专题7.2等差数列及其前n项和2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题7.2 等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；
2.了解等差数列与一次函数.
新课程考试要求
3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.
1.利用方程思想进行基本量的计算.
2.等差、等比数列的综合问题.
考向预测 3.复习中注意:
(1)方程思想在数列计算中的应用;
(2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用.
【知识清单】
知识点一．等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
d
那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.用递推公式表示为
a a d(n2) a a d(n1)
n n1 n1 n
或 .
a a (n1)d
2.等差数列的通项公式： n 1 ；
A P d 0 d 0 d 0
说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列， 为递减
数列.
3.等差中项的概念：
ab
A
a A b A a b 2
定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项,其中 .
ab
A
a A b  2
， ， 成等差数列 .
4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它
前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
知识点二．等差数列的前n项和n(a a ) n(n1)
S  1 n na  d
等差数列的前 n 和的求和公式： n 2 1 2 .
知识点三．等差数列的相关性质
1.等差数列的性质：
a 
n
（1）在等差数列 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
a 
a a a a a
（2）在等差数列 n 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如： 1， 3 ， 5 ， 7 ，……； 3 ，
a a a
8 13 18
， ， ，……；
a a
a
n

m nN  a n a m (nm)d
d 
n
n
m
m
(mn)
（3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ；
a  m n p qN mn pq a a a a
（4）在等差数列 n 中，若 ， ， ， 且 ，则 m n p q,特殊地，
2m pq 2a a a a a 、a
时，则 m p q， m是 p q的等差中项.
S ,S S ,S S
n 2n n 3n 2n
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 成等差数列.
{a } {b } {a b }
n n n n
（6）两个等差数列 与 的和差的数列 仍为等差数列．
{a } {ka }
（7）若数列 n 是等差数列,则 n 仍为等差数列．
{a } d 2n S -S nd
2．设数列 n 是等差数列，且公差为 ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 项，则① 奇 偶 ； ②
S a S n
奇  n 奇 
S a 2n1 S S a a S n1
偶 n1 ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 项，则① 偶 奇 n 中(中间项)；② 偶 .
a q,a  ppq a 0 S S S mnd
3. p q ,则 pq , mn m n .
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公
差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
a S
m  2m1
{a } {b } n S S ' b S'
5.若 n 与 n 为等差数列，且前 项和分别为 n与 n ，则 m 2m1 .
d 0 a 0 S d 0
6．等差数列的增减性： 时为递增数列，且当 1 时前n项和 n有最小值． 时为递减数列，a 0 S
且当 1 时前n项和 n有最大值．
【考点分类剖析】
考点一 ：等差数列的基本运算
【典例1】（2020·全国高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，
则 __________．
【答案】
【解析】
是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
{a }(nN*) S
【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列 n 是等差数列， n是其前n项和.若a a a 0,S 27 S
2 5 8 9 ，则 8的值是_____.
【答案】16.
【解析】
a a a a da 4da 7d0
 2 5 8 1 1 1
 98
由题意可得： S 9a  d 27 ，

