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第二十三章 旋转（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期末）如图，两块完全相同的含 角的直角三角板 和
叠合在一起，将三角板 绕直角顶点 按逆时针方向旋转角 ，有以下四个结论：
①当 时， 与 的交点恰好为 中点；
②当 时， 恰好经过 ；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得
④在旋转过程中，始终存在 ；
共中结论正确的有多少个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】如图1所示，设 与 交于H（不包括 ），根据含30度角的直角三角形的性质得到
，再证明 是等边三角形，得到 ，由此即可判断①；同理可得
，当 时，如图2所示，利用三角形内角和定理分别求出
，则 ，由此即可判断②；如图3所示，分别在
上取一点E、F，使得 ，过点F作 交 于G，证明
，得到 ，再证明四边形 是平行四边形，得到 ，由此推出
，即可判断③；如图4所示，设直线 与直线 交于M，根据等边对等角和三角形内角和定理得到 ，同理可得 ，再利用四边形内角和定理可得
，由此即可判断④．
【详解】解：如图1所示，设 与 交于H（不包括 ），
∵在 中， ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，即点H是 的中点，
∴当 时， 与 的交点恰好为 中点，故①正确；
同理可得
当 时，如图2所示，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 三点共线，即 恰好经过 ，故②正确；如图3所示，分别在 上取一点E、F，使得 ，过点F作 交 于G，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，故③错误；如图4所示，设直线 与直线 交于M，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴在旋转过程中，始终存在 ，故④正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判断，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中， ， ，将
绕点 顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为 的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ；第二次变化后得到等腰三角形
，点 的对应点为 ；第三次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为
……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，可得点 ， ， 在第二象限， ， ， ，推出 ，可得
结论．
【详解】解： 在平面直角坐标系中， ， ，绕点 顺时针旋转并且按一定规律放
大，每次变化后得到的图形仍是顶角为 的等腰三角形．
第一次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ，
∴ ；
第二次变化后得列等腰三角形 ，点 的对应点为 ， ；
∴ ；第三次变化后得到等腰三角形 ，点 的对应点为 ；
∴ ；
……
由图可知：
绕点 每次顺时针旋转 ，并且腰长增加1，
∴旋转三次完成一周，故点 ， ， ，……在第三象限，
， ， ，……
， ，
∴ ，
∴点 到 轴距离为 ，到 轴距离为
， ，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于
中考常考题型．
3．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图， 是正 内一点， ， ， ，将
线段 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论： 可以由 绕点 逆时针
旋转 得到； 点 与 的距离为 ； ； ；
，其中正确的结论是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明 ，又 ，所以 可以由 绕点 逆时针旋转 得到，
故结论①正确；由 是等边三角形，可知结论②正确；在 中，由三边长为 ， ， ，得
是直角三角形；进而求得 ，故结论③正确； ，故
结论④正确；将 绕点 逆时针旋转 ，使得 与 重合，点 旋转至 ，
，故结论⑤正确．
【详解】解：如图所示：
∵ 为正三角形，
， ，
∵线段 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，
， ，
，
，
又 ， ，
，
又 ，
可以由 绕点 逆时针旋转 得到，
故结论①正确；
连接 ，
， ，
是等边三角形，
，
故结论②正确；，
，
在 中， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
故结论③正确；
四边形 的面积 ，
过点 作 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴四边形 的面积 ，
故结论④不正确；
如图所示：将 绕点 逆时针旋转 ，使得 与 重合，点 旋转至 ，连接 ，
， ，
是等边三角形，
，
，
，是直角三角形，且 ，
同结论④证明过程可求得： ， ，
，
故结论⑤正确；
综上所述：结论①②③⑤正确．
故选A．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的
逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
4．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，若点
在对角线 上运动，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ．点 在 上，
且 ．
给出以下四个结论： ① ， ② ，③线段 的最小值是 ，④ 面积的
最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【分析】①根据旋转的性质证明 为等腰直角三角形，即可得出结论；
①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“ ”证明 ，得出 ，
，证明 ，根据勾股定理即可证明结论；
③根据 ，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点H，
此时 最小值即为 的长，求出 的长即可；
④根据 ，得出 ，表示出，即可求出最大值．
【详解】解：根据旋转可知， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，故①正确，符合题意；
∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确，符合题意；
③∵ ，
∴点F总是在过点C与 垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点H，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，i∴ ，
即 的最小值为 ，故③正确，符合题意；
④∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
∴当 时， 的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意；
综上分析可知，其中正确的是①②③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形
的判定和性质，根据“ ”证明 ，是解题的关键．
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知四边形 是边长为1的正方形，点E、点F分
别在边 、 上， ，连接 ，连接 分别交 、 于点G、点H．下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 的面积的最大值为 ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】C
【分析】证 ，可得 ， ，证明 ，可得 ，可
得 ，故①正确；由勾股定理可求 ，可得 ，故③正确；
先求出 的最小值，可求 的面积的最大值为 ，故④正确，即可求解．
【详解】解：①延长 到点M，使 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
{
AM=AF
∠MAE=∠FAE，
AE=AE
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
②将 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
③∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；④将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 的外接圆 ，连接 ， ， ，过点O作 于点H，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，∴ 的面积的最大值为 ．故④正确，
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加
恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，平行四边形 中， ，E
是边 上一点，且 是边 上的一个动点，将线段 绕点E逆时针旋转 ，得到 ，连接
，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】取 的中点N，连接 作 交 的延长线于H，根据三角形全等的判定与性
质可以得到 ，由三角形三边关系可得 ，利用勾股定理求出 的值即可得到解答．
【详解】解：如图，取 的中点N，连接 ，作 交CD的延长线于H，
