专题7.2等差数列及其前n项和2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题7.2 等差数列及其前n项和 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； 2.了解等差数列与一次函数. 新课程考试要求 3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用； 4.会用数列的等差关系解决实际问题. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等. 1.利用方程思想进行基本量的计算. 2.等差、等比数列的综合问题. 考向预测 3.复习中注意: (1)方程思想在数列计算中的应用; (2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用. 【知识清单】 知识点一．等差数列的有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， d 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.用递推公式表示为 a a d(n2) a a d(n1) n n1 n1 n 或 . a a (n1)d 2.等差数列的通项公式： n 1 ； A P d 0 d 0 d 0 说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列， 为常数列， 为递减 数列. 3.等差中项的概念： ab A a A b A a b 2 定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项,其中 . ab A a A b  2 ， ， 成等差数列 . 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它 前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 知识点二．等差数列的前n项和n(a a ) n(n1) S  1 n na  d 等差数列的前 n 和的求和公式： n 2 1 2 . 知识点三．等差数列的相关性质 1.等差数列的性质： a  n （1）在等差数列 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； a  a a a a a （2）在等差数列 n 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如： 1， 3 ， 5 ， 7 ，……； 3 ， a a a 8 13 18 ， ， ，……； a a a n  m nN  a n a m (nm)d d  n n m m (mn) （3）在等差数列 中，对任意 ， ， ， ； a  m n p qN mn pq a a a a （4）在等差数列 n 中，若 ， ， ， 且 ，则 m n p q,特殊地， 2m pq 2a a a a a 、a 时，则 m p q， m是 p q的等差中项. S ,S S ,S S n 2n n 3n 2n （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 成等差数列. {a } {b } {a b } n n n n （6）两个等差数列 与 的和差的数列 仍为等差数列． {a } {ka } （7）若数列 n 是等差数列,则 n 仍为等差数列． {a } d 2n S -S nd 2．设数列 n 是等差数列，且公差为 ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 项，则① 奇 偶 ； ② S a S n 奇  n 奇  S a 2n1 S S a a S n1 偶 n1 ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 项，则① 偶 奇 n 中(中间项)；② 偶 . a q,a  ppq a 0 S S S mnd 3. p q ,则 pq , mn m n . 4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公 差是两个原等差数列公差的最小公倍数． a S m  2m1 {a } {b } n S S ' b S' 5.若 n 与 n 为等差数列，且前 项和分别为 n与 n ，则 m 2m1 . d 0 a 0 S d 0 6．等差数列的增减性： 时为递增数列，且当 1 时前n项和 n有最小值． 时为递减数列，a 0 S 且当 1 时前n项和 n有最大值． 【考点分类剖析】 考点一 ：等差数列的基本运算 【典例1】（2020·全国高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ， 则 __________． 【答案】 【解析】 是等差数列，且 ， 设 等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前 项和公式： 可得： . 故答案为： . {a }(nN*) S 【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列 n 是等差数列， n是其前n项和.若a a a 0,S 27 S 2 5 8 9 ，则 8的值是_____. 【答案】16. 【解析】 a a a a da 4da 7d0  2 5 8 1 1 1  98 由题意可得： S 9a  d 27 ，   9 1 2 a 5 1 87  S 8a  d 4028216 解得：  d 2 ，则 8 1 2 . 【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列 的各项均为正整数，且 ，则 的最小值是___________. 【答案】5 【解析】 若等差数列 的各项均为正整数，则数列 单增，公差 ，从而表示出 ，根据其单减性，求得最小值. 【详解】 若等差数列 的各项均为正整数，则数列 单增，则公差 ， 故 为正整数， 关于d单减， 则当 时， ，当 时， ，不符； 故 的最小值为5， 故答案为：5 【规律方法】 1．活用方程思想和化归思想 a d 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 1和 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通n(a a ) n(n1) S  1 n na  d 项公式 a n a 1 (n1)d 及前 n 项和公式 n 2 1 2 ，共涉及五个量 a 1 ,d,n,a n ,S n， 知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄 a d 准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 1、 ，掌握好设未 知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． ad,a,ad 2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为 ；四个数成等差数列，一般设为 a3d,ad,ad,a3d .