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考点 34 平面向量的概念与线性运算
【命题解读】
平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线
性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题
【基础知识回顾】
1. 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝ b ＋ a ，结合律(a＋b)＋c＝ a ＋ (b ＋ c) ．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝ ( λμ )a ；
②(λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
③λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b ．
3. 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那
么有且只有一个实数λ，使b＝ λ a ．
1、已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋CO；④AB－AC＋BD－
CD，其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 由题知结果为零向量的是①④，故选B.
2、设a，b是非零向量，则a＝2b是＝成立的( )A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 由a＝2b可知，a，b 方向相同，， 表示 a，b 方向上的单位向量，所以＝成立；反之不成立．
故选B.
3、已知MP＝4e＋2e，PQ＝2e＋te，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
1 2 1 2
A. 1 B. 2 C. 4 D. －1
【答案】A
【解析】 ∵M、P、Q三点共线，则MP与PQ共线，∴MP＝λPQ，即4e ＋2e ＝λ(2e ＋te)，得解得t＝1.
1 2 1 2
故选A.
4、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形 中， ， ， ， 分别是 ，
的中点， 与 交于 ，设 ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】由题意可得， ，故 正确；
，故 正确；
，故 错误；
，故 正确．
故选： ．
5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
【答案】 ACD
【解析】 若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点，故A正确；
若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，
即BM＝CB，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
可得2AM＝2xAB＋2yAC，
设AN＝2AM，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.
6、在△ABC中，＝＝，则∠BAC＝_____．
【答案】60°
【解析】 ∵＝，∴＝＝，得△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
考向一 平面向量的有关概念
例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行
四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|，
AB∥DC且AB，DC方向相同，因此AB＝DC.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的
长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充
要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
变式1、．(多选)给出下列命题，不正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
【答案】 ACD
【解析】 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的
起点和终点；
B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD
为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，
而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
故选ACD.
变式2、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa
＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
A F
（1）与 相等的向量有 ；
a
B E
O
b
C D（2）与 相等的向量有
；
与 共线的向量有
（3） ．
答案：（1） ， ， ；（2） ；
（3） ．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考向二 向量的线性运算
例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA－12OB－3OC＝0，则(
)
A.OA＝12AB＋3AC B．OA＝12AB－3AC
C.OA＝－12AB＋3AC D.OA＝－12AB－3AC
【答案】(1)A (2)A
【解析】 (1)∵AB＝a，AC＝b，BD＝BC，
∴AD－AB＝(AC－AB)，
∴AD＝AB＋AC＝a＋b.故选A.
(2)法一：对于A.OA＝12AB＋3AC＝12(OB－OA)＋3(OC－OA)＝12OB＋3OC－15OA，整理，可得
16OA－12OB－3OC＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA－12OB－3OC＝0，所以16OA－12OB＝0，所以
OA＝12AB＋3AC，故选A.
变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于(
)
A.b＋c B.c－bC.b－c D．b＋c
【答案】A
【解析】∵BD＝2DC，
∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)，
∴3AD＝2AC＋AB，
∴AD＝AC＋AB＝b＋c.
变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF＝(
)
A. －AB＋AD B .AB＋AD
B. AB－AD D .AB－AD
【答案】D
【解析】DF＝AF－AD，AE＝AB＋BE.
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴AF＝AE，BE＝BC，
∴DF＝AF－AD＝AE－AD＝(AB＋BE)－AD
＝AB＋BC－AD，
又BC＝AD，∴DF＝AB－AD.故选D.
变式3、1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于( )
A.AB－AC B.AB＋AC
C.AB－AC D.AB＋AC
【答案】1．A 2．A
【解析】 1．作出示意图如图所示．
EB＝ED＋DB＝AD＋CB
＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)
＝AB－AC.故选A.
2．因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，
所以E是AC的中点，
可得DE＝DA＋DC＝(DC＋CA)＋DC＝DC－AC＝AB－AC，故选A.
变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形 中，下列计算错误的是
A． B．
C． D．
【答案】 ．．
【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义， ， 正确；
， 错误；
， 错误； ， 正确．
故选： ．
变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形 为梯形，其中 ， ， ， 分别为
， 的中点，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为四边形 为梯形，其中 ， ， ， 分别为 ， 的中点，
； 对为 的中线；
； 对
；的、 对
； 错；
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平
行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考向三 共线定理的应用
例3、如图，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表
示OM.
