文档文本内容
2023-2024 学年七年级数学下学期期末模拟卷 01
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第六章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样
的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
2．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”，每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四
溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10−4 B．3×10−5 C．0.3×10−5 D．3×10−4
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】0.00003=3×10−5．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．下列说法正确的是（ ）
A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件
B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率
仍为5%
C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件
1
D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为
2
【答案】B
【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可．
【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只
是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意；
B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说
法正确，符合题意；
C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说
法错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情
1
况，所以中靶的概率不为 ，原说法错误，不符合题意；
2
故选：B．
【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键．
4．小静有两根长度为5cm和8cm的木条，她想钉一个三角形的木框，那她第三木条应该选择的长
度为（ ）
A．2cm B．3cm C．8cm D．15cm
【答案】C【分析】设第三根木条的长度为xcm，然后根据三角形的三边关系列不等式求x的长度范围，最
后根据选项即可解答．
【详解】设第三根木条的长度为xcm，
由题意得：8−5<x<8+5，解得：3<x<13，
四个选项中只有8cm适合．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于
第三边即可解答．
5．如图，点P是直线l外一点，且PC⊥l，点C是垂足．点A，B，D在直线l上，下列线段中最
短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
【答案】C
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短的公理求解．
【详解】根据公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，PC⊥l，所以
PC最短；
故选C．
【点睛】本题考查基本公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，理解公
理是解题的关键．
6．现有1张边长为a的正方形A型纸片，12张边长为b的正方形B型纸片，15张长、宽分别为
a，b的长方形C型纸片，小明同学用这些纸片，拼成无缝隙无重叠且面积尽可能大的长方形，发
现A型和B型纸片都用完了，而C型纸片还剩下若干张，那么剩下的C型纸片最少的张数是（
）A．8 B．7 C．2 D．1
【答案】C
【分析】该题主要考查了多项式乘多项式的应用，解答的关键是掌握多项式乘多项式的方法．
根据题意以及多项式乘多项式解答即可．
【详解】解：当拼接的长方形面积为(a+12b)(a+b)时，
S =a2+ab+12ab+12b2=a2+13ab+12b2，
长方形
∴最少剩C型2张．
故选：C．
7．设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进
而即可求解．
【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，
∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，
∵ a2+b2=16，
∴ (a−b) 2+2ab=16，
∴ ab=6，
∴ c2=(a−1)(b+1)
=ab+a−b−1
=6+2−1
=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．
8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
若∠A=50°，∠ABD=26°，则∠ACF的度数为( )A．66° B．52° C．46° D．42°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABD=26°，∠ABC=2∠ABD=52°，根据垂直平
分线的性质得到FB=FC，得到∠FCB=∠CBD=26°，计算即可．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=26°，∠ABC=2∠ABD=52°，
∴∠ACB=180°−50°−52°=78°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠CBD=26°，
∴∠ACF=78°−26°=52°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端
点的距离相等是解题的关键．
