专题7.1数列的概念与简单表示2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 7.1 数列的概念与简单表示 练基础 1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{a}的第1项是1，第2项是2，以后各项由a=a +a (n>2)给出， n n n-1 n-2 则该数列的第5项等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 利用a=a +a (n>2)逐项求解即可求得答案. n n-1 n-2 【详解】 解析：∵a=1，a=2，a=a +a (n>2)， 1 2 n n-1 n-2 ∴a=a +a =2+1=3，a=a +a =3+2=5，a=a +a =5+3=8. 3 2 1 4 3 2 5 4 3 答案：C. 2．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（ ） A．递推公式也是数列的一种表示方法 B．a=a ，a=1(n≥2)是递推公式 n n-1 1 C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法 D．a=2a ，a=2(n≥2)是递推公式 n n-1 1 【答案】C 【解析】 根据数列的概念及递推公式的概念逐项排除答案，得出结论. 【详解】 根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；a=a (n≥2)与a=2a (n≥2)，这两个关 n n-1 n n-1 系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a，所以都是递推公 1 式.故B,D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法， 故C错误； 故选：C. 3．（2019·绥德中学高二月考）数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据三角函数的周期性可 ，同理得 ，可知周期为4， ． 4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列 中， ， ，设其前n 项和为 ，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D．若 ，则 【答案】D 【解析】 依题意可得 ，设 ，即可判断A，利用特殊值法判断B、C，由 ，可得 递增，根据 即可证明D； 【详解】 解：由 得 ，设 ，则 ，故A错． 取 ，知B错， 时，数列 不满足，知C错． 对于D，由 ，知 递增， 所以 ，知D正确； 故选：D 5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列 的首项 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解； 【详解】 解：因为 ，且 ，所以 ， ， ， ， ， ，所以数列 是以 为周期的周期数列，所以故选：A 6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门 新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可 得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为 ，则 （ ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【解析】 表示第n行中的黑圈个数，设 表示第n行中的白圈个数，由题意可得 ， 根据初始值，由此递推，不难得出所求. 【详解】 已知 表示第n行中的黑圈个数，设 表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑 两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴ ， 又∵ ; ; ; ; ;, 故选：A. 7．（2021·河南高三其他模拟（文））数列 满足递推公式 ，且 ， ，则 （ ） A．1010 B．2020 C．3030 D．4040 【答案】B 【解析】 已知条件可化为 左右两端同乘以 有 ，即 ， ，…， ，通过累加求和，计算即可求得结果. 【详解】 左右两端同乘以 有 ， 从而 ， ，…， ， 将以上式子累加得 ． 由 得 ． 令 ，有 ． 故选：B. 1 8.（2019·浙江高考模拟）已知数列 a n  满足 a 1 0 ， a 11 4 ， a n1 a n  2 a n 2 ，数列 b n  满足 b n 0 ， 1 b a ， b n b n1  2 b n 2 1，nN*若存在正整数 m,nmn ，使得 b b 14 ，则（ ） 1 12 m n m10,n12 m9,n11 m4,n6 m1,n3 A． B． C． D． 【答案】D【解析】 1 1 a a  a 2 b b  b2 因为 n1 n 2 n ， n n1 2 n1 ， a a a 0 b b b 0 则有 n1 n 1 ， 1 2 n ， 1 y  x2 x 0, 且函数 2 在 上单调递增， 1 1 b a b  b2 a  a2 故有 1 12 2 2 2 11 2 11，得 b a 4 ， 2 11 b a 2,,b a 同理有 3 10 m 13m， 1 a a  a2 12 又因为 12 11 2 11 ， b b a a 故 m n 10 12， m1,n3 所以 . 故选D. 9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 ______． 【答案】4 【解析】 归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解. 【详解】 由题得 ， ， ，, , , 所以数列的周期为6， ， ， 所以 . 故答案为：4 n a n1 10  nN* 10.