由题意可得：
∵点N是 的中点，
∴
∴
∵
∴ 是等边三角形，
∴
∴∵
∴
∴
∴
∴点G的运动轨迹是射线 ，
∵
∴
∴
∴
在 中，
∴ ，
∴在 中， = = ，
∴ ≥ ，
∴ 的最小值为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定
与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是边长为6的等边三角形，点E为高 上的动点．连接
，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．
【答案】【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即
，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 为高 上的动点．
∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ．且 是边长为 的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点在射线 上运动，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，
则 ，
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定
理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称的性质是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， ，点P在 内，且 ，， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】将 绕点C逆时针旋转 得到 ，根据旋转的性质，勾股定理 ，
，根据勾股定理的逆定理， ，得到 ，
继而得到 ，结合 ，判定A，P，D三点共线，运用勾
股定理计算即可．
【详解】如图，将 绕点C逆时针旋转 得到 ， ，
根据旋转的性质，得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A，P，D三点共线，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转
的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， 为 轴正半
轴上一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，则线段 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】作 轴交 轴于 ，作 轴交 轴于 ，可证 ，可得 ，
，设 ，则有 ， ， ，
，即可求解．
【详解】解：如图，作 轴交 轴于 ，作 轴交 轴于 ，
四边形 是矩形，
， ，
，将线段 绕点P逆时针旋转90°，
， ，
，
，
在 和 中
，
（ ），
， ，
， ，
， ，
设 ，则有 ，
，
，
在 中
，
当 时， 有最小值 ，
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的的判定及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，配方
法求代数式的最值等，掌握相关的判定定理及性质，配方法求代数式最值的求法是解题的关键．
10．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）如图，矩形 的对角线 和 交于点O， ，，在 的延长线上有一动点E，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 ，得到线段 ，连接
，则线段 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】过点F作 于点G，证明 ，得出 ， ，则
点F在射线 上，当 时， 取最小值，过点O作 于点H，根据勾股定理可得和矩形
的性质求出 ，即可求解．
【详解】解：过点F作 于点G，
∵ 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ， ，
∵点E在 的延长线上，
∴点F在射线 上，
当 时， 取最小值，
过点O作 于点H，
根据勾股定理可得： ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等是判定，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握矩形的性
质，正确画出辅助线，构造全等三角形，推出点F的运动轨迹．
11．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在 中，将 绕点A顺时针旋转 至 ，将 绕
点A逆时针旋转 至 ，得到 ，使 ，我们称
是 的“旋补三角形”， 的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中
心”．下列结论正确的有 ．① 与 面积相同；
② ；
③若 ，连接 和 ，则 ；
④若 ， ， ，则 ．
【答案】①②③
【分析】延长 ，并截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，根据
， ，得出 ，证明 ，得出 ，即可判断①正确；根据
三角形中位线性质得出 ，根据 ，得出 ，判断②正确；根据 时，
，
得出 ， ， ， ，根据四边形内角和得出
，求出 ，
判断③正确；根据②可知， ，根据勾股定理得出 ，求出
，判断④错误．
【详解】解：延长 ，并截取 ，连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据旋转可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 面积相同，故①正确；
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
当 时， ，
∴ ， ， ， ，∵ ，
∴ ，
即 ，故③正确；
∵ ，
∴根据②可知， ，
∵当 时， ， 为中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形
内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明 ．
三、解答题
12．（2022秋·山西大同·九年级统考阶段练习）综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形 的对角线 和 相交于点 ，点
是正方形 内的一点， ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 ， 的对应点
分别为点 ， ，直线 经过点 ．
特例探究：
（1）如图2，当点 与点 重合时，判断 和 的数量关系并证明；
操作探究：（2）如图1，当点 与点 不重合时，判断 ， 和 之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，将“正方形 ”改为“菱形 ”，将“ 绕点 逆时针旋转 得到 ”
改为“ 绕点 逆时针旋转 得到 ”，其余条件不变，请直接写出 ， 和 之间的数
量关系．
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ， ， ，由旋转的
性质可得 ，可得四边形 是正方形，即可得出结论；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由旋转的性质可得 ， ，
，可求 ，由等腰直角三角形的性质可求 ，即可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ，由四边形内角和定理可求
，由“ ”可证 ，可得 ，可得结论．
【详解】解：（1） ．
证明： 四边形 是正方形，
， ， ， ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 与点 重合，
， ，
，
四边形 是菱形，
又 ，四边形 是正方形，
；
（2） ，理由如下：
如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
即： ；
（3） ，理由如下，
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，并延长 交 的延长线于点 ，
于点 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ， ，
， 都是等边三角形，
，
，
，
，
，
又 ， ，
， ，
，
四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，，
又 ， ，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性
质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）将一副直角三角板 和 如图（1）放置，此时
四点在同一条直线上，点A在边 上，其中 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)将图（1）中的三角板 绕点A以每秒 的速度，按顺时针方向旋转一定的角度
后，记为三角板 ，设旋转的时间为t秒．
①当旋转至图（2）时，此时 ，求a的值；
②若在旋转过程中，三角板 的某一边恰好与 所在的直线平行，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据题意，由三角形外角定理即可求解；
（2）①当 时，分两种情况，第一种当旋转角度在 之间时，根据三角形外角定理
得 ，再根据 即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转 ；
②分三种情况讨论：第一种当 时，a为 或a为 ，第二种当 时，a为 或a为
， ，a为 ，根据角度转动速度分别求解t即可．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）解：①如图，