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，以B为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA，BC分
1
别交于点M、N，在分别以M、N为圆心，以大于 MN长度为半径作弧．两弧相交于点O，作
2
1
射线BO．再分别以A、B为圆心，以大于 AB长度为半径作弧，两弧分别在线段AB的上方和下
2
方相交于点P、Q．直线PQ．通过作图发现，射线BO和直线PQ恰好相交于边AC上一点D，则
∠A的度数为( )A．20° B．36° C．30° D．32°
【答案】C
【分析】由作图可知：BO为∠ABC的平分线，PQ为线段AB的垂直平分线，进而可得
∠ABD=∠CBD，AD=BD，再根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABD，据此可得出
∠ABC=2∠A，然后再利用三角形的内角和定理即可求出∠A的度数．
【详解】解：由作图可知：BO为∠ABC的平分线，PQ为线段AB的垂直平分线，
∴∠ABD=∠CBD，AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∴∠A=∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=90°，
∴∠A+2∠A+90°=180°，
∴∠A=30°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了基本尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形
的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是熟练掌握尺规作图：作已知角的平分线和作
已知线段的垂直平分线，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
10．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方
案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作
BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使
∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】方案Ⅰ中可用ASA证明△ABC≌△EDC，从而得到AB=DE；方案Ⅱ中可用ASA证明
△ABD≌△CBD，从而得到AB=BC．
【详解】解：如图1所示，∵BF⊥AB，BF⊥DE，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=BC，
∴测量DE的长即可，故方案Ⅰ可行；
如图2所示，∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD=90°，
又∵∠BDC=∠BDA，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB=BC，
∴测量BC的长即可，故方案Ⅱ可行；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确理解题意并熟知全等三角形的性质与判
定条件是解题的关键．
11．甲乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发,
中途不停留．各自到达目的地后停止，已知货车的速度为40km/h．轿车的速度为60km/h．设货
车行驶时间为x（小时），两车间距离为y（千米），则下列图象中可以反映变量y与x之间关系
的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可求得货车从甲地开往乙地所需的时间，当x=3时，可求出货车行驶的路程，
轿车行驶的路程，即可得，当x=5时，可求出货车行驶的路程，轿车行驶的路程即可得．
【详解】解：货车从甲地开往乙地所需的时间：300÷40=7.5（小时），
当x=3时，货车行驶的路程：3×40=120（千米），
轿车行驶的路程：3×60=180（千米），
120+180=300（千米），
则当x=3时，两车相遇，两车距离为0千米，
当x=5时，货车行驶的路程：5×40=200（千米），
轿车行驶的路程：5×60=300（千米），轿车已到达甲地，
则两车相距200千米，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解题意．
12．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点
C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'=α，则∠FEA−∠AEB′的度数为（ ）
1 1 1 3
A．45°+ α B．60°− α C．90°− α D．90°− α
2 2 2 2
【答案】D【分析】根据折叠的性质得到，∠CFE=∠C′FE，∠BEF=∠B′EF，进而利用邻补角得
1 1
∠CFE=∠C′FE=90°− α，利用平行线的性质得∠FEA=∠CFE=90°− α，进而求得而
2 2
∠AEB′=α，于是即可得解．
【详解】解：根据折叠的性质得到，∠CFE=∠C′FE，∠BEF=∠B′EF，
∵∠DFC′=α，∠CFE=∠C′FE，
1 1
∴∠CFE=∠C′FE= (180°−α)=90°− α，
2 2
∵∠BEF=∠B′EF，CD∥AB，
∴∠BEF=∠B′EF=∠DFE=180°−∠CFE=180°− ( 90°− 1 α ) =90°+ 1 α，
2 2
1
∠FEA=∠CFE=90°− α，
2
∴∠AEB′=∠FEB′−∠FEA=90°+ 1 α− ( 90°− 1 α ) =α，
2 2
1 3
∴∠FEA−∠AEB′=90°− α−α=90°− α，
2 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质以及折叠的性质
是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知2x+ y−4=0，则3y ⋅9x的值是 ．
【答案】81
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运
用．
由已知条件可得2x+ y=4，再利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再