【解析】 设OM＝ma＋nb，则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD＝OD－OA＝OB－OA＝－a＋
b.又∵A、M、D三点共线，
∴AM与AD共线．∴存在实数t，使得AM＝tAD，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋b)．
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵CM＝OM－OC＝ma＋nb－a
＝(m－)a＋nb，CB＝OB－OC＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线．
∴存在实数t ，使得CM＝tCB，∴(m－)a＋nb＝t(－a＋b)，∴消去t 得，4m＋n＝1②.由①②得m
1 1 1 1
＝，n＝，∴OM＝a＋b.
变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则
使等式x2OA＋xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0} B.∅
C.{－1} D.{0，－1}
【答案】C
【解析】
方法一 若要x2OA＋xOB＋BC＝0成立，BC必须与x2OA＋xOB共线，由于OA－OB＝BA与BC共线，所以
OA和OB的系数必须互为相反数，则x2＝－x，解得x＝0或x＝－1，而当x＝0时，BC＝0，此时B，C两点
重合，不合题意，舍去.故x＝－1.
方法二 ∵BC＝OC－OB，∴x2OA＋xOB＋OC－OB＝0，即OC＝－x2OA－(x－1)OB，∵A，B，C三点共线，
∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2OA＋xOB＋BC＝0，此时B，C两点
重合，不合题意，舍去.故x＝－1.
变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形 中， ， ， 与 交于 ，则下列结
论正确的是
B．
A．
C． D．
【答案】 ．
【解析】如图，
， 为 的中点，
， 正确；
， ，
， 错误；
设 ，且 ， ， 三点共线，
，解得 ，
， 正确；
， 错误．
故选： ．变式3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，
∴AB，BD共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量
⇔
共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1、在△ABC中，点G满足GA＋GB＋GC＝0.若存在点O，使得OG＝BC，且OA＝mOB＋nOC，则m－n等
于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】 D
【解析】 ∵ GA＋GB＋GC＝0，
∴OA－OG＋OB－OG＋OC－OG＝0，∴OG＝(OA＋OB＋OC)＝BC＝(OC－OB)，
可得OA＝－OC－OB，
∴m＝－，n＝－，m－n＝－1，故选D.
2、A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋
μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
【答案】 B
【解析】 设OC＝mOD，则m>1，
因为OC＝λOA＋μOB，所以mOD＝λOA＋μOB，
即OD＝OA＋OB，
又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
AD
3、【2018年高考全国I卷理数】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，所以 .
故选A.4、.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.AB－AC＝BC
B.AB＋BC＋CA＝0
C.若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若AC·AB＞0，则△ABC为锐角三角形
【答案】 BC
【解析】 由向量的运算法则知AB－AC＝CB；AB＋BC＋CA＝0，故A错，B对；
∵(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，
∴AB2＝AC2，即AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故C对；
∵AC·AB＞0，
∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．
故选BC.
5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为
BC边上一点，且 ，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】ABC
【解析】
∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ，B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
6、【江苏卷】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
（m为常数），则CD的长度是________．【答案】
【解析】∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
7、在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，·BA＋·BC＝·BD，则四边形ABCD的面积为________.
【答案】
【解析】 由|AB|＝|DC|，＋＝可知四边形ABCD为菱形，则有|AB|＝|DC|＝，
＝，即＝，两边平方，
得1＋2·＋1＝3，＝．
＝，所以cos〈BA，BC〉＝60°．
S＝|AB||BC|sin 60°＝××＝
8、已知向量a＝2e －3e ，b＝2e ＋3e ，其中e ，e 不共线，向量c＝2e －9e ，问是否存在这样的实数λ，
1 2 1 2 1 2 1 2
μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解析】 ∵d＝λ(2e－3e)＋μ(2e＋3e)
1 2 1 2
＝(2λ＋2μ)e＋(－3λ＋3μ)e，
1 2
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e＋(－3λ＋3μ)e＝2ke－9ke，
1 2 1 2
即得λ＝－2μ．
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