，
，
由（1）知， ， ，
， ，
，
如图， 与 延长线交于点 ，
由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转 ，
三角板 绕点A以每秒 的速度按顺时针方向旋转，
，
；
解：②如图，当 时，，
，
，
，
a为 或a为 ，
（秒）， （秒）．
如图，当 时，
，
，
a为 或a为 ，
（秒）， （秒），
．
如图，当 时，此时a为
∴ ，
综上所述，
【点睛】本题考查角的运动和角的运算及平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质和角度的运
算是解题的关键．
14．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形 中，连接 ，点E是边 上
的一点， 交 于点F，点P是 的中点，连接 ．
(1)如图①，探究 与 有何关系，并说明理由；
(2)若将 绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接 ，取 的中点P，连接 ，请问在该条
件下，①中的结论是否成立，并说明理由；
(3)如果把 绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接 ，取 的中点P，连接 ，请
你直接写出 与 的关系．
【答案】(1) ，且 ；理由见详解
(2) ，且 ；理由见详解
(3) ，且 ；理由见详解
【分析】（1）过点 作 ，通过条件证明 ，就可以得出结论 ， ；（2）作 于 ，根据平行线等分线段定理就可以得出 ，再根据中垂线的性质就可以得出
，
（3）延长 交 延长线于 ，连 ，最后通过证明三角形全等就可以得出结论 ．
【详解】（1） ，且 ．
证明：过 于点 ，延长 交 于点 ，作 于点 ．
则四边形 是正方形，四边形 是矩形，
， ，
，
，
， 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
，
；
（2）成立．证明：图2中，作 ，
则 ，
又 是 的中点，
，
则 是 的中垂线，
，
，
，
是 的中点， ，
则 ，
，
是等腰直角三角形，
，且 ；
（3）图3中，延长 交 延长线于 ，连 ．
， ， ，
四边形 是矩形．， ，
由图（2）可知，
平分 ， ，
，
又 ，
为等腰直角三角形
， ．
．
，
．
， ，
．
，
，
即 ，
又 ，
，
．
在 和 中，
，
．
， ．
， ， ，
，
，
，
即 ，
．
【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．
15．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，有一副直角三角板如图 放置（其中 ，
）， ， 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转．
(1)在图1中， ______；
(2)①如图2，若三角板 保持不动，三角板 绕点 逆时针旋转，转速为 秒，转动一周三角板
就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有 成立；
②如图 ，在图 基础上，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同时三
角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，当 转到与 位置重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当 时，求旋转的时间是多少？
【答案】(1)
(2)①当旋转时间为 或 秒时， 成立；②当 ，旋转的时间是 秒
【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论；
（2）①如图1，根据平行线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论；如图 ，
根据平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和得到 ，求得 ，
于是得到结论；
②设旋转的时间为 秒，由题知， ，根据周角得到 ，列方程即可
得到结论．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①如图1，此时， 成立，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵转速为 秒，
∴旋转时间为 秒；
如图2， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵三角板 绕点 逆时针旋转的角度为 ，
∵转速为 秒，
∴旋转时间为 秒，
综上所述，当旋转时间为 或 秒时， 成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知， ，∴ ，
∴ ，
当 ，即 ，
解得： ，
∴当 ，旋转的时间是 秒．
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解
题的关键．
16．（2023春·山东济南·八年级统考期末）综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图
，在 中， ， ， ， 分别为 ， 边上一点，连接 ，且 ，将
绕点 在平面内旋转．
(1)观察猜想
若 ，将 绕点 旋转到如图 所示的位置，则 与 的数量关系为______；
(2)类比探究
若 ，将 绕点 旋转到如图 所示的位置， ， 相交于点 ，猜想 ， 满足的位置
关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图 ，在 的条件下，连结 ，分别取 ， ， 的中点 ， ， ，连结 ， ， ，
若 ， ，请直接写出在旋转过程中 面积的最大值．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3) 的最大值为 ， 面积的最大值为【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由外角的性质可得结论；
（3）先证明 是等腰直角三角形，可得 的面积 ，则当点A，点D，点B三点共
线时， 有最大值，即 面积有最大值．
【详解】（1）解：如图 ， ，
，
∵ ，
， ，
，
，
旋转，
，
又 ， ，
∴ ，
，
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：如图，设 与 的交点为点 ，
绕点 旋转到如图 所示的位置， ，
，
，
在 与 中，，
∴ ，
，
是 的外角，也是 的外角，
，
，
；
（3） ， ， 分别是 ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
，
，
， ， ，
，
是等腰直角三角形，
的面积 ，
， ，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最大值，即 面积有最大值，
的最大值为 ， 面积的最大值为 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，
三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．（2022秋·安徽合肥·九年级统考阶段练习）【操作发现】（1）如图1，在等边 中，点 ， 在
直线 上， 为 边上的一点，连接 ，并把线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
则线段 与 的数量关系是______，线段 与直线 所夹锐角的度数是______
【类比探究】（2）如图2，在等边 中，点 ， 在直线 上，若 为 延长线上的一点，连接
，并把线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在正方形 中，点 ， 在直线 上， 为直线 上的任意一点，连
接 ，并把线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．若正方形的边长为2，连接 ，当时，求线段 的长．
【答案】（1） ；60°（2）成立，理由见解析（3）1或3
【分析】（1）过点 作 交 于点 ．证明 ≌ ，可得结论；
（2）连接 ，由旋转可得 为等边三角形，可知 ， ．由 为等边三角形，
可知 ， ， 进而可得 ，可证得 ，可得 ，
，进而可得 ，即可得结论；
（3）分三种情况：①当点 在线段 上时，②当点 在线段 延长线上的右侧时，③当点 在线段
延长线上的左侧时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 交 于点 ．
是等边三角形，
，
∵ ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
；60°．
（2） ，线段 与直线 所夹锐角的度数为 仍成立．
理由：如图，连接 ，由旋转可知： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ．
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即线段 与直线 所夹锐角的度数为 ；
（3）①当点 在线段 上时，如图，连接 ，过点 作 交于点 ，作 交 于点
．设正方形 的边长为 ，则 ，
∴ ．
在 中， ，
即 ，
解得 ， （舍去），∴ ．
∵点 在线段 上，
∴ ，
∴ （不合题意，舍去）
②如图，当点 在线段 延长线上的右侧时，同理可得 ，
∴在 中， ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
③如图，当点 在线段 延长线上的左侧时，同理可得 ，
∴在 中， ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
综上所述，线段 的长为1或3．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期末）已知正方形 的边长为4．
(1)如图1，点P在直线 上运动，连接 ，将线段 绕点C按顺时针旋转 得到 ，连接 ．
