专题7.3等比数列及其前n项和2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 7.3 等比数列及其前 n 项和 练基础 1．（2021·全国高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】 根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案. 【详解】 ∵ 为等比数列 的前n项和， ∴ ， ， 成等比数列 ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：A. 2．（2021·山东济南市·）已知S 是递增的等比数列{a}的前n项和，其中S＝ ，a2＝a，则a＝ n n 3 3 4 5 （ ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【解析】 设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出 和q即可. 【详解】解：设递增的等比数列{a}的公比为 ，且q 1， n ∵S＝ ， ， 3 ∴ （1+q+q2）＝ ， q4＝ q3， 解得 ＝ ，q＝2； ＝2，q＝ （舍去）． 则 ＝ ＝8． 故选：C． 3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列 的前 项和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设等比数列 公比为 ，由 结合已知条件求 、 ，再利用等比数列前n项和公式求 . 【详解】 设等比数列 公比为 ，则 ，又 ， ∴ ，故 ， 又 ，即 . 故选：C 4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列 满足 ，则 （） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设等比数列 的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项. 【详解】 设等比数列 的公比为q，则 ，所以 ，又 ， 所以 ， 故选：A. 5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算 相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的 一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ） A．6里 B．24里 C．48里 D．96里 【答案】D 【解析】 1 q {a } {a } 根据题意，记每天走的路程里数为 ，可知 是公比 2 的等比数列， n n 1 a[1( )6] 1 2 S  378 由 ，得 6 1 ， 1 S 378 6 2 a 192 解可得 1 ， 1 则a a q192 96； 2 1 2 即此人第二天走的路程里数为96； 故选：D．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 由 可得出 ，取 ，由 ，进而判断可得出结论. 【详解】 若 ，则 ，即 ，所以，数列 为递增数列， 若 ， ， 所以，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列 中， ，且 ， 则 ___________. 【答案】 【解析】 由 ， ，得到 且 ，得出数列 构成以 为首项，以 为公比的等比数列， 结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】 由 ，可得 ，又由 ，可得 ，所以 ， 所以数列 构成以 为首项，以 为公比的等比数列， 所以 . 故答案为： . 8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列 满足 ，则 _____， _______． 【答案】 【解析】 利用 求通项公式，再求出 . 【详解】 对于 ， 当n=1时，有 ，解得： 1； 当 时，有 ，所以 ，所以 ，所以数列 为等比数列， ， 所以 . 故答案为：1， . 9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列 满足 ，则 ________，________． 【答案】 【解析】 根据 ，求出数列的通项公式，再代入求出 ． 【详解】 解：因为 当 时， ，解得 ； 当 时， ，所以 ，即 于是 是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以 ． 所以 ， 故答案为： ； ； 10.（2018·全国高考真题（文））等比数列{a }中，a =1，a =4a ． n 1 5 3 （1）求 的通项公式； {a } n （2）记 为 的前 项和．若 ，求 ． S {a } n S =63 m n n m 【答案】（1） 或 . a =(−2) n−1 a =2n−1 n n （2）m=6. 【解析】 （1）设 的公比为 ，由题设得 ． {a } q a =qn−1 n n 由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=−2或q=2．故 或 ． a =(−2) n−1 a =2n−1 n n 1−(−2) n （2）若a =(−2) n−1，则S = ．由S =63得(−2) m=−188，此方程没有正整数解． n n 3 m 若 ，则 ．由 得 ，解得 ． a =2n−1 S =2n−1 S =63 2m=64 m=6 n n m 综上，m=6． 练提升 TIDHNE a  a a a a2 64 1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列 n 为等比数列，且 2 3 4 7 ，则 a a  tan 4 6      3  （ ） 3  3  3 3  3 A. B. C. D. 