ．
B．若 与 是平行向量，则 ．
C．若用有向线段表示的向量 与 相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
3．（多选）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若 ，则 ， 不是共线向量；
C．若 ，则四边形 是平行四边形；
D． 与 同向，且 ，则
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
2．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．对任意非零向量 ， 是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
3．下列说法错误的是（ ）
A．
B． ， 是单位向量，则
C．若 ，则D．两个相同的向量的模相等
4．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若 与 都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点M与N不重合
考点二、 相等向量及其应用
1．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，能使 一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·上海·专题练习）已知向量 ， 不共线，实数 ， 满足 ，则
（ ）
A．4 B． C．2 D．
1．（2023·北京大兴·三模）设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为 ．
考点三、 平面向量线性运算的综合考查
1．（广东·高考真题）如图所示，已知在 中， 是边 上的中点，则 （ ）A． B．
C． D．
2．（海南·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形 中， ，且 ，点 是 的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量 ， ，点 ，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在 中， ，则 （ ）A． B．
C． D．
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 是平行四边形， ， ，记 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
考点 四 、平面向量共线定理 与点共线问题
1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线， ， ，则
（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量 三点共线，则
.
1．已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
2．（2024·辽宁·二模）（多选） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满足
，则（ ）A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
考点 五 、平行向量（共线向量） 求参数
1．（2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为 ．
15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量 ， 满足 ，则正数 （ ）
A．1 B． C． D．2
3．（23-24高一下·广东河源·期中）已知 是两个不共线的向量， ，若 与 是共
线向量，则 .
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 ．
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．（2024·江苏·二模）已知非零向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．一、单选题
1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（22-23高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形 中，若 ，则（ ）
A．四边形 是平行四边形 B．四边形 是矩形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是正方形
3．（2024高三·全国·专题练习）设 分别为 的三边 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·二模）已知向量 和 不共线，向量 ， ， ，若 ､
､ 三点共线，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2024·陕西西安·一模）已知点 是 的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 ， ， ， ，则与向量 同方
向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高一下·江西九江·期中）设 为两个非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
二、多选题
8．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为 的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
三、填空题
9．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量 共线的向量 .
10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量 ，若 与 共线，则实数 ．
一、单选题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
③ （ 为实数），则 必为零.
④ 为实数，若 ，则 与 共线.
其中正确的命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知， ，则与 共线的单位向量是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的
单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若 ，则 与 的方向相反
D．若 ，则5．（2024·四川·模拟预测）如图， 是 边 的中点， 在 上，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在 中，M为线段 的中点，G为线段 上一点， ，
过点G的直线分别交直线 ， 于P，Q两点， ， ，则 的最
小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、填空题
7．（2024·青海西宁·二模）若向量 不共线，且 ，则 的值为 ．
8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量 ， ，若 ，则 .
9．（2024·山西·三模）如图，函数 的图象经过点A，B，点T在x轴上，若 ，
则点B的纵坐标是 ．
10．（2022高三·全国·专题练习）设两个向量 和 ＝ ，其中为实数.若 ，则 的取值范围是 .
一、单选题
1．（四川·高考真题）如图，正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
2．（安徽·高考真题）若 ， , 则 （ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
3．（辽宁·高考真题）已知点 则与 同方向的单位向量为
A． B． C． D．
4．（山东·高考真题）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么 能够表示为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．6．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，
则 等于
A． B． C． D．
7．（山东·高考真题）已知向量 与 且 则一定共线的三点是
（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
8．（广东·高考真题）已知平面向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
9．（海南·高考真题）平面向量 ， 共线的充要条件是（ ）
A． ， 方向相同 B． ， 两向量中至少有一个为零向量
C． ， D．存在不全为零的实数 ， ，
二、填空题
10．（全国·高考真题）已知向量 ，且 ，则 ___________.
11．（上海·高考真题）已知点 和向量 ，若 ，则点 的坐标为 ．
12．（全国·高考真题）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 ．
13．（全国·高考真题）已知向量 ， ， ．若 ，则 ．
14．（浙江·高考真题）已知 ，若平面内三点A（1， ），B（2， ），C（3， ）共线，则
．
15．（陕西·高考真题）已知向量 （2，﹣1）， （﹣1，m）， （﹣1，2），若（ ）∥ ，
则m＝_________