①若点P与A重合，则 ___________．
②若 ，求 的长．
(2)如图2，点P在边 上（P不与A，D重合）运动，且 ，连接 、 ．将线段 绕点P逆
时针旋转 得到 ，将线段 绕点P顺时针旋转 得到 ，设 ， ，求 关于x的函
数表达式．
【答案】(1)① ，② 或
(2)【分析】（1）①连接 ，证明 ，用勾股定理即可求出 ，从而求出答案；
②（i）分情况讨论：当点P在线段 延长线上时，过点E作 于点F，证明
，在 中，用勾股定理可求出 ，进而求出答案；
（ii）当点P在线段 上时，不符合题意；（iii）当点P在线段 延长线上时，过点E作 于点
G，同理即可求出；
（2）过点 作 于H，过点N作 于I，作 于J，可得四边形INJH为矩形，证
明 ， ，表示出 ，在 中，即可表示出函数表
达式．
【详解】（1）解：①连接 ，如图所示，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由旋转性质可得： ，
∴D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵正方形 的边长为4，
∴ ，∴ ，
∴ ；
②（i）当点P在线段 延长线上时，如图所示，过点E作 于点F
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ii）当点P在线段 上时，不符合题意
（iii）当点P在线段 延长线上时，如图2所示，过点E作 于点G同理可得 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 或 ；
（2）解：如图3，过点 作 于H，过点N作 于I，作 于J，
由旋转性质可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可证 ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ， ，
∴四边形INJH为矩形，
∴ ， ， ，
在 中， ，∴ 关于x的函数表达式为： ．
【点睛】本题考查了正方形与旋转问题，涉及到全等三角形的判定与性质、勾股定理等，正确作出辅助线
是关键．
19．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图 ，边长分别为 和 的两个等边三角形纸片
和 ，连接 ， ．
(1)若点 、 、 在同一直线上，如图 ，请直接写出线段 与 之间的数量关系．___________
(2)操作： 不动，将 绕点 逆时针方向旋转任意角度 ，如图 ，（1）中的结论是否还成立，
若成立，仅就图 的情形证明你的结论；若不成立，请说明理由．
(3)根据（2）的操作过程，若 ，请你猜想当 为多少度时，线段 的长度最大，最大长度是
多少？当 为多少度时，线段 的长度最小，最小长度是多少？
【答案】(1) ；
(2)成立，见解析；
(3)当 时，最大长度为 ．当 时，最小长度为 ．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 ， ， ，然后求出
，然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得
；
（2）同(1)可证明 ，由全等三角形的性质可得出结论；
（3）由题意可知，当 在 的延长线上时，线段 的长度最大，当 在线段 上时，线段 的长度
最小．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
故答案为: ；
（2）（1）中结论仍成立．
如图 ∵ 与 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3） 如图，当点 ， ， 三点共线时，
即当 时，线段 的长度最大，最大长度为 ，
如图，当点 ， ， 三点共线时，即当 时，线段 的长度最小，最小长度为 ．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角
形的三边关系，证明 是解题的关键．
20．（2019秋·广东广州·九年级广州市第七十五中学校考期中）如图，已知 ，点 是直线 上的
动点．
(1)请作出线段 绕点 逆时针旋转 后的对应线段 ；
(2)①当 恰好落在 轴上，求出此时 的坐标．
②已知点 的横坐标为 ，请直接写出点 的坐标（用含 的代数式表示）．
③在②的基础上，求出 纵坐标 与横坐标 的函数关系式．
④求线段 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ；③ ；④1
【分析】（1）过点A作 的垂线，以点A为圆心， 为半径作弧，交 的垂线于点 ；
（2）①过点A作 轴于点H，过点P作 于点G，证明 ，得到 ，
，设 ，则 ，列得 ，求出a即可；②分别作 轴于点B， 轴
于点E， 轴于点F， ，由①得 ，得到 ，求出 的长度，由此表示出 的长度，即可得到点 的坐标为 ；③由
即可得到 ；④由 ，求出
，根据函数的性质解答即可．
【详解】（1）如图，线段 即为所求；
（2）①过点A作 轴于点H，过点P作 于点G，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
解得
∴ ；
②分别作 轴于点B， 轴于点E， 轴于点F， ，
则 ，
由①得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴点 的坐标为 ；
③∵ ，
∴ ，
∴ 纵坐标 与横坐标 的函数关系式是 ．
④∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，值为1，故线段 的最小值为1．
【点睛】此题考查了图形的旋转，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，综合掌
握以上知识是解题的关键．21．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，
其中点 与点 ，点 与点 分别是对应点，连接 ．
(1)如图，若点 ， ， 第一次在同一直线上， 与 交于点 ，连接 ．
①求证： 平分 ．
②取 的中点 ，连接 ，求证： ．
③若 ， ，求 的长．
(2)若点 ， ， 第二次在同一直线上， ， ，直接写出点 到 的距离．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③
(2)
【分析】（1）①根据旋转的性质得到 ，求得 ，根据平行线的性质得到
，于是得到结论；
②如图1，过点 作 的垂线 ，根据角平分线的性质得到 ，求得 ，根据全等三角形
的性质得到 ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
③如图2，过点 作 的垂线 ，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得到结论．
（2）如图3，连接 ， ，过 作 交 的延长线于 ， 交 的延长线于 ，根
据旋转的性质得到 ， ，解直角三角形得到 ， ，根据三角形的面积
公式即可得到结论．
【详解】（1）解：①证明： 矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，
，
，又 ，
，
，
平分 ；
②证明：如图1，过点 作 的垂线 ，垂足为Q，
平分 ， ， ，
，
，
， ， ，
，
，
即点 是 中点，
又 点 是 中点，
；
③解：如图2，过点 作 的垂线 ，过点 作 的垂线 ，
∴又 ， ，
，
，
，
，
， ，则
；
（2）解：如图3，连接 ， ，过 作 交 的延长线于 ， 交 的延长线于 ，
则 ，
∴四边形 是矩形，则 ，
将矩形 绕着点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，
， ，
点 ， ， 第二次在同一直线上，
， ,
，
，
，又 ，
， ，
，又 ，
．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定
理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线．
22．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将 绕点O顺时针旋转 得 （点A与点C
对应，点B与点D对应），直线 交直线 于点G．
(1)求直线 的解析式；
(2)点P为y轴上一动点，若 ，求点P的坐标；
(3)如图2，直线 ，交x轴，y轴于F，E两点，点N为平面直角坐标系内一点．若以A，E，F、N
为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据旋转及全等三角形的性质确定点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（2）联立方程组求点G坐标，然后利用三角形面积公式列方程求解；
（3）结合菱形的性质分情况讨论求解．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，当 时， ，∴ ，
∵将 绕点O顺时针旋转 得 （点A与点C对应，点B与点D对应），
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入函数解析式可得
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：联立方程组 ，解得 ，
∴
设 ，则 ，
解得 ，
∴ 或
（3）解：由 ，设直线 的函数解析式为 ，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
当 为对角线时， ， ，∴ ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
∴ ．
当 为菱形的对角线时，此时 ，
∴ ，
解得 ， ，
当 时， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理，当 时， ，当 为菱形的对角线时，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
综上，符合条件的N点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，三角形全