【答案】B a a a a3 64,a 4 【解析】由等比数列的性质可得： 2 3 4 3 3 ， a a q4 0 a2 64 a 8 7 3 ，结合 7 可得： 7 ， a a a a 32 结合等比数列的性质可得： 4 6 3 7 ， a a  32   2  2 tan 4 6  tan  tan 10  tan  3        3   3   3  3 即： . 本题选择B选项. 2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第 行第 个数为 (其中 ， ，且 ).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列 ，设 的前 项和为 .若 ，则 （ ）A．46 B．47 C．48 D．49 【答案】C 【解析】 根据“数塔”的规律，可知第 行共有 个数，利用等比数列求和公式求出第 行的数字之和，再求出前 行的和，即可判断 取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出 ； 【详解】 解：“数塔”的第 行共有 个数，其和为 ，所以前 行的和为 故前 行所有数学之和为 ，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为 ，易知“数塔”前 行共有 个数，所以 故选：C 3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列 满足 ， ，其前 项和为 ，则 下列结论中正确的有（ ） A． 是递增数列 B． 是等比数列 C． D．【答案】ACD 【解析】 将递推公式两边同时取指数，变形得到 ，构造等比数列可证 为等比数列，求 解出 通项公式则可判断A选项；根据 判断B选项；根据 的通项 公式以及对数的运算法则计算 的正负并判断C选项；将 的通项公式放缩得到 ，由此进行求和并判断D选项. 【详解】 因为 ，所以 ， 从而 ， ，所以 ， 所以 ，又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ，所以 ，即 ， 又因为 在 时单调递增， 在定义域内单调递增， 所以 是递增数列，故A正确； 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 不是等比数列，故B错误. 因为， 而 ，从而 ， 于是， ，故C正确. 因为 ，所以 ，故D正确. 故选：ACD. a  S a 1 a S 1nN . 4. （2019·浙江高三期末）数列 n 的前n项和为 n，且满足 1 ， n1 n  ( ) a Ⅰ 求通项公式 n； 1 1 1 3 1 T     T 2 (Ⅱ)记 n S S S ，求证：2 2n n ． 1 2 n ( ) a 2n1 ( ) 【答案】 Ⅰ n ； Ⅱ 见解析 【解析】 ( )Qa  S 1① Ⅰ n1 n ，  当 n2 时， a n  S n1 1② ， ①② a 2a n2 得 n1 n ， Qa  S 12 又 2 1 ， a 2a 2 1， a  数列 n 是首项为1，公比为2的等比数列， a 2n1 n ；( ) a 2n 证明： Ⅱ n1 ， S 2n 1 n ， 1 1 1   Qn2时，2n S 2n1 ， n 1 1  1   1 1 1 4 2n1 3 1 T    1   n S S S 1 2 2n ， 1 2 n 1 2 1 1  1   2 2n1 1 T 1 2 2 同理： n 1 2n ， 1 2 3 1  T 2 故：2 2n n ． 5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，其中 . （1）若 ，求出 ； （2）是否存在实数 ， 使 为等比数列？若存在，求出 ，若不存在，说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， . 【解析】 （1）将 代入，由递推关系求出通项公式，并检验当 时是否满足，即可得到结果；（2）先假设 存在实数 ， 满足题意，结合已知条件求出满足数列 是等比数列的实数 ， 的值，运用分组求和法求出 的值. 【详解】 （1）由题可知：当 时有： ， 当 时， ， 又 满足上式，故 . （2）假设存在实数 ， 满足题意，则当 时， 由题可得： ， 和题设 对比系数可得： ， ， . 此时 ， ， 故存在 ， 使得 是首项为4，公比为2的等比数列. 从而 . 所以 . 6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列 ，满足 ， ，设 ， （ 为实数）． （1）求证： 是等比数列；（2）求数列 的通项公式； （3）若 是递增数列，求实数 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ． 【解析】 （1）由 ，变形为 ，再利用等比数列的定义证明； （2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解； （3）根据 是递增数列，由 , 恒成立求解. 【详解】 （1）因为 ， 所以 ， 即 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 是等比数列． （2）由 ，公比为2， 得 ， 所以 ． （3）因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 是递增数列，所以 成立， 故 ， 成立， 即 ， 成立， 因为 是递减数列， 所以该数列的最大项是 ， 所以 的取值范围是 ． 7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的 数可组成等差数列，如： ， ， ， ，…；依次选出来的数可组成等比数列，如： ， ， ， ， …. 记第 行第 个数为 . （Ⅰ）若 ，写出 ， ， 的表达式，并归纳出 的表达式； （Ⅱ）求第 行所有数的和 . 【答案】（Ⅰ） ， ， ， ； （Ⅱ） .【解析】 （I）由数阵写出 ， ， ，由此可归纳出 . （II） ，利用错位相 减法求得结果. 【详解】 （Ⅰ）由数阵可知： ， ， ， 由此可归纳出 . （Ⅱ） ， 所以 ， 错位相减得 . 8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， . （1）求 的通项公式； （2）设数列 满足 ， ， ，按照如下规律构造新数列 ： ，求 的前2n项和. 