（山东省单县第五中学月考）数列a n 的通项 n  11   ，试问该数列a n 有没有最 大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由. 1010 a a  【答案】最大项为 9 10 119 【解析】 a a n n1  设 a 是该数列的最大项，则  a a n n n1  10 n 10 n1  n1   n2    11 11 ∴ n n1  10 10 n1 n       11 11 9n10 解得 nN* ∵ ， n9或n10 ∴ ， 1010 a a  ∴最大项为 9 10 119练提升 TIDHNE 1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由已知条件计算出数列 的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意 的情况进行分类讨论. 【详解】 ，取 ， 相减 ， ， 则推出 当 时， 原式 故选：A 2．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半（即 ）；如果 是奇数，则将它乘3加1（即 ），不断重复这样的运算， 经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为： 为正整数，当 时， ，则数列 中必存在值为1的项．若 ，则 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ， 故选：B 3.（2021·辽宁高二月考）设函数 ，数列 满足 ，且数列 是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【解析】 本题首先可根据题意得出 ，然后根据数列 是递增数列得出不等式组 ，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为 ， ， 所以 ， 因为数列 是递增数列， 所以 ，解得 ，即 . 故选：C. 4．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论， 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两 仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12， 18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ） A． B． C．当 为偶数时， D．当 为奇数时， 【答案】B 【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式 ，代入数列的具体值即可判断 出各个选项． 【详解】 解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ， 则数列的通项公式为： ， 所以 ， ， 当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ． 故选：B． 5．（2020·四川高一期末（理））已知数列 满足 ， ， 为数列 的前 项和.若对任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由和与通项的关系先求出 ，进而求出 ， ，再用裂项相消求出 即可获解. 【详解】设数列 的前 项和为 ，由题意得， 当 时， ，即 当 时， 所以 ，当 时， ，也满足，所以 故 故 ， 所以实数 的取值范围为 故选：A. 6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列 ， ，其中数列 满足 ，前 项和为 满足 ；数列 满足： ， 且对任意的 ､ 都有： ，则数列 的第47项的值为（ ） A．384 B．47 C．49 D．376 【答案】A 【解析】 根据 ，分别取不同的n值，求得 ，并根据 ，求得 ；取 得， ，从而利用累加法求得 ，从而求得结果. 【详解】 时， ，解得 ， 时， ，得 ， 时， ，得 ， 从而有 ， ， 时， ，得 ， 时， ，得 ， 则 ， ， 又 ，故 ， 取 得， ，则 故 ， 则 ， 故数列 的第47项为 故选：A7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列 满足： ， 是数列 的前 项和， ，下列命题正确的是（ ） A． B．数列 是递增数列 C． D． 【答案】ABD 【解析】 选项A. 设 ,求出其导函数得出其单调性，可得， ，设 ，求出其导函数，得出其单调性，可得 ，从而可判断A； 选项B. 设 ,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判 断; 选项C. 由 可判断；选项：由选项B数列 是递增数列，所以 ，由选项A中得到的结论 可得 ，从而可判断. 【详解】 由题意 ，则 设 ，则所以 在 上的单调递减，所以 ，即 当 时，可得 ，即 设 ， 所以 在 上的单调递增，所以 取 ，可得 ，即 所以 ，所以选项A正确. 设 ，则 由上 在 上恒成立，则 所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增. 所以数列 是递增数列，故选项B正确. 由 ，所以 ，所以选项C不正确. 由数列 是递增数列，所以 由上 ，则 ，所以 所以 ，故选项D正确.故选： ABD 8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据 斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金 比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连 起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为 ， ， ，边长为斐波那契数 的正方形所对应扇形面积记为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再 次应用累加法及递推公式判断选项D. 【详解】 由递推公式 ，可得 ， ， 所以 ，A选项正确； 又由递推公式可得 ， ， ，类似的有 ， 累加得 ，故 错误，B选项错误； 由题可知扇形面积 ， 故 ， 故 错误，C选项错误； 由 ， ， ， ， 类似的有 ， 累加得 ， 又 ，所以 ， 所以 正确，D选项正确； 故选：AD. 9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前项 和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由题意可得当 时 与已知条件两式相减，即 可得 ，再检验 是否满足 即可. （2）由等差数列前 项和公式求出 ，由不等式分离出 ，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值 即可求解. 