代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵2x+ y−4=0，
∴2x+ y=4，
∴3y ⋅9x=3y ⋅32x=32x+y=34=81，
故答案为：81．
14．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为．
【答案】36
【分析】把x=6代入x(x÷1)中，根据限制条件判断输出的因变量即可．
【详解】解：当x=6时，
x(x÷1)=6×(6÷1)=6×6=36>15，
∴输出因变量y=36，
故答案为：36．
【点睛】本题考查程序流程图，已知自变量的值，根据限制条件，判断输出因变量的值是解题的
关键．
15．“红灯停，绿灯行，黄灯亮了等一等”，某路口交通信号灯设计如下：每次红灯时间为30
秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，如此循环往复，则某人驾车行驶至该路口，按照交通规
则，需要停车等待的概率为 ．
7
【答案】
12
【分析】由题可以得到等待的为红灯和黄灯，用时间比求概率即可．
30+5 7
【详解】解：需要停车等待的概率为 = ，
30+25+5 12
7
故答案为： ．
12
【点睛】本题考查概率公式，掌握概率为所求情况数与总情况数的比值．
16．将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为30的直角三角形的长直角边与等腰直角三
角形的斜边平行，则∠α的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】首先根据题意得出∠A=45°，∠E=60°，∠EDF=90°，DF∥AB，然后由平行线的性质得∠CDF=∠A=45°，进而得∠EDC=45°，最后再利用三角形的内角和定理可求出∠α的
度数．
【详解】解：依题意得：∠A=45°，∠E=60°，∠EDF=90°，DF∥AB，
∴∠CDF=∠A=45°，
∴∠EDC=∠EDF−∠CDF=90°−45°=45°，
∴∠α=180°−∠E−∠EDC=180°−60°−45°=75°．
故答案为：75°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟
练掌握两直线平行同位角相等，三角形的内角和等于180°．
17．如图，△ABC中，∠A=23°,∠B=57°，以点A为圆心，BC长为半径作弧；以点B为圆
心，AC长为半径作弧，两弧相交于点D，则∠DBC的度数为 ．
【答案】34°或80°
【分析】由作法得，AD=BC，BD=AC，利用SSS证△ABD≌△BAD，得出∠ABD=∠BAC=23°，再分
两种情况：当点D在AB上方时，当点D在AB下方时，分别求解即可．
【详解】解：由作法可知，AD=BC，BD=AC，
又∵AB=AB，
∴△ABD≌△BAD（SSS），
∴∠ABD=∠BAC=23°，
当点D在AB上方时，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=57°-23°=34°；当点D在AB下方时，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=57°+23°=80°；
∴∠DBC的度数为34°或80°，
故答案为：34°或80°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题意关键是要分类讨论，以免漏解．
18．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，AD=AC，过点C作CE⊥AB于点E，交
3 10
AD于点F，且∠B:∠DFC=2:3，若AE= ，BD= ，则AB的长为 ．
2 3
19 1
【答案】 /6
3 3
【分析】作AM⊥BC于M，根据直角三角形的性质以及角的和差可得∠CAM=∠ACE，证明
3
△ACM≌△CAE(AAS)，可求出CM=AE= ，∠EAC=∠MCA，则AB=BC，由
2
AB=BC=BD+DM+CM即可求解．
【详解】解：作AM⊥BC于M，如图，
∵AD=AC，AM⊥BC．
∴∠DAM=∠CAM，∠ADC=∠ACD，CM=DM，∵∠B:∠DFC=2:3， 设∠B=2α，∠DFC=3α，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°−2α，∠BAD=90°−∠EFA=90°−∠DFC=90°−3α，
∴∠ADC=∠ACD=∠B+∠BAD=90°−α，
∴∠DAM=∠CAM=α，∠ACE=∠ACD−∠BCE=α，
∴∠CAM=∠ACE，
在△ACM与△CAE中， ¿，
∴△ACM≌△CAE(AAS)，
3
∴CM=AE= ，∠EAC=∠MCA．
2
3
∴CM=DM= ，BA=BC，
2
10 3 3 19
∴AB=BC=BD+DM+CM= + + = ．
3 2 2 3
19
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，证明
△ACM≌△CAE(AAS)是解题的关键．
三、解答题
19．计算：
(1)(2023−π) 0+ ( − 1) −2 −|−2|
2
(2)(−x3y) 3 ⋅ (1 x2y3z ) ÷ ( − 1 x5y2) 2
8 4
【答案】(1)3
(2)−2x y2z
【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，再计算加减法；
（2）先计算乘方，再计算乘除法．
【详解】（1）解：原式=1+(−2) 2−2
=1+4−2
=3；（2）原式=−x9y3
⋅
1 x2y3z÷ ( 1 x10y4)
8 16
=− 1 x11y6z÷ ( 1 x10y4)
8 16
=−2x y2z．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，整式的乘除法计算，正确掌握零次幂，负整数指数幂，及
整式乘除法的计算法则是解题的关键．
20．先化简，再求值：[(−2a+b)(2a+b)−(a−b) 2]÷ (1 a ) ，其中a=−1，b=2．
2
【答案】−10a+4b，18
【分析】运用平方差公式以及完全平方差公式结合多项式除法运算即可解答；
【详解】解：原式=[(b2−4a2)−(a2−2ab+b2)]÷ (1 a )
2
=(b2−4a2−a2+2ab−b2)÷ (1 a )
2
=(−5a2+2ab)÷ (1 a )
2
=−10a+4b，
把a=−1，b=2代入上式得：
原式=−10×(−1)+4×2
=18.
