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专题 01 三角函数与解三角形
三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主
要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1 三角函数图像及性质问题
，2 结构不良试题 3 三角形面积周长问题4三角形三线问题5 三角函数实际应用问题
在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.
题型一：三角函数的图象及其性质
1． ，已知点A，B是函数 的图像与直线 的两个交点.且 的最
小值为 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若对于 都有 ，求m的取值范围.
1 已知函数 ， ．
(1)求 的最小正周期；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若 ， ，求 的值．题型二：结构不良试题
设 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，
如△果①、②、③都做，则按①给分．
①向量 与向量 平行．
②
③
(1)确定角A和角B之间的关系；
(2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．
1．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且满足
____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，且 .
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
题型三：三角形面积，周长问题
1 中， .
(1)若 ，求 ；(2)若 ，求 的面积.
1．在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为 在 方向上的投影向量，且满
足 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的周长.
题型四：三角形三线问题
1．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)求A；
(2)若O是 的内心， ，且 ，求 面积的最大值.
1 已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且 ．
(1)求A；
(2)已知 的面积为 ，设M为BC的中点，且 ， 的平分线交BC于N，求线段AN
的长度．
题型五 三角函数实际应用问题
1 如图，在 中， ， ， 为 外一点，
．(1)求角 的大小，并判断 的形状；
(2)求四边形 的面积的最大值．
1 ．如图，某公园拟划出形如平行四边形 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以 和
为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与 相切.
(1)若 ， ， （长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为 ，则 多大时，平行四边形绿地 占地面积最小？
1．如图,在平面四边形 中, , .
(1)试用 表示 的长;
(2)求 的最大值.2．已知平面四边形 中， ，若 ， 的面积为 ．
(1)求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
3．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 是 与 的等比中项．
(1)求A﹔
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c， ， ．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
5．某地区组织的贸易会现场有一个边长为 的正方形展厅 ， 分别在 和 边上，图中
区域为休息区， ， 及 区域为展览区．
(1)若 的周长为 ，求 的大小；
(2)若 ，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积 最大，并求出最大值．一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
2．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
3．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
4．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．5．（2021·全国·统考高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在
边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
6．（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ，
.．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