【详解】 （1）因为 ， 所以 两式相减可得： 所以 ， 当 时， 满足 ， 所以 ， （2） ， 由 可得： ， 所以 ， 令 ，只需 .， 当且仅当 即 时等号成立，此时 ， 所以 ， 所以实数 的取值范围为 . 10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列 中， ， . （1）求 ， 的值； （2）已知数列 的通项公式是 ， ， 中的一个，设数列 的前 项 和为 ， 的前 项和为 ，若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ， （2） ，且 是正整数 【解析】 （1）∵ ， ∴ ∴（2）由数列 的通项公式是 ， ， 中的一个，和 得数列 的 通项公式是 由 可得 ∴ ∴ ∵ ， ∴ 即 由 ，得 ，解得 或 ∵ 是正整数， ∴所求 的取值范围为 ，且 是正整数 练真题 TIDHNE 1．（2021·浙江高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】 显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后 利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解． 【详解】 因为 ，所以 ， ． 由 ，即 根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号， ， 由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号， 由裂项求和法得： 所以 ，即 ．故选：A． 2.（2019·浙江高考真题）设 a,bR ，数列 a n  中， a 1 a,a n1 a n 2 b ， nN ,则（ ） 1 1 b ,a 10 b ,a 10 A．当 2 10 B．当 4 10 b2,a 10 b4,a 10 C．当 10 D．当 10 【答案】A 【解析】 1 1 x2    对于B，令 4 0，得λ 2， 1 1 1 a  a  ，，a  ＜10 取 1 2，∴ 2 2 n 2 ， 1  ∴当b 4时，a＜10，故B错误； 10 对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1， 取a＝2，∴a＝2，…，a＝2＜10， 1 2 n ∴当b＝﹣2时，a＜10，故C错误； 10 1 17  对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得 2 ， 1 17 1 17 1 17 a  a  a  ＜ 取 1 2 ，∴ 2 2 ，…， n 2 10， ∴当b＝﹣4时，a＜10，故D错误； 10 1 1 1 1 3 a a2   a (a2  )2   对于A， 2 2 2 ， 3 2 2 4， 3 1 9 1 17 a (a4 a2  )2     ＞1 4 4 2 16 2 16 ， a ﹣a＞0，{a}递增， n+1 n n1 a 2 1 3 当n≥4时， n1 a  ＞ 1  ， a n a 2 2 n n a 3 5＞  a 2  4 a 3 4＞  a 2  5   ∴ ，∴ （ ）6，∴a 10．故A正确．  10     a 3 a  10＞ 10＞ 3 ＞ 729 ＞   a 9 2 a 4 2 64 故选：A． 3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了 一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的 激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第 一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【解析】 由题意得，数列如下： 1, 1,2, 1,2,4,  1,2,4,,2k−1  k(k+1) 则该数列的前1+2++k= 项和为 2 S (k(k+1)) =1+(1+2)++(1+2++2k−1 )=2k+1−k−2 ， 2k(k+1) 要使 >100，有k≥14，此时k+2<2k+1，所以k+2是第k+1组等比数列1,2,,2k的部分和，设 2 k+2=1+2++2t−1=2t−1， 所以k=2t−3≥14，则t≥5，此时k=25−3=29， 29×30 所以对应满足条件的最小整数N= +5=440，故选A. 2 4．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由 知，序列 的周期为m，由已知， ， 对于选项A， ，不满足； 对于选项B，，不满足； 对于选项D， ，不满足； 故选：C 5．（2020·全国高考真题（文））数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________. 【答案】 【解析】 分析： 对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由 偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论. 详解： ， 当 为奇数时， ；当 为偶数时， . 设数列 的前 项和为 ， ，. 故答案为： . 6.（2021·全国高考真题）已知数列 满足 ， （1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； （2）求 的前20项和. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项. （2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用 （1）的结果可求 . 【详解】 （1）由题设可得 又 ， ， 故 ，即 ，即 所以 为等差数列，故 . （2）设 的前 项和为 ，则 ， 因为 ， 所以 .