【答案】（1） ， ；（2）数列 的前2n项和为 .【解析】 （1）由 可得 可得答案； （2）由 得 ，两式相除可得数列 的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数 列 的前2n项的和. 【详解】 （1）由 ， ， 得 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， . 又当 时， ，适合上式. 所以 ， . （2）因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 . 所以数列 的偶数项构成以 为首项､2为公比的等比数列. 故数列 的前2n项的和 ， 所以数列 的前2n项和为 . a  a 0,a 2a nnN* 9．（2019·浙江高考模拟）已知数列 n 中， 1 n1 n ，b a a 1 b  （1）令 n n+1 n ，求证：数列 n 是等比数列； a c  n （2）令 n 3n ，当 c 取得最大值时，求n的值. n n3,c k 3 【答案】（I）见解析（2） n最大，即 【解析】 Qa 2a n，a 2a n1 （1） n1 n n2 n1 a a 2a 2a 1 两式相减，得 n2 n1 n1 n a a 12a a 1 ∴ n2 n1 n1 n b 2b 即： n1 n 又Qa 1，b 20 2 1 b  ∴ 数列 n 是以2为首项，2为公比的等比数列 b 2n a a 2n 1 （2）由（1）可知， n 即 n1 n a a 21 2 1 a a 22 1 3 2  a a 2n11n2 n n1 a a 222 2n1n12n n1 n 1 n2,a 2n n1 n n1,a 0 1 也满足上式 a 2n n1 n2n n1 2n1n2 c  c  n 3n n1 3n1 2n1n2 2n n1 2n12n c c    n1 n 3n1 3n 3n1 f n2n12n f n12n32n1 令 ，则 ，  f n1 f n22n  f 1 f 2, f 2 f 3 f 4 f n Q f 1 f 210, f 310,n3, f n0 c c c，c c c ... 1 2 3 3 4 5 n3,c k 3 ∴ n最大，即 10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， . （1）数列 ， 的通项公式； （2）若 ，求使 成立( 表示不超过 的最大整数) 的最大整数 的值. 【答案】（1） ， ；（2）最大值为44. 【解析】 （1）由题得数列 是等比数列，即求出数列 的通项；由题得 是一个以 为首项，以1 为公差的等差数列，即得数列 的通项公式；（2）先求出 ，再求出 即得解. 【详解】 解：（1）由 得 ， 所以数列 是等比数列，公比为 ， 解得 . 由 ，得 ， 所以 是一个以 为首项，以1为公差的等差数列， 所以 ， 解得 . （2）由 得 ，记 ， ， 所以 为单调递减且 ， ， ， 所以 ， 因此 ， 当 时， 的 的最大值为44； 当 时， 的 的最大值为43； 故 的 的最大值为44. 练真题 TIDHNE 1．（2021·全国高考真题（理））等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是 递增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】 由题，当数列为 时，满足 ， 但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 2.（2020·全国高考真题（文））记S为等比数列{a}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ n n 5 3 6 4 ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【解析】 设等比数列的公比为 ， 由 可得： ， 所以 ， 因此 . 故选：B. a  a 3a 4a 3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列 n 的前4项和为15，且 5 3 1，a  则 3 （ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】 a aqaq2 aq3 15, 1 1 1 1  设正数的等比数列{a n }的公比为 q ，则  aq4 3aq2 4a ， 1 1 1 a 1, 1  解得 q 2 ，a aq2 4，故选C． 3 1 3 a 1，S  4．（2019·全国高考真题（文））记S为等比数列{a}的前n项和.若 1 3 4，则 n n S=___________． 4 5 【答案】8. 【解析】 q 设等比数列的公比为 ，由已知 3 1 S a aqaq2 1qq2  q2 q 0 3 1 1 1 4 ，即 4 1 q  解得 2， 1 1( )4 a (1q4) 5 2 S  1   所以 4 1q 1 8． 1( ) 2 5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）求 .【答案】（1） ；（2） 【解析】 (1) 设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ， 整理可得： ， ， 数列的通项公式为： . (2)由于： ，故： . 6．（2021·浙江高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 . （1）求数列 的通项； （2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即可得 出结论； （2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分 类讨论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】 （1）当 时， ， ， 当 时，由 ①， 得 ②，① ②得 ， 又 是首项为 ，公比为 的等比数列， ； （2）由 ，得 ， 所以 ， ， 两式相减得， 所以 ， 由 得 恒成立， 即 恒成立， 时不等式恒成立； 时， ，得 ； 时， ，得 ； 所以 .