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专题21.16 求解一元二次方程（精选精练100题）（分层专项练习）
在初中数学中，一元二次方程就像一座至关重要的 “桥梁”！它不仅是九年级上册数学的核心内
容，更是整个代数体系的关键枢纽 —— 掌握不好它，后续二次函数、几何图形计算、实际应用题都会
困难重重。很多同学在考试里丢分，根源就在于方程解法不熟练，导致计算出错、思路卡壳。
本专题从基础的四种解法练起，逐步过渡到较复杂综合题型，每一道题都瞄准考试高频考点和易错
点。把这 100 道题练透，不仅能彻底掌握方程解法，更能为后续解决利润问题、几何面积计算、运动轨
迹分析等难题打下扎实基础。
一、【目录导航】
【夯实基础篇（30题）】............................................................................................................................1
【综合提升篇（40题）】............................................................................................................................5
【链接中考篇（30题）】..........................................................................................................................10
二、【题型展示】
【夯实基础篇（30题）】
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
（1） ； （2） ．
2．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程．
（1） ； （2） ．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
（1） ． （2） ．
4．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：
（1） ； （2） ；（3） ； （4）
6．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程： ．
解：整理，得__________，
移项，得__________，
二次项系数化为1，得__________，
配方，得_____，即（_____） __________，
开方，得__________，
__________， __________．
7．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：
（1） （2） （3）
8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）下面是张老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请
认真阅读并完成下列任务．
解方程：
解： 第一步 第四步
第二步 ， 第五步
第三步
（1）任务一：①张老师解方程的方法是____________．
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是____________；
（2）任务二：请你用“公式法”解该方程：
（3）任务三：请你按要求解方程： （因式分解法）
9．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解方程：
（1） （2）10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程：
（1） ． （2） ．
11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
12．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程 ，
解：设 ，则原方程化为 ，
解得 ； ，
当 时，即 ，解得 ，
当 时，即 ，解得 ，
所以原方程的解为 ， ，
上述解法法称为“整体换元法”
请利用“整体换元法”解方程： ．
13．（22-23八年级下·重庆·期末）利用换元法解下列方程
（1） ； （2） ．
14．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：解方程 ．
解：设 ，原方程变为 ，解得 或 ．
当 时，即 ，解得 ；当 时，即 ，解得 ．
综上所述，原方程的解为 ， ， ， ．
问题：
（1）上述解答过程采用的数学思想方法是__________．
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程： ．
15．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）【新考向】阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ．
当 时， ；
当 时， ；
原方程有四个根： ．
这一方法在由原方程得到方程①的过程中；利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（1）方程 的解为________________________；
（2）仿照材料中的方法，尝试解方程 ．
16．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程：
（1） （直接开平方法）； （2） （配方法）；
（3） （因式分解法）； （4） （公式法）．
17．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程
（1） （配方法） （2） （公式法）
18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）用指定方法解方程：
（1） ；（配方法） （2） ．（公式法）
19．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解方程
（1） （配方法） （2） （公式法）
20．（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程：
（1） （直接开平方法） （2） （配方法）；
（3） （公式法）．21．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程
（1） （直接开平方法） （2） （配方法）
（3） （公式法） （4） （因式分解法）
22．（22-23九年级上·广东佛山·期末）用指定方法解方程：
（1）（公式法） （2）（配方法）
23．（23-24九年级上·四川内江·期中）用指定方法解下列方程：
（1） （配方法） （2） （因式分解）
24．（23-24九年级上·福建泉州·期中）用指定方法解方程
（1） （直接开平方法） （2） ．（公式法）
25．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：
（1） （配方法）； （2） （公式法）；
26．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程：
（1） （公式法）； （2） （因式分解法）．
27．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程：
（1） （2）
28．（24-25九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程：
（1） （2）
29．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）用适当方法解下列方程
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
30．（24-25九年级上·河南商丘·期中）采用适当方法解下列方程．
（1） ； （2）31．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程．
（1） （2） （3）
32．（24-25九年级上·江西南昌·期末）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ．
33．（24-25九年级下·天津和平·开学考试）用适当方法解下列方程：
（1） ； （2） ．
34．（24-25九年级上·河南信阳·期中）用适当方法解下列方程：
（1） （2） ；
【综合提升篇（40题）】
1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）请你用指定的方法解下列方程
（1）配方法： （2）公式法：
2．（24-25九年级上·全国·期中）用指定的方法解方程：
（1） （用配方法） （2） （用公式法）
3．（24-25八年级下·山东威海·期中）用指定的方法解方程：
（1） （用配方法） （2） （用公式法）
（3） （用因式分解法）
4．（24-25九年级下·全国·假期作业）按指定的方法解方程：
（1） （直接开平方法） （2） （配方法）
（3） （因式分解法） （4） （公式法）
5．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）用指定的方法解方程：
（1） （直接开平方法） （2） （配方法）
（3） （公式法） （4） （选用适当的方法）
6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）用指定的方法解方程（1） （配方法） （2） （因式分解法）
（3） （公式法） （4） （合适的方法）
7．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）用指定的方法解下列方程
（1） （直接开平方法） （2） （十字相乘法）
（3） （配方法 ） （4） （公式法）
8．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用指定的方法解方程
（1） （用配方法） （2） （公式法）