等的判定及性质，菱形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
23．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知线段 是正方形 的一条对角线，点E在射线 上
运动，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）如图1，若点E在线段 上，请直接写出线段 与线段 的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段 的延长线上运动，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理
由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段 是矩形 的一条对角线， ， ，点E在射线 上运动，连接，将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，在 上截取线段 ，连接 ，若 ，直接
写出线段EF的长．
【答案】【小问1】 ， ；
【小问2】 ，理由见解析；
【小问3】线段EF的长为 或 ．
【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论；
（2）利用全等的性质得到 ，利用勾股定理求得 ，代入转化即可；
（3）利用旋转的性质得到 是直角三角形，再根据 转化为求 的长，通过作垂线构造
，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1） ， ；
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵将线段 绕点C顺时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
则 ，即 ；
（2） ；
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由旋转得， ， ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ；
（3）过点C作 于点H，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
若点E在线段 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点C顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，若点E在 的延长线上时，
同理， ，
∴ ，
同理， ，
综上，线段EF的长为 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形
的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
24．（2022秋·湖北十堰·九年级十堰市实验中学校考期中） 和 都是等腰直角三角形，且
， ．
(1)如图①，若 的顶点A在 的斜边 上，求证： ；
(2)将 绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段 上，连 ，则（1）中的结论还成立吗？若成
立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由．
(3)在 绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若 ， ，请直接
写出 的长．【答案】(1)见解析
(2)不成立， ，理由见解析
(3) 的长为8或2
【分析】（1）连接 ，利用等腰直角三角形的性质证明 ，推出 ，
，得到 ，由 ， ，即可推出 ；
（2）证明 ，推出 ，得到 ，根据 ， ，推出
；
（3）当点E在 延长线上时，过点C作 于F，得到 ，勾股定理求出 ，即
可得到 ，利用面积公式计算即可；当点E在 延长线上时，过点C作 ，得到
，勾股定理求出 ，求出 即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
（2）解：不成立， ．
理由：
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图：当点E在 延长线上时，过点C作 于F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
如图：当点E在 延长线上时，过点C作 于H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长为8或2．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，，熟练掌握全等三
角形的判定及性质，以及勾股定理的计算公式是解题的关键．
25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，以
、 为边作 ，点 为 中点，连接 、 ．(1)分别求出线段 和线段 所在直线解析式；
(2)点 为线段 上的一个动点，作点 关于点 的中心对称点 ，设点 横坐标为 ，用含 的代数式表
示点 的坐标（不用写出 的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点 移动到 的边上时，求点 坐标；
② 为 中点， 为 中点，连接 、 ．请利用备用图探究，直接写出在点 的运动过程中，
周长的最小值和此时点 的坐标．
【答案】(1) 所在直线的解析式为 ； 所在直线解析式为
(2)
(3)① 或 ，② 周长最小值为 ；
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点 和点 的坐标，再用待定系数法求出线段 和线段 所
在直线解析式即可；
（2）根据 所在直线的解析式为 ，点 横坐标为 ，得出点 ，再根据点 和点
关于点 的中心对称点，即可得出点 的坐标；
（3） ①根据题意进行分类讨论：当点 在 上时，当点 在 上时，即可得出结论；②过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，通过证明 ，得出 ，延长 ，过点
作 于点 ，证明 ，进而得出 ，过点 作 ，则
，即可推出点 在直线 上运动，作点 关于直线 的对称点 ，当点 ， ， 在同一
条直线上时， 周长取最小值，即可求出 周长取最小值；根据中点坐标公式得出， ，再证明点 是 中点，则 ，求出 ，根据
点 为 中点，得出 ，最后根据 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
设 所在直线的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴ 所在直线的解析式为 ；
设 所在直线解析式为 ，
把点 ， 代入的：
，解得： ，
∴ 所在直线解析式为 ．
（2）解：∵ 所在直线的解析式为 ，点 横坐标为 ，
∴点 ，设点 ，
∵点 和点 关于点 的中心对称点，
∴ ，
整理得： ，
∴ ；
（3）解：①当点 在 上时，
∵点 在 上，
∴ ，解得 ，
∴ ；
当点 在 上时，
∵ ，且 在 上，
∴ ，解得： ，
∴ ；综上： 或 ；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵点 是点 关于点 的中心对称点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
延长 ，过点 作 于点 ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴设 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
过点 作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
则点 在直线 上运动，
作点 关于直线 的对称点 ，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得 ，
当点 ， ， 在同一条直线上时， ，此时 周长取最小值，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ 周长最小值为 ；∵ ， ， ， 为 中点， 为 中点，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，则点 是 中点，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，即点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中心对称，勾股定理，轴对称，解
题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，正确作出辅助线，确定周长最
小时各点的位置．
26．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图1，在 中，过点 作 于 ，
过点 作 于 ， 交 于 ， ．
(1)求证： ：
(2)如图2，过点 作射线 ，在射线 上取一点 ，使 ，连接 ，若 平分 ，
求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，将 绕 点以每秒 的速度逆时针旋转至 ，旋转时
间为 ，当 与 重合时停止，则在旋转过程中，当 的边 与 的某一边平行时，直接
写出此时 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或 或 或
【分析】（1）由 于 ， 于 ，得到 ， ，利用 证
得 ，从而得到 ；（2）通过证明 得到 ，进一步证明 ，可得 ，
从而得到 ；
（3）分四种情况，一是当 时则 ，可得 ，则 ，
解得： ；二是当 时且点 在直线 的上方时， ，则
，解得： ；三是当 时，则 ，可得 ， ， 三点在同
一直线上， 则 ，解得： ；四是当 时，点 在直线
的下方，则 ， 则 ，解得：
．
【详解】（1）证明： 于 ， 于 ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明： 于 ，
，
平分 ，
，