【点睛】该题主要考查了整式中多项式的加减乘除混合运算，解题的关键是清楚多项式混合运算
的运算法则和解题步骤，熟悉平方差公式以及完全平方差公式．
21．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；(2)求△AC A′的面积；
(3)求△A′B′C′的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)4
【分析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接
A′、B′、C′即可；
（2）根据三角形面积公式进行求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求；
1
（2）解：S = ×6×2=6；
△ACA′ 2
1 1 1
（3）解：S =4×3− ×3×2− ×1×2− ×4×2=4．
△A′B′C′ 2 2 2
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，利用网格求三角形面积，正确画出对应的轴对称图形是
解题的关键．
22．把下列说理过程补充完整：
如图，∠DEH+∠EHG=180°，∠1=∠2，∠C=∠A，请说明∠AEH=∠F．
说明理由为：因为∠DEH+∠EHG=180°，所以ED∥ ，（ ）
则∠1=∠C．（ ）
∠2= （两直线平行，内错角相等）
又因为∠1=∠2，所以∠C= ，
又因为∠C=∠A，
所以∠A= ，
所以AB∥DF，（ ）
所以∠AEH=∠F．（ ）
【答案】AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DGC；∠DGC；
∠DGC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【详解】说明理由为：因为∠DEH+∠EHG=180°，
所以ED∥AC，（同旁内角互补，两直线平行）
则∠1=∠C．（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠DGC（两直线平行，内错角相等）
又因为∠1=∠2，所以∠C=∠DGC，
又因为∠C=∠A，
所以∠A=∠DGC，
所以AB∥DF，（同位角相等，两直线平行）
所以∠AEH=∠F．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DGC；∠DGC；
∠DGC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果：
(1)有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”，将这5张纸牌
背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为______
(2)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行
四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞
镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______2
【答案】(1)
5
7
(2)
16
【分析】（1）所有的等可能结果有5种，满足条件的有2种，根据概率定义计算；
（2）设最小的等腰直角三角形面积为s，求出阴影部分面积占整体面积的比，从而确定概率．
2
【详解】（1）解：所有的等可能结果有5种，满足条件的有2种，故概率为 ；
5
2
故答案为： ．
5
（2）解：设最小的等腰直角三角形面积为s，则阴影部分面积为s+2s+4s=7s，整体面积为
=s+2s+4s+s+2s+2s+4s=16s，
7s 7
故飞镖落在阴影部分的概率是 = ．
16s 16
7
故答案为： ．
16
【点睛】本题考查概率的计算，理解几何图形面积法求概率是解题的关键．
24．甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s
与时间t的对应关系如图所示：
(1)A，B两城之间距离是多少？
(2)求甲、乙两车的速度分别是多少？
(3)乙车出发多长时间追上甲车？
(4)从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km？
【答案】(1)A、B两城之间距离是300km；
(2)甲、乙两车的速度分别是60km/h和100km/h；
(3)乙车出发1.5h追上甲车；(4)分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40km．
【分析】（1）根据图象即可得出结论；
（2）根据图象求甲、车两车速度；
（3）由题意列方程解决问题；
（4）分两车相遇前和相遇后以及乙到达B城三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：由图象可知A、B两城之间距离是300km；
300
（2）解：由图象可知，甲的速度= =60（km/h），
5
300
乙的速度= =100（km/h），
3
∴甲、乙两车的速度分别是60km/h和100km/h；
（3）解：设乙车出发xh追上甲车，
由题意：60（x+1）=100x，
解得：x=1.5，
∴乙车出发1.5h追上甲车；
（4）解：设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40km时甲车行驶了
mh，
①当甲车在乙车前时，
得：60m-100（m-1）=40，
解得：m=1.5，
此时是上午6：30；
②当甲车在乙车后面时，
100（m-1）-60m=40，
解得：m=3.5，
此时是上午8：30；
③当乙车到达B城后，
300-60m=40，
13
解得：m= ，
3
此时是上午9：20．
∴分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40km．
【点睛】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程．
25．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正
方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积
是(a+b) 2；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由
