文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期第二次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版上册第二十一章~第二十五章。
5．难度系数：0.85。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，
以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义可得答案．
【详解】解：A．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．已知 的半径为3， ，则点 和 的位置关系是（ ）A．点 在圆上 B．点 在圆外 C．点 在圆内 D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：设 的半径为r，点P到圆心的
距离 ，则有 ①点P在圆外 ；②点P在圆上 ；③点P在圆内 ．
【详解】解：∵ 的半径为3， ，
∴ ，
∴点 在圆外，
故选B
3．“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第60页”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能亊件 D．确定事件
【答案】B
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事
件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指一定条件下，可能发
生也可能不发生的事件．根据概念可得答案．
【详解】“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第60页”，这个事件是随机事件，
故选：B．
4．若将抛物线 向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：若将抛物线 向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为
，
故选：A．
5．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据判别式与方程的根的个数之间的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴Δ=m2−4×5×(−7)=m2+140>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选B．
6．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转，得到 ，点D恰好落在 的延长线
上，则旋转角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角．由旋转的性质可知 ，可算出 ，就可以
算出旋转角．
【详解】解：由旋转的性质可知： ， 是旋转角，
，
，
，
故选：D．
7．已知二次函数 图象上的 ， ， 三点，则 ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出 、 、 的值，比较即可得解，熟练掌握二次函
数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数 图象上的 ， ， 三点，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
8．一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共 个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球
搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频
率稳定在 左右，由此估计盒子中红色小球有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题考查利用频率估计概率，总个数乘以摸到红色小球的频率稳定值即可．解题的关键是理解：
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳
定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：由题意知，估计盒子中红色小球有： （个）．
故选：A．
9．根据下列表格的对应值判断方程 （ ，a、b、c为常数）的一个解x的取值范围是
（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.4 1.2
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．利用 ， ，而 ，
，则可判断方程 ， ， ， 为常数）的一个解 的范围是
．
【详解】解： ， ，
， ，
时， ，
即方程 的一个解 的范围是 ．
故选：C．10．如图，在 中， ，点D是平面内的一动点，且 为 的中
点，在点D运动的过程中，线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半解答．作 的中点 ，连接 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半以及三角形的中位线定理求得 和 的长，然后在 中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作 的中点 ，连接 、 ．
在直角 中， ，
是直角 斜边 上的中点，
．
是 的中点， 是 的中点，
．
在 中， ，即 ．
故选：B
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11．已知点 与点 关于原点对称．则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称方点，横坐标和纵坐
标都互为相反数．
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．已知二次函数 ，它的顶点坐标为 ．
【答案】(2,3)
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据顶点式解答即可.即在二次函数关系式
中，顶点坐标为 ，对称轴为 .
【详解】解：二次函数 的顶点坐标为 .
故答案为： .
13．若 是方程 的一个根，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方
程的解．把 代入关于x的方程 即可求得a的值．
【详解】解：∵关于x的方程 有一个根是 ，∴ ，
解得， ．
故答案为：2．
14．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了表格，则该结果
发生的概率约为 （精确到0.01）．
试验次数 100 500 1000 2000 4000
0.33
频率 0.37 0.32 0.34 0.333
9
【答案】0.33
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.33左右摆动，于是利用频率估计
概率可判断该结果发生的概率为0.33．
【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为0.33，
故答案为：0.33．
15．若扇形的圆心角为 ，半径为4，则扇形的弧长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．