在 和 中
，
，
，
， ，
，，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
；
（3）由（1）得 ，
，
，
，
由（2）得 ， ， ，
，
，
，
，
当 时，如图 ，
则 ，
由旋转， ，
，，
，
，解得： ；
当 时且点 在直线 的上方时，
，
，解得： ；
当 时，如图 ，设 的延长线交 于点 ，
则 ，
，
，
与 重合，
， ， 三点在同一直线上，
，
，解得： ；
当 时，点 在直线 的下方，如图 ，设 的延长线交 于点 ，
则 ，，
与点 重合，
， ， 三点在同一直线上，
，
，
，解得： ；
综上所述， 的值为 或 或 或 ．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、列方程解应
用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考查压轴题．
27．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在 中， ，点D是 边
上一动点，连接 ．把 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 时，求 的长；
(3)在点D运动的过程中，线段 上存在一点P，使 的值最小，设 的长为m，直接写出
的最小值（用含m的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为1或3；
(3)
【分析】（1）把 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，根据旋转的性质得到 得到
；
（2）在 中，求出 ， ，根据全等三角形的性质得到
，求出 ，设 ，则 ，利用勾股定理得到，求解即可；
（3）将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ，得 是等边三角形，
，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，连接 ，
得 垂直平分 ，求出 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ， ，进而求出
，得到 ， ，由此求出 ，得到
值最小．
【详解】（1）证明：把 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，
∴
∵
∴ ，
∴
（2）在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
设 ，则 ，
∵
∴
解得 ，
∴ 的长为1或3；
（3）如图3-1，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接∴
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，
此时，如图3-2，连接 ，
∵将 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴
∴ 是等边三角形， 是等边三角形，
∴
∵
∴ 垂直平分 ，
∵∴
∵
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ 值最小为 ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练
掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
28．（2023·全国·九年级专题练习）定义共弦、共弦角如下：
共弦：将正多边形绕某顶点顺时针旋转 得到的新正多边形与原正多边形相交于一点 ，连接旋转中心
与交点 ，把这条线段叫做正多边形的共弦；图 以正四边形为例，图 以正五边形为例，线段 即为正
四（五）边形的共弦．共弦角：共弦与离原正多边形最近的边组成的角叫做共弦角；如图1， 是共
弦角，因此
(1)如图1，四边形 是正方形．求证： ，并求出 的值；
(2)依照（1）的方法，有人求出了以下正多边形的共弦角：
正五边形：正六边形：
正七边形：
请你根据以上结论，猜想任意正 边形的共弦角的度数（用含 的代数式表示）？并写出这样猜想的理由．
(3)请审视以上数学问题、问题解决以及猜想过程，提出至少两个与之有关的、你认为需要进一步探究的的
数学问题．
【答案】(1)
(2)任意正 边形的共弦角的度数 或 ，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得出 ， ，证明 可得
，进而即可求解；
（2）猜想：任意正 边形的共弦角的度数 或 ，根据正四边形、正五边形、
正六边形……得共弦角的度数，找到规律，即可求解；
（3）答案不唯一，对以上问题的科学性，问题解决的严谨性及猜想的合理性等质疑，提出问题即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：四边形 是正方形，正方形 是正方形 绕 点顺时针
旋转 得到
∴ ，
在正方形 中∴
∴
∴
（2）猜想：任意正 边形的共弦角的度数 或
理由如下：
正四边形的共弦角的度数 ；
正五边形的共弦角的度数 ；
正六边形的共弦角的度数 ；
正七边形的共弦角的度数 ；
因此有如上猜想；
（3）答案不唯一，对以上问题的科学性，问题解决的严谨性及猜想的合理性等质疑，可提出以下问题：
1.“有人证明了正五边形的共弦角是 ”，这一结论是否正确，请予证明？
2.共弦角 的取值范围是 ，为什么？
3.正三角形也是正多边形，他是否有共弦角？
4.题中的正多边形是否包括正三角形？如果包括， 对吗？
5.猜想不一定正确，请证明任意正 边形的共弦角的度数为
其它与本题有关的质疑性、批判性问题均可．
【点睛】本题考查了正方形的性质，正多边形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟
练掌握以上知识是解题的关键．
29．（2023·全国·九年级专题练习）课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”
【阅读理解】
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，是三角形旋转中的一个重要的“基本图形”，这个模型称
为“手拉手模型”．
当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图
形”．
【方法应用】
(1)如图1，在等腰 中， ， ，点D在 内部，连接 ，将 绕点A顺时
针旋转90°得到 ，连接 ， ， ．请直接写出 和 的数量关系：__________，位置关系：
__________；
(2)如图2，在等腰 中， ， ， ，连接 ，将 绕点A顺时针旋转
得到 ，连接 ， ， ，取 中点M，连接 ．
①当点D在 内部，猜想并证明 与 数量关系和位置关系；
②当B，M，E三点共线时，请直接写出 的长度．
【答案】(1) ，
(2)① ， ；② 或
【分析】（1）证明 得 ， ，再延长 交 于F，证明
即可得 ．
（2）①过点A作 交 延长线于N，连接 ，证明 是 的中位线，根据中位线性质得
， ，再由（1）可得， ， ，即可得出结论．
②分两种情况：当点E在 延长线上，B，M，E三点共线时，当点E在线段 上，B，M，E三点共线
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：由旋转可得 ，∴
∵
∴
在 和 中，
，
∴
∴ ， ，
延长 交 于F，如图，
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ．
（2）解：① ，
过点A作 交 延长线于N，连接 ，如图，∵等腰 中， ， ，
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠ACB＝90°，
∴
∴
∵点M是 和中点，
∴ ， ，
由（1）可得， ， ，
∴ ， ．
②当点E在 延长线上，B，M，E三点共线时，如图，过点A作 于F，
∵等腰 中， ， ，
∴由旋转可得 ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 ，
∴ ；
当点E在线段 上，B，M，E三点共线时，如图，过点A作 于F，
同法可得 ， ， ，
∴
由①知 ，
∴ ；
综上，当B，M，E三点共线时， 的长度为 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三位线定理，勾股定理，旋转性质．本题属旋转综
合探究题目，熟练掌握相差性质与判定是解题的关键．30．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O是等边 内一点．将 绕点C顺时针方向旋转
得 ，使得 ，连接 ．已知 ，设 ．
(1)发现问题：发现 的大小不变为 ．
(2)分析问题：当 时，分析判断 的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当 为 度时， 是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)直角
(3) 或 或
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到 ，再由等边三角形的性质推出
，由旋转的性质可得 ，则
；
（2）由旋转的性质可得 ，则 是等边三角形，得到 ，由此求出
，则 ，即可得到 是直角三角
形；
（3）分 ， ， 三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出 的度数，
进而求出 的度数，即可利用周角的定义求出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵将 绕点C顺时针方向旋转 得 ，
∴ ，∴ ，
故答案为：
（2）解：∵将 绕点C顺时针方向旋转 得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角；
（3）解：当 时，则 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，
熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