 9 1 2
a 5
1 87
 S 8a  d 4028216
解得：  d 2 ，则 8 1 2 .
【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列 的各项均为正整数，且 ，则
的最小值是___________.
【答案】5
【解析】
若等差数列 的各项均为正整数，则数列 单增，公差 ，从而表示出
，根据其单减性，求得最小值.
【详解】
若等差数列 的各项均为正整数，则数列 单增，则公差 ，
故 为正整数， 关于d单减，
则当 时， ，当 时， ，不符；
故 的最小值为5，
故答案为：5
【规律方法】
1．活用方程思想和化归思想
a d
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 1和 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通n(a a ) n(n1)
S  1 n na  d
项公式 a n a 1 (n1)d 及前 n 项和公式 n 2 1 2 ，共涉及五个量 a 1 ,d,n,a n ,S n，
知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄
a d
准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 1、 ，掌握好设未
知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
ad,a,ad
2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为 ；四个数成等差数列，一般设为
a3d,ad,ad,a3d
.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
3.等差数列的前n项和公式
n(a a )
S  1 n
若已知首项 a 1和末项 a n，则 n 2 ，或等差数列{a}的首项是 a 1，公差是 d ，则其前 n 项和公
n
n(n1)
S na  d
式为 n 1 2 .
【变式探究】
1..数列 是等差数列， ， ，则 （ ）
{a } a =1 a =8 a =
n 1 4 5
31
A． 16 B． -16 C． 32 D．
3
【答案】D
【解析】
因为a =8，所以a +3d=8，
4 1
7
又因为a =1，所以d= ，
1 3
31
可得a = a +4d= ，故选D.
5 1 3
2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{a}的前n项和为S，a+a +a =9，S -S=77，则使S 取得最
n n 4 7 10 14 3 n
小值时n的值为____.
【答案】5
【解析】设等差数列{a}的公差为d，根据a+a +a =9，S -S=77，求得 即可.
n 4 7 10 14 3
【详解】
设等差数列{a}的公差为d，
n
因为a+a +a =9，S -S=77，
4 7 10 14 3
所以 ，
解得
所以 ，
所以当 时，S 取得最小值，
n
故答案为：5
3.（2018·北京高考真题（理））设 是等差数列，且a=3，a+a=36，则 的通项公式为__________．
{a } 1 2 5 {a }
n n
【答案】a =6n−3
n
【解析】
∵a =3，∴3+d+3+4d=36，∴d=6，∴a =3+6(n−1)=6n−3.
1 n
考点二：等差数列的判定与证明
【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【解析】
选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等差数列可证 ；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证是等差数列.
【详解】
选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ，所以 .
选①③作条件证明②：
因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差
数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
2S (n1)a n1
【典例5】（2019·浙江高考模拟）设Sn为数列an的前n项和，且 S＝8， n n ．
2
a
（I）求a，a 并证明数列{ n}为等差数列；
1 2
2n S 0
（II）若不等式 n 对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围．
a 3 a 5 2
【答案】（I） 1 ， 2 ，见证明（II）
【解析】
∵ 2S 3a 1 S 8 a 5 a 3
（I） 2 2 ， 2 ，得 2 1 .
2S n1a n1 2S n2a n
n n ，则 n1 n1 ，
2a n2a n1a 1
两式相减得 n1 n1 n ，
na n1a 10
即 n1 n ①
n1a n2a 10
n2 n1 ②
n1a 2n2a n1a 0
②- ①得 n2 n1 n ，
a 2a a 0
即 n2 n1 n ，
a 
故数列 n 为等差数列.
a 2n1 S n2 2n
（II）由（I）可得 n n ，nn2
nn2
由 2n S 0 得 2n 对任意正整数 n 恒成立，   2n   ，
n max
nn2
b 
令 n 2n ，
32n2
b b 
n1 n 2n1 ，
b b b b  b  b 2
1 2 3 4 ， n max 2
2
.
【规律方法】
1.等差数列的四种判断方法

a

a a  d
nN 
a

(1) 定义法：对于数列 n ，若 n1 n (常数)，则数列 n 是等差数列；

a

2a  a a
nN 
a

(2) 等差中项：对于数列 n ，若 n1 n n2 ，则数列 n 是等差数列;
a  pnq p,q nN
a 
(3)通项公式： n ( 为常数, ) n 是等差数列;
⇔
n S  An2 Bn A,B nN a 
(4)前 项和公式： n ( 为常数, ) n 是等差数列;
⇔
S 
(5)
a
n

是等差数列⇔

 n
n
 是等差数列.
2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a－a
2 1
＝d这一关键条件.
a ,a ,a
（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用 1 2 3验证即可．
（3）形如a ＝的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）求解
n＋1
（）见【变式探究】2）.
【变式探究】
a 
a 0 a a 2n a 
1. （2020·全国高三其他（理））数列 n 中， 1 ， n n1 ，则 2020 （ ）
A．2019 B．2020 C．4039 D．4040
【答案】B
【解析】分析：
a a 2n a a 2n1 a a 2
根据题中所给的条件 n n1 ，类比着写出 n1 n2 ，两式相减可得 n2 n ，从
a 
a 21a 2
而可得数列 n 隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得 2 1 ，利用通
a 2020
项公式求得 2020 ，得到结果.
详解：
a a 2n
∵ n n1 ①，
a a 2n1
∴ n1 n2 ②，
a a 2