9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定的方法解下列方程：
（1） （用配方法解）； （2） （用公式法）．
10．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）用指定的方法解方程
（1） ；（配方法）
（2） ；（公式法）
（3）下面是小颖和小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： 移项，得
解： 方程两边同时除以x，
…①
分解因式，得 …②
∴ 或 …③ 得
∴ ， …④
任务
Ⅰ．小颖同学的从第②步到第③步的变形，根据的数学原理是______；
A．若 ，则 或 B．
C．若 ，则 或 D．若 或 ，则Ⅱ．小明的做法正确吗？______．理由：______；
Ⅲ．两位同学解一元二次方程所用的数学思想是______．
11．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程（用指定的方法解一元二次方程）：
（1） （配方法）； （2） ．（公式法）
12．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程：
（1） （公式法） （2） （因式分解法）
13．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当方法解方程：
（1） （2） （3）
14．（24-25九年级下·全国·假期作业）选用适当方法求下列方程的精确解．
（1） （2）
15．（24-25九年级上·四川成都·期末）用适当方法解下列方程．
（1） ； （2） ； （3） ．
16．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ； （3） ．
17．（22-23九年级上·四川成都·期中）用适当方法解下列方程：
（1） ； （2）
18．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ．
19．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列方程：
（1） （2）
20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）选择适当方法解下列方程：
（1） ； （2）
21．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用适当方法解下列方程：
（1） （2）22．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用适当方法解方程：
（1） （2）
（3） （4）
23．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）用适当方法解下列方程：
（1） ； （2） ； （3） ．
24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程．
（1） ； （2） ．
25．（24-25九年级上·全国·期末）解方程：
（1） （公式法）； （2） （配方法）；
（3） （用适当方法 ．
26．（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程：
（1） （2）
27．（24-25九年级上·全国·阶段练习）解方程
（1） ；（配方法） （2） ；（公式法）
（3） ；（因式分解法）（4） ．（适当方法）
28．（24-25九年级上·北京·阶段练习）解方程：
（1） （公式法） （2） ．（配方法）
（3） （选用适当方法） （4） （选用适当方法）
29．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
30．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）选用适当方法解下列方程：（1） （2）
（3） （4）
31．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）按要求解下列方程：
（1） （用适当方法）； （2） （公式法）；
（3） （用适当方法）； （4） （用适当方法）
32．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）用适当方法解下列方程：
（1） （2） （3）
33．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）用适当方法解方程
（1） ； （2） ．
34．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
35．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ．
36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）用适当方法解方程：
（1） ； （2） ．
37．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1） （配方法）； （2） （公式法）；
（3） （因式分解）； （4） （适当方法）；
（5） （适当方法）．
38．（24-25九年级上·河南焦作·开学考试）按要求解下列方程：
（1） ；（配方法） （2） ；（用适当方法）（3） ；（公式法） （4） ．（用适当方法）
（5） ；（用适当方法） （6） ．（用适当方法）
39．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列一元二次方程．
（1） ； （2） ．
40．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）选择适当方法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
【链接中考篇（30题）】
一、单选题
1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式 进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的
形式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
3．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角
形的周长为（ ）A． 或 B． 或 C． D．
5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题
6．（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k的值是 ．
7．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
．
8．（2024·江苏南京·中考真题）已知 是关于 的方 （ 是有理数，
）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ．
9．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ，
．若 ，则 的值为 ．
10．（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，则 的值为 ．
11．（2024·四川泸州·中考真题）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是 ．
12．（2020·四川雅安·中考真题）若 ，则 ．
13．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数 、 分别满足 ， ，且 ，则
．
14．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，
显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程 的正数解近似表示为 ．（精确到 ）
15．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程 的解为 ．
16．（2023·湖北宜昌·中考真题）已知 、 是方程 的两根，则代数式 的值为
．
17．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程 的两根，则 ．
18．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是 ．
三、解答题
19．（2024·江苏徐州·中考真题）
（1）解方程： ； （2）解不等式组 ．
20．（2022·江苏徐州·中考真题）
（1）解方程： ； （2）解不等式组：
21．（2024·江苏无锡·中考真题）
（1）解方程： ； （2）解不等式组：
22．（2024·广东广州·中考真题）关于 的方程 有两个不等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）化简： ．
23．（2023·江苏无锡·中考真题）
（1）解方程： （2）解不等式组：24．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
25．（2020·广东·中考真题）已知关于 ， 的方程组 与 的解相同．
（1）求 ， 的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为 ，另外两条边的长是关于 的方程 的解．试判断该
三角形的形状，并说明理由．
26．（2021·江苏无锡·中考真题）
（1）解方程： ； （2）解不等式组：
27．（2024·青海·中考真题）
（1）解一元二次方程： ；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
28．（2024·上海·中考真题）解方程组： ．
29．（2020·江苏南京·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
30．（2025·四川南充·中考真题）设 ， 是关于 的方程 的两根．
（1）当 时，求 及m的值．
（2）求证： ．