31．（2023·全国·九年级专题练习）在 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转 得到 ．连接 ，延长 交 于点F．
(1)当 时，如图1，
①求 的度数；
②求证： ．
(2)当 时，如图2，在旋转过程中，试探究 与 是否仍然相等，若相等，请说明理由；若
不相等，请求出它们的数量关系．
【答案】(1)①30°；②见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）①由旋转得出 为等边三角形，得出 ，再利用平角求出角度即可；②根据
等边三角形和等腰三角形的判定证明即可；
（2）在 上取一点H，使得 ，连接 ，证明 ，再利用等腰三角形的判定证
明即可．
【详解】（1）解：①证明：当 时，点C在 上，由旋转可知： ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
②证明：由旋转可知： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ．
理由：在 上取一点H，使得 ，连接 ．
由旋转可知： ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和等腰三角形的判定，解题关键
是熟练运用相关知识进行推理证明．32．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）【初步感知】
（1）已知，在 中， ．如图1，将边 ， 同时绕着点 分别按逆时针、顺时针方向旋转
，得 、 ，连接 ， ，求证： ；
【类比探究】
（2）如图2，在 ， ，若 ， ，将边 绕着点 逆时针旋转 ，得 ，
连接 ，求 的长．
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，点A为第二象限内一点，且 ，点B坐标为 ，若将
边 绕点A逆时针旋转 得 ，点D恰好在y轴上．将边 绕点B顺时针旋转 得 ，求点C坐
标．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）利用 证明 ，即可证明；
（2）将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，说明 ，利用勾股定
理求出 的长；
（3）连接 ， ，过A作 轴于H，过C作 轴于G，根据旋转的性质得到 和
是等边三角形，证明 ，可得 ，进一步求出 ，结合点B
的坐标求出 ，利用直角三角形的性质和勾股定理求出 和 ，得到 ，即可得到点C坐
标．
【详解】解：（1）证明： 将边 ， 同时绕着点 分别按逆时针、顺时针方向旋转 ，得 、
，
， ， ，，
在 和 中，
，
，
；
（2）将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，
， ， ，
，
，
， ，
，
在 中， ，
；
（3）如图，连接 ， ，过A作 轴于H，过C作 轴于G，
由旋转可得： ， ， ，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ．
【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的根据．
33．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的
三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了
图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学
们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图， 与 为正三角形，
点 为射线 上的动点，作射线 与射线 相交于点 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到射
线 ，射线 与射线 相交于点 ．(1)如图1，点，O与点 重合时，点 分别在线段 上，求证： ；
(2)当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点， 在 的延长线
上时， 分别在线段 的延长线和线段 的延长线上，请写出 三条线段之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）利用 证明 即可得出结论；
（2）过点 作 ，交 于 ，可知 是等边三角形，再利用 证明 ，
从而解决问题．
【详解】（1）解：证明： 与 为正三角形，
， ，
将射线 绕点 逆时针旋转 ，
， ，
，
，且 ， ，
在 与 中，
，
；
（2） ，
理由：如图，过点 作 ，交 于 ，， ，
是等边三角形，
，
，
， ， ，
在 与 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造等边三角
形是解题的关键．
34．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践
(1)如图 ，在 中， ， ，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 是边上的一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，则 与 的数量关系为___________，
位置关系为____________；
(2)若 是 延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图 证明；若不成
立，请说明理由；
(3)如图 在(2)的条件下，当点 落在 的 边上时，求 的长．
【答案】(1) ， ；
(2)成立，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ， ，由平角的性质和四边形内角
和定理可求 ，可得 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由平角的性质和四边形内角和定理可
求 ，可得 ；
（3）等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）延长 交 于点 ，如图，
∵将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ °，
∴ °，
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）成立，理由如下：
延长 交 于点 ，如图，
∵将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ °，∴ °，
∴ ，
（3）如图，
由题意可知： ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，
直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
35．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形 的对角线 和 相交于点O，点E是
正方形 内的一点， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，点B，E的对应点分
别为点D，F，直线EF经过点O．
特例探究：
（1）如图2，当点O与点E重合时，判断 和 的数量关系并证明；
操作探究：
（2）如图1，当点O与点E不重合时，判断 ， 和 之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，将“正方形 ”改为“菱形 ”，将“ 绕点A逆时针旋转 得到 ”
改为“ 绕点A逆时针旋转 得到 ”，其余条件不变，请直接写出 ， 和 之间的数
量关系．【答案】（1） ，证明见解析；（2） ，证明见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ， ， ，由旋转的
性质可得 ，可得四边形 是正方形，即可得出结论；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由旋转的性质可得 ， ，
，可求 ，由等腰直角三角形的性质可求 ，即可求解；
（3）作辅助线如解析图，由“ ”可证 ，可得 ，由四边形内角和
定理可求 ，由“ ”可证 ，可得 ，可得结论．
【详解】（1） ．
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵将 绕点A逆时针旋转 得到 ，点O与点E重合，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ；
（2） ，理由如下：
如图，延长 至H，使 ，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ；
（3） ，理由如下，
如图，过点D作 ，交FE的延长线于点H，连接 ，并延长 交 的延长线于点G，
于点P，
∵将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ， ，∴ ， 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰
当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
36．（2023春·山东济南·八年级统考期末）操作发现：
（1）如图1， 为等边三角形，点E是边 上任意一点（ ），将 绕点C顺时针旋
转60°，得到 ，将三角板的30°角按如图所示方式放置，与边 交于点D，E．连接 ．请直接写出结果：
① ＝ °；
② 与 的数量关系是 ；
类比探究：
（2）如图2，在 中， ， ，点E是边 上的任意一点（ ），将
绕点C顺时针旋转90°，得到 ．将一个含45°角的三角板按如图所示方式放置，与边 交于
点D，E．
①求 的度数；
②若 ， ，试求 的长．
【答案】（1）①120°；② ；（2）①90°；②
【分析】（1）①根据旋转及等边三角形的性质，证明 ，再求得 的度数为120°；②根
据旋转及等边三角形的性质，证明 ，再求得 ；
（2）①根据旋转及全等三角形的判定和性质，再求得 的度数为90°；②根据旋转及勾股定理，再求
