文档内容
重难点 03 四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在 中，角 所对的边分别为 ，
， ，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2021·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习）已知函数 ,则下列命题正确的是（ ）
A．函数 的单调递增区间是 ；
B．函数 的图象关于点 对称；
C．函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 ；
D．若实数m使得方程 在 上恰好有三个实数解 ， ， ，则 ．
三、填空题
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意实数 ， ，方程
有解，方程 也有解，则
的值的集合为______.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是_________
四、解答题5．（2021·全国·高三专题练习）已知 ，①
，②
求证： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.
（1）若当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，求实数a，b的值
（2）若 ， 设函数 ，且当 时， 恒成立，求实数m的取
值范围.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·四川绵阳·三模（文））函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． B．1 C． D．2．（2022·河南·高三阶段练习（文））勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高
定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图
1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．
在图2中，若 ， ，D，E两点间的距离为 ，则弦图中小正方形的边长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
3．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，
其中 ，且 的面积为 ，则下列函数值恰好等于 的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数 （其中 为常数，且 ）有且
仅有 个零点，则 的最小值为_______
5．（2022·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），
为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的
A，B两点，测得 米， ， ， ，则蜚英塔的高度 是
_______米．
四、解答题
6．（2022·山东济宁·二模）如图，在梯形ABCD中， ， .
(1)求证：BC=2CD；
(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面积.
题型三：分类与整合思想一、多选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 为周期函数 B． 在 上单调递增
C． 的值域为 D． 的图像关于直线 对称
2．（2021·江苏省江都中学高三阶段练习）关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在区间 单调递减
C． 在 有4个零点
D． 的最小值为
二、双空题
3．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知 ， 能够说明命题“若对任意实数 都有
成立，则必有 ， ”为假命题的一组A， 的值为________，
________．
三、填空题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是 ，
2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是________．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
① 在 上的最小值是1；② 的最小正周期是 ；
③直线 是 图象的对称轴；
④直线 与 的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
四、解答题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 ．
(1)若 ，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次
小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行
边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．－ D．
3．（2022·全国·高三专题练习）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根
垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.
我们把地球表面抽象为平面 ，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如
下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面 ，直线l有两点A，B位于平面 的同侧，求平面上
一点C，使得 最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为 ，
.设点C的坐标为 ，当 最大时， （ ）
A．2ab B．ab C． D．
4．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的最小正周期是（ ）A． B． C．π D．2π
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，
都有 ，则称函数 是“元周期函数”，非零常数 为函数 的“元周期”现
有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（ ）
A．如果“元周期函数” 的“元周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数；
B．函数 是“元周期函数”
C．常数函数 是“元周期函数”
D．如果函数 是“元周期函数”，那么“ 或 ”
7．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合 ，若对于任意 ，存在
，使得 ，则称集合 是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为
（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ， ，若对任意实数 都有
，定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点横坐标
为 ，则满足条件的有序实数组 ， ， ， 的组数为___________．9．（2022·全国·高三专题练习）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数
学模型是函数 ，则下列结论正确的是________．(填序号)
① 是偶函数，且周期是 ；② 在 上有4个零点；
③ 的值域为 ； ④ 在 上是减函数．
四、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，
且 为锐角．
(1)求 ；
(2)求 的面积．