② ①得 n2 n ，
a 
a 21a 2
∴数列 n 的偶数项是以 2 1 为首项，2为公差的等差数列.
a a 1010122020
∴ 2020 2 .
故选：B.
2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足 ( ， 为常
数)，且 ，则 ___________；设函数 ， ，则数列
的前17项和为___________.
【答案】 17
【解析】
化简函数解析式得 ，由 可得 是首项为 ，公差为 的等
差数列，又 ，所以 ，即 ，再首尾相加求和即可得解.【详解】
当 时， .
又当 时， ，满足 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，故 .
由题意得 ，所以
，
同理， ，…， .又易得 ，
所以数列 的前17项和为 .
故答案为：① ；②17
考点三 等差数列的性质及应用
【典例6】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列 是等差数列，若
， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
【答案】A
【解析】
本题可设等差数列 的公差为 ，然后根据 、 求出 ，最后通过
即可得出结果.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
故 ，
故选：A.
【典例7】（2021·北京高考真题） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由已知条件求出 的值，利用等差中项的性质可求得 的值.
【详解】
由已知条件可得 ，则 ，因此， .
故选：B.
【温馨提醒】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前 n项
和公式求解．
【变式探究】
1．(2019·武汉调研)在等差数列{a}中，前n项和S满足S－S＝45，则a＝( )
n n 7 2 5
A．7 B．9
C．14 D．18
【答案】B
【解析】
解法一 因为在等差数列{a}中，S－S＝45，所以a＋a＋a＋a＋a＝5a＝45，所以a＝9，故选B.
n 7 2 3 4 5 6 7 5 5
解法二 设等差数列{a}的公差为d，因为在等差数列{a}中，S－S＝45，
n n 7 2
76
7a＋ d－(2a＋d)＝45
所以 1 2 1 ，
整理得a＋4d＝9，
1所以a＝9，
5
故选B.
2.（2021·全国高二课时练习）设数列{a}是等差数列，且a=-6，a=6，S 是数列{a}的前n项和，则（
n 2 8 n n
）
A．S<S B．S=S C．S<S D．S=S
4 5 4 5 6 5 6 5
【答案】B
【解析】
(方法一)利用首项和公差求解；(方法二)利用等差数列的性质求解.
【详解】
(方法一)设该等差数列的首项为a，公差为d，
1
则有 解得
从而有S=-20，S=-20，S=-18.
4 5 6
从而有S=S .
4 5
(方法二)由等差数列的性质知a+a =a +a =-6+6=0，
5 5 2 8
所以a=0，从而有S=S .
5 4 5
故选：B
考点四 等差数列的前n项和公式的综合应用
【典例8】【多选题】（2021·全国高三其他模拟）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
，则（ ）
A．
B． 的前 项和中 最小
C． 的最小值为-49
D． 的最大值为0
【答案】BC
【解析】由已知条件先计算出 和 ，然后计算 的值对A进行判断；求出 的表达式，计算出最小值即可对B
进行判断；求出 的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出 的表达式对D进行判断.
【详解】
设数列 的公差为d，则
解得 ， ，A错误；
，当n=5时取得最小值，故B正确；
，设函数 ，
则 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，且 ， ，
所以最小值为-49，C正确；
，没有最大值，D错误．故选：BC
a 
a a a a 8
【典例9】（2019·北京高考模拟（文））等差数列 n 满足 2 5 9 6 ，则a=______；若
5
a 16
1 ，则n=______时，{a}的前n项和取得最大值．
n
【答案】4 6
【解析】
a 
a a a a 8
等差数列 n 满足 2 5 9 6 ，
3a 13d a 5d 8 a 4
所以 1 1 ，即 5 ，
a 16 4d a a 416 d 3
1 ，所以 5 1 ，所以 ．
 a 0
n

令 a 0，解得 ，所以a 的前6项和取得最大值．
 n6
n1 n
故填：4，6．
【典例10】（2021·全国高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【解析】
(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】
(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【规律方法】
1.要注意等差数列前n项和公式的灵活应用，
n(a a ) n(a a )
S ＝ 1 n ＝ k nk1 (n，kN*)
如
S
2n－1
＝(2n－1)a
n
，n
2 2 等．
2．求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
a 0 d 0 S
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当 1 ， 时， n
a 0 d 0 S a S n nN a 0
有最大值； 1 ， 时， n有最小值；若已知 n，则 n最值时 的值（ ）则当 1 ，
a 0 a 0
n n
 
d 0 ，满足  a n1 0 的项数n使得 S n取最大值，(2)当 a 1 0 ， d 0 时，满足  a n1 0 的项数n使得
S
n取最小值.
S  An2 Bn A,B nN
（2）利用等差数列的前n项和： n ( 为常数, )为二次函数，通过配方或借助图
d 0 d 0
像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（ ,递增； ，
递减）；
a a
n n1