得 即可．
【详解】解：（1）① 的度数为120°，理由如下：
∵将 绕点C顺时针旋转60°，得到 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：120°；
②结论： ，理由如下：∵将 绕点C顺时针旋转60°，得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）①∵ ， ，
∴ ，
由旋转可知，∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形综合题，图形旋转的性质，全等三角形的判断及性质，以及等边三角形、等腰
三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
37．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类
的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图 ，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接 ，则 ，
试说明理由．
(1)梳理
，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合．
，
，点 、 、 共线．
根据 ，易证 ，得 ．
(2)引申
如图 ，四边形 中， ， 点 、 分别在边 、 上， ，若 、都不是直角，则当 与 满足等量关系 时，仍有 ．
(3)联想拓展
如图 ，在 中， ， ，点 、 均在边 上，且 ，猜想 、 、
应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，见解析
【分析】 把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，再证明 ≌ 进而
得到 ，即可得 ；
时， ，与 的证法类同；
根据 绕点A顺时针旋转 得到 ，根据旋转的性质，可知 ≌ 得到 ，
， ， ，根据 中的， 得到 ，所以
，证 ≌ ，利用 得到 ；
【详解】（1）证明： ，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合．
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
即： ．（2）解：延长 至点G，连接 ，如图所示，
时， ；
，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，
， ，
， ，
，
，
当 ，点 、 、 共线时，
在 和 中
，
≌ ，
，
∵ ，
即： ．
故答案为： ；
（3）解：猜想： ．
把 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，
，
， ，， ，
在 中， ，
，
，
即 ，
，
又 ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明 ≌ 此题是一道综合题，难度
较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
38．（2023春·四川达州·八年级校考期中）（1）阅读理解：如图1，等边三角形 内有一点P，若点
P到顶点 的距离分别为 ，求 的大小．思路点拨：考虑到 不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将 绕顶点A
逆时针旋转 到 处，连接 ，此时 ，这样，就可以利用全等三角形的知识，并
结合已知条件，将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出 ________；
（2）变式拓展：请你利用第（1）问的方法，解答下面问题：
如图2，在 中， ， ，E，F为 上的点且 ， ， ，求
的长度；
（3）能力提升：如图3，在 中， ， ， ，点O为 内一点，
连接 ，且 ，则 ________(直接写出答案)．
【答案】（1） ；（2）13；（3）
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以
及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答．
（2）把 绕点A逆时针旋转 得到 ，根据旋转的性质可得 ， ，
， ， ，再求出 ，从而得到 ，然后利用
“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再利用勾股定理列式
即可解决问题．
（3）将 绕点B顺时针旋转 至 处，连接 ，根据直角三角形 角所对的直角边等于斜
边的一半求出 ，即 的长，再根据旋转的性质求出 是等边三角形，根据等边三角形的三
条边都相等可得 ，等边三角形三个角都是 ，求出 ，然后求出
四点共线，再利用勾股定理列式求出 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
由题意知旋转角 ，
∴ 为等边三角形， ，
∵ ，
∴
∴ 为直角三角形，且 ，∴ ；
故答案为：150°；
（2）如图2，把 绕点A逆时针旋转90°得到 ，
由旋转的性质得， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
即 ．
又∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
（3）如图3，将 绕点B顺时针旋转 至 处，连接 ，∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点B顺时针方向旋转 ，
∴ 如图所示；
，
∵ 绕点B顺时针方向旋转60°，得到 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 四点共线，
在 中， ，
∴ ；
故答案为： ；
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性
质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关
键．
39．（2023春·广东深圳·八年级校考期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇
到这样一个问题：如图1，点D为等边 的边 上一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段
，连接 ．(1)【猜想证明】
试猜想 与 的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边 内一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接
，若B、D、E三点共线，求证： 平分 ；
(3)【拓展提升】如图3，若 是边长为2的等边三角形，点D是线段 上的动点，将线段 绕点D
顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．点D在运动过程中， 的周长最小值=__________（直接写
答案）
【答案】(1) ，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得 ， ，由“ ”可证 ，可得
；
（2）由旋转的性质可得 ， ，由“ ”可证 ，可得
，从而求得 ，即可得出结论；
（3）连接 ，由旋转可得 ， ，则 是等边三角形，所以 ，由（1）
知 ，所以 的周长 ，所以当 最小时，
的周长最小，最小值 ，所以当 时， 最小，此时 的周长最小，由等边
三角形性质求得 ，由勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
证明：∵将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
（3）解：连接 ，如图，
由旋转可得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴
由（1）知
∴ 的周长 ，
∴当 最小时， 的周长最小，最小值 ，
∴当 时， 最小，此时 的周长最小，
∵ ，等边 ，
∴ ，由勾股定理，得
∴ 的周长最小值 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，
垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
40．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）在正方形 中，点 ， ， 分别是边 ， ，
的中点，点 是直线 上一点．线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
(1)如图 ，求证： ，且 ．
(2)如图 ，若点 在线段 的延长线上，猜想线段 ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的结
论．
(3)若点 在线段 的反向延长线上，如图 ，请直接写出线段 ， ， 之间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的三边中点，可根据边角边证明 ，所以 ，再由 和
为等腰直角三角形，推出 ；
（2）由旋转得到 ， ，再推出 ，然后根据边角边证明 ，
所以 ，然后由 可推出线段 ， ， 之间的关系；
（3）同（2）可利用边角边证明 ，所以 ，然后由 推出线段 ，
， 之间的关系.
【详解】（1）证明： 正方形 ， ， ， 分别是边 ， ， 的中点，， ，
在 和 中，
，
， ，
，
即 ．
（2） ．
理由如下：
将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
是等腰直角三角形，
，
，即 ．
（3）如图所示，
，证明如下：
∵将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
, ， ，
∴ ，
∴ .
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转图形的性质，由旋转的性质找到全等三
角形，根据对应边相等进行线段代换是本题的关键．