【详解】解：扇形的弧长 ．
故答案为： ．
16．如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点E，连接 ，若 ，则 等于
．
【答案】16
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为 的中点，再由勾股定理求出
的长即可得到答案．【详解】解：∵ 是 的直径，弦 ，
∴E为 的中点， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
故答案为：16．
17．如图，抛物线 的对称轴是 ．下列结论：① ；② ；③对于任意实数
t，有 ；④ 有两个不等的实根．其中真命题的有 ．
【答案】②④
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用
二次函数的图象与性质．
根据图象开口向下可知： ，图象与y轴交点在y轴正半轴， ，对称轴为直线 ，得
， ，可判断①是假命题；根据抛物线的对称轴为直线 ，得 ，又当 时，
，则 ，得到 ，可判断②正确是真命题；根据抛物线 与x
轴有两个交点，所以方程 有两个实数根，当 时，得到方程 ，所
以方程序只有两个实数根，即 只有两个值，可判断③是假命题；抛物线 与直线 有两个交点，可得 有两个不等的实根，可判断④是真命题．
【详解】解：①由图象开口向下可知： ，
图象与y轴交点在y轴正半轴， ，
对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故①错误是假命题；
②∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
又由图象可知，当 时， ，
∴ ，
∴ ，故②正确是真命题；
③由图象可知，抛物线 与x轴有两个交点，
所以方程 有两个实数根，
当 时，得到方程 ，
所以方程 只有两个实数根，
所以 只有两个值，即t只有两个值使 成立，故③错误是假命题；
④如图，
由图象可得抛物线 与直线 有两个交点，
∴方程 有两个不等的实根，
即 有两个不等的实根．故④正确是真命题．∴正确命题是②④．
故答案为：②④．
18．如图，在矩形 中， ，P为 的中点，连接 ．在矩形 内部找一点E，使
得 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】以 的中点O为圆心， 为半径画圆，可得所画圆是 的外接圆，弦 左侧圆弧上任
意一点E与 构成的 与 共弦，可得 ，连接 与圆的交点即为 的最短距
离，作 于点H，可得 是 的中位线，根据勾股定理求出 和 的值，进而可得 的
最小值．
【详解】解：如图，以 的中点O为圆心， 为半径画圆，
在矩形 中， ， ，
∵ ，
∴所画圆是 的外接圆，
∵弦 左侧圆弧上任意一点E与 构成的 与 共弦，
∴ ，
连接 与圆的交点即为 的最短距离，
作 于点H，则 ，
∴H是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵P为 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题
的关键是综合利用以上知识找到点E．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二
次方程的各种解法是解题的关键．
（1）直接利用公式法解一元二次方程即可；
（2）将原方程整理成一般形式后用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解： ，
， ， ，
，
，
即： ， ；
（2）解： ，
整理，得： ，
即： ，
解得： ， ．
20．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标都在格点上，且 与 关于原点O成
中心对称，C点坐标为 ．
(1)请直接写出 的坐标______；(2) 是 的AC边上一点，将 平移后点P的对称点 ，请画出平移后的
；
(3)若 和 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了图形的平移、中心对称的性质．
（1）直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出点 的坐标；
（2）直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
【详解】（1）解：∵ ， 与 关于原点O成中心对称，
∴ ；
故答案为：(3,−4)；
（2）解：∵ ，平移后点 的对应点 ，∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
即： 如图所示；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ；
如图所示，
连接 ， 相交于点 ，
则 为对称中心，即： 为 的中点，
又∵ ， ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
21．为助力今年九江市创评“全国文明城市”工作的深入开展，同文中学组织志愿者进行宣传活动，班主任熊老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加．
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌
面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠和小艳被同时抽中”的概率．
【答案】(1)不可能，随机
(2)“小惠和小艳被同时抽中”的概率为 ．
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，事件的分类．熟知概率＝所求情况数与总情况数之比
是解题的关键．
（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】（1）解：该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，
“小悦被抽中“是随机事件；
故答案为：不可能，随机；
（2）解：记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表可知，共有12种等可能结果，其中“小惠和小艳被同时抽中”的有2种结果，
所以“小惠和小艳被同时抽中”的概率为 ．
22．已知二次函数 自变量 的部分取值及对应的函数值 如下表所示：
… 0 1 2 …
… 3 2 3 6 11 …
(1)写出此二次函数图象的对称轴；
(2)求此二次函数的表达式；
(3)当 时，直接写出 的取值范围．【答案】(1)直线
(2)
(3)
【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质．正确的求出二次函数解析式并
熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
（1）根据当 时， ；当 时， ，结合二次函数的对称性即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据所求的二次函数解析式可知其图像开口向上，即得出当 时，y随x的增大而减小，当
时，y随x的增大而增大，从而得出 ．再由 到对称轴 的距离比 到对称轴
的距离大，即可得 ，最后即可得出 ．
【详解】（1）由表格可知当 时， ；当 时， ，
∴此二次函数图像的对称轴为直线 ；
（2）当 时， ；当 时， ，当 时， ，分别代入 得：
，解得：
∴此二次函数的表达式为： ；