a  a a
3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设 n为最大项，则有 n n1；求最小项的方
a a
n n1

a  a a n1,2,3, S 
法：设 n为最小项，则有 n n1.只需将等差数列的前n项和 依次看成数列 n ，利用数
列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【变式探究】
a 
S a 2 S 4
1.（2020·浙江湖州�高一期末）设公差为d的等差数列 n 的前n项和为 n，若 4 ， 8 ，则
d  ________， S n取最小值时， n ________．
【答案】3 4
【解析】
 a a 3d 2
 4 1
 87
a 11
因为 是等差数列，所以 S 8a  d 4 ，解得 1 ，
a
n
 
 8 1 2  d 3
nn1 3nn1
3 25
S na  d 11n  n2  n
所以 n 1 2 2 2 2 ，
3 25 b 25
f x x2  x x    N
因为 2 2 的图象开口向上，对称轴为 2a 6 ，
25 25
45
由 6 6 ，所以当n4时，S 取最小值.
n
3 4
故答案为: ; .
a 
S a 0 a a 0 S 
2.（2019·浙江高三期末）记等差数列 n 的前n项和为 n，若 1 ， 2 2017 ，则 2018
S n
______；当 n取得最大值时， ______．
【答案】0 1009或1008
【解析】
∵ a 0 a a 0
1 ， 2 2017 ，
a a a a 0
1 2018 2 2017 ，
2018a a 
S  1 2018 0
2018 2 ，
∵ a 0 a a 0
1 ， 2 2017 ，2a 2016d 0
1 ，
a 1008d
1 ，
a a 1008d 0
1009 1 ，
S n1009 n1008
故当 n取得最大值时， 或 ，
故答案为：0，1009或1008．
3.（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知等差数列 的通项公式为 ，
当且仅当 时，数列 的前n项和 最大.则当 时， ___________.
【答案】
【解析】
首先根据题意求出 ，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】
解：由题意可知， ，解得 ，又 ，则 ，
所以 ， .由 ，得 ，
解得 或 (舍)，故
故答案为：20.
考点五 等差数列与传统文化
【典例11】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上
层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】
a
设第n环天石心块数为 n，第一层共有n环，
{a } a 9(n1)99n
则 n 是以9为首项，9为公差的等差数列， n ，
S {a }
设 n为 n 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
S ,S S ,S S
别为 n 2n n 3n 2n，因为下层比中层多729块，
S S  S S 729
所以 3n 2n 2n n ，
3n(927n) 2n(918n) 2n(918n) n(99n)
   729
即 2 2 2 2
9n2 729 n9
即 ，解得 ，
27(9927)
S  S  3402
所以 3n 27 2 .
故选：C
【典例12】（2021·重庆高三三模）我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马
发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半
里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马（ ）日后相逢．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C【解析】
根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．
【详解】
由题可知，良马每日行程 构成一个首项为103，公差 的等差数列，
驽马每日行程 构成一个首项为97，公差为 的等差数列，
则 ， ，
则数列 与数列 的前n项和为 ，
又 数列 的前n项和为 ，
数列 的前n项和为 ，
，
整理得： ，
当 时， ，
当 时， ，
所以大12日相逢．
故选:C．
【变式探究】
1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，讲的是关于整除的问
题（如7被3除余1：1被2除余1）.现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1
且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则数列 各项的和为（ ）
A．736 B．816 C．833 D．29800
【答案】C【解析】
根据给定信息确定出这个数列的通项公式，再由最大数不超过100，确定出项数即可作答.
【详解】
被2除余1且被3除余1的整数即被6除余1，这些整数由小到大依次排成一列构成的数列 通项为
，
由 得 ，而 ，即 ，于是得符合条件的数列 有17项，这17项和为
，
所以数列 各项的和为833.
故选：C
2.（2020·浙江平阳�高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节
容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为
3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，
九节总容量是______.
95 201
【答案】66 22
【解析】
a ,a ,...,a a ,a ,...,a a a a 4
d
设由下到上九节容量分别记为 1 2 9，则 1 2 9成等差数列，设公差为 ，且 1 2 3 ，
95
a 6 a 7 a 8 a 9 3，即a 1 a 2 a 3 3a 1 3d 4，a 6 a 7 a 8 a 9 4a 1 26d 3，所以a 1  66 ，
98 201
7
d  S 9a  d 
66，故 9 1 2 22
95 201
故答案为：66； 22