此得到(a+b) 2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形，从中
你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：
已知a+b+c=10，ab+ac+bc=37，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD
、DF，若a−b=5，ab=6，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
(2)a2+b2+c2=26
(3)14.5
【分析】（1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论；
（2）把a+b+c=10，ab+ac+bc=37代入（1）中公式可得答案；
1 1 1 1 1
（3）先求解a+b=7，阴影部分的面积为： a2−b2− b(a−b)= a2− b2− ab，再利用因式
2 2 2 2 2
分解后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：正方形的面积可表示为：(a+b+c) 2，
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，a+b+c=10，ab+ac+bc=37，
∴102=a2+b2+c2+2×37，∴a2+b2+c2=100−74=26．
（3）∵a−b=5，ab=6，
∴(a+b) 2=(a−b) 2+4ab=25+24=49，
∴a+b=7（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
1 1 1 1 1
a2−b2− b(a−b)= a2− b2− ab
2 2 2 2 2
1 1
= (a+b)(a−b)− ab
2 2
1 1
= ×5×7− ×6
2 2
=14.5．
【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积的关系，完全平方公式的应用，完全平方公
式的变形的灵活应用，因式分解的应用，熟练的利用图形面积建立代数公式是解本题的关键．
26．在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述
知识，解答下列问题：
已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方
形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）填空：∠AGD+∠EGH= °；
（2）若点G在点B的右边．
①求证：△DAG≌△GHE；
②试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；
【答案】（1）90；（2）①答案见解析；②EH﹣BG的值是定值4；（3）45°．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠DGE=90°，由平角的定义即可得到结论；
（2）①根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到∠GEH=∠AGD，根据正方形
的性质得到∠DAG=90°，DG=≥¿，求得∠DAG=∠GHE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到AG=EH，根据线段的和差即可得到结论；
（3）下面分两种情况讨论：（I）当点G在点B的左侧时，如图1，根据全等三角形的性质得到
GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根据
等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（II） 如图2，当点G在点B的右侧时，根据全等三
角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直
角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（III）当点G与点B重合时，如图
3，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰
直角三角形，于是得到∠EBH=45°即可得到结论．
【详解】解： （1）∵四边形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°-∠DGE=90°，
故答案为：90；
（2）①∵EH⊥AB，
∴∠GHE=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，
又∠AGD+∠EGH=90°，
∴∠GEH=∠AGD，
∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，
∴∠DAG=90°，DG=GE，
∴∠DAG=∠GHE，
在△DAG和△GHE中，
¿，
∴△DAG≌△GHE(AAS)；
②EH﹣BG的值是定值，
理由如下：由①证得：△DAG≌△GHE，
∴AG=EH，
又AG=AB+BG，AB=4，
∴EH=AB+BG，EH﹣BG=AB=4；
（3）下面分两种情况讨论：
（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（2）①可证得：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴GB+BH=AG+GB，
∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（II） 如图2，当点G在点B的右侧时，
由（2）①证得：△DAG≌△GHE．
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴AB+BG=BG+GH，
∴AG=BH，又EH=AG
∴EH=HB，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（III）当点G与点B重合时，
如图3，同理可证：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，
∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证得
△DAG≌△GHE是解题的关键．