（3）∵二次函数的表达式为： ，
∴该函数图像开口向上．
∵此二次函数图像的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最小值，
由表格可知 ．
∵ 到对称轴 的距离比 到对称轴 的距离大，
当 时， ，
∴当 时， ，∴ ．
23．如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，过C作 的切线交 的延长线于E，
交AB的延长线于F，连 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用
等面积法解决问题是关键．
（1）连接 ，由垂径定理得 ，根据垂直平分线的的性质可得 ，证明 ，
利用全等三角形的性质可得 即可；
（2）先利用勾股定理求得 ，设 ，再根据等面积法列 即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
是 的切线，
，
为 的中点， ，
，则 垂直平分 ，
，
， ，，
，
与 相切；
（2）解： ， ，
，
由（1）可知 ， ，
，
设 ，
，
，
，
解得 ，
故 的半径为 ．
24．某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千
克．经市场调查发现：每天的销售量 （千克）与销售价格 （元/千克）之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出 与 的函数关系式，及自变量 的取值范围；
(2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格；
(3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多
少？
【答案】(1) ，自变量 的取值范围为
(2)为24元/千克
(3)当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是
解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为 ，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润 单件利润 销售量列出方程求解即可；
（3）根据利润 单件利润 销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最
值．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把 ， 代入y=kx+b(k≠0)，得
，
解得 ，
∴ ，
自变量 的取值范围为 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ， （舍去），
答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元；
（3）解：设每天获得的销售利润 元，
根据题意，得
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为200，
∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元．
25．已知平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴的正半轴交于 点，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 是抛物线在第一象限内的一点，连接 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．
记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值；
(3)如图2，连接 ，点 为线段 的中点，过点 作 交 轴于点 ．在第三象限的抛物线上
是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）根据题意得出 ， ，代入函数解析式得： ，得出 ；
（2）设 ，则 ， ，则 ，
，得出
，故当 时， 的最大值为 ；
（3）取点 关于 轴的对称点 ，连接 交抛物线于点 ， 的解析式为： ，联立，解得： （舍去）或 ，得出 ．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
，
，
把 ， ，代入函数解析式得 ，
解得 ，
；
（2）解： ， ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得 ，
，
设 ，则 ， ，
， ， ，
， ，
，当 时， 的最大值为 ；
（3）解：令 ，解得： ， ，
，
，点 为 的中点，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
， ，
， ，
，
，
取点 关于 轴的对称点 ，连接 交抛物线于点 ，如图所示：
则 ， ，
设 的解析式为 ，
，解得 ，，
联立 ，解得 （舍去）或 ，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求
线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的
求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
26．对于平面直角坐标系 中的任意两点 ， ，给出如下定义：点 与点 的“直角距
离”为： ．例如：若点 ，点 ，则点 与点 的“直角距离”为：
．根据以上定义，解决下列问题：
(1)已知点 ．
①若点 ，则 ；
②若点 ，且 ，则 ；③已知点 是直线 上的一个动点，且 ，求 的取值范围；
(2)已知点 ， 为平面直角坐标系内一点，且满足 ，
①若点 在 图象上，求点 的坐标；
②若点 在直线 上，求 的取值范围．
(3)在平面直角坐标系 中， 为动点，且 ， 的圆心为 ，半径为1．若 上存
在点 使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1)① ；② 或 ；③
(2)① 或 ；②
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，正方形
性质，圆的性质，根据定义确定 点在正方形边界上是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；
②根据定义可得方程 ，求出 的值即可；
③由定义可得 ，分类讨论求值即可；
（2）①设 ，由题意可得 ，整理得 ，分别讨
论当 时和当 时求解即可；
② 点在以 ， ， ， 的正方形上，再结合图象即可求解；
（3）由题可知 点在以 为中心，边长为 的正方形上，根据题意得出 ，讨论当 时，满
足 即可；当 时，只需 即可；再利用对称性得出 的情况．
【详解】（1）解：① ，
故答案为： ；
②由题意得： ，
，解得： 或 ，
故答案为： 或 ；
③ 点 是直线 上的一个动点，
，
，
当 时， ，
解得： ，
则 ；
当 时， 恒成立，
当 时， ，
解得： ，
则 ；
综上，当 时， ；
（2）解：① 点 在 图象上，
设 ，
，
，
，
，即 ，
当 时， ，解得 或 ，
当 时， ，解得 （舍)或 （舍)；或 ；
②由 ， ，
可知 点在以 ， ， ， 的正方形上，
如图1，当点 为 时， 有最小值 ，
当点 为 时， 有最大值 ，
；
（3）解： ，
点在以 为中心，边长为 的正方形上，
，圆 的半径为1，
，
，
，
当 时，如图2， ，，
；
当 时，如图3，只需 即可，
，
；
由对称性，同理可得 ；
综上所述： 或 ．