这对已知和,求数列各项,运算很方便. 3.等差数列的前n项和公式 n(a a ) S  1 n 若已知首项 a 1和末项 a n，则 n 2 ，或等差数列{a}的首项是 a 1，公差是 d ，则其前 n 项和公 n n(n1) S na  d 式为 n 1 2 . 【变式探究】 1..数列 是等差数列， ， ，则 （ ） {a } a =1 a =8 a = n 1 4 5 31 A． 16 B． -16 C． 32 D． 3 【答案】D 【解析】 因为a =8，所以a +3d=8， 4 1 7 又因为a =1，所以d= ， 1 3 31 可得a = a +4d= ，故选D. 5 1 3 2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{a}的前n项和为S，a+a +a =9，S -S=77，则使S 取得最 n n 4 7 10 14 3 n 小值时n的值为____. 【答案】5 【解析】设等差数列{a}的公差为d，根据a+a +a =9，S -S=77，求得 即可. n 4 7 10 14 3 【详解】 设等差数列{a}的公差为d， n 因为a+a +a =9，S -S=77， 4 7 10 14 3 所以 ， 解得 所以 ， 所以当 时，S 取得最小值， n 故答案为：5 3.（2018·北京高考真题（理））设 是等差数列，且a=3，a+a=36，则 的通项公式为__________． {a } 1 2 5 {a } n n 【答案】a =6n−3 n 【解析】 ∵a =3，∴3+d+3+4d=36，∴d=6，∴a =3+6(n−1)=6n−3. 1 n 考点二：等差数列的判定与证明 【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下 面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【解析】 选①②作条件证明③时，可设出 ，结合 的关系求出 ，利用 是等差数列可证 ； 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出 ，结合等差数列定义可证； 选②③作条件证明①时，设出 ，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证是等差数列. 【详解】 选①②作条件证明③： 设 ，则 ， 当 时， ； 当 时， ； 因为 也是等差数列，所以 ，解得 ； 所以 ，所以 . 选①③作条件证明②： 因为 ， 是等差数列， 所以公差 ， 所以 ，即 ， 因为 ， 所以 是等差数列. 选②③作条件证明①： 设 ，则 ， 当 时， ； 当 时， ； 因为 ，所以 ，解得 或 ；当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差 数列； 当 时， ， 不合题意，舍去. 综上可知 为等差数列. 2S (n1)a n1 【典例5】（2019·浙江高考模拟）设Sn为数列an的前n项和，且 S＝8， n n ． 2 a （I）求a，a 并证明数列{ n}为等差数列； 1 2 2n S 0 （II）若不等式 n 对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围． a 3 a 5 2 【答案】（I） 1 ， 2 ，见证明（II） 【解析】 ∵ 2S 3a 1 S 8 a 5 a 3 （I） 2 2 ， 2 ，得 2 1 . 2S n1a n1 2S n2a n n n ，则 n1 n1 ， 2a n2a n1a 1 两式相减得 n1 n1 n ， na n1a 10 即 n1 n ① n1a n2a 10 n2 n1 ② n1a 2n2a n1a 0 ②- ①得 n2 n1 n ， a 2a a 0 即 n2 n1 n ， a  故数列 n 为等差数列. a 2n1 S n2 2n （II）由（I）可得 n n ，nn2 nn2 由 2n S 0 得 2n 对任意正整数 n 恒成立，   2n   ， n max nn2 b  令 n 2n ， 32n2 b b  n1 n 2n1 ， b b b b  b  b 2 1 2 3 4 ， n max 2 2 . 【规律方法】 1.等差数列的四种判断方法  a  a a  d nN  a  (1) 定义法：对于数列 n ，若 n1 n (常数)，则数列 n 是等差数列；  a  2a  a a nN  a  (2) 等差中项：对于数列 n ，若 n1 n n2 ，则数列 n 是等差数列; a  pnq p,q nN a  (3)通项公式： n ( 为常数, ) n 是等差数列; ⇔ n S  An2 Bn A,B nN a  (4)前 项和公式： n ( 为常数, ) n 是等差数列; ⇔ S  (5) a n  是等差数列⇔   n n  是等差数列. 2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a－a 2 1 ＝d这一关键条件. a ,a ,a （2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用 1 2 3验证即可． （3）形如a ＝的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）求解 n＋1 （）见【变式探究】2）. 【变式探究】 a  a 0 a a 2n a  1. （2020·全国高三其他（理））数列 n 中， 1 ， n n1 ，则 2020 （ ） A．2019 B．2020 C．4039 D．4040 【答案】B 【解析】分析： a a 2n a a 2n1 a a 2 根据题中所给的条件 n n1 ，类比着写出 n1 n2 ，两式相减可得 n2 n ，从 a  a 21a 2 而可得数列 n 隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得 2 1 ，利用通 a 2020 项公式求得 2020 ，得到结果. 详解： a a 2n ∵ n n1 ①， a a 2n1 ∴ n1 n2 ②， a a 2  ② ①得 n2 n ， a  a 21a 2 ∴数列 n 的偶数项是以 2 1 为首项，2为公差的等差数列. a a 1010122020 ∴ 2020 2 . 故选：B. 2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足 ( ， 为常 数)，且 ，则 ___________；设函数 ， ，则数列 的前17项和为___________. 【答案】 17 【解析】 化简函数解析式得 ，由 可得 是首项为 ，公差为 的等 差数列，又 ，所以 ，即 ，再首尾相加求和即可得解.【详解】 当 时， . 又当 时， ，满足 ，所以 ， 所以数列 为等差数列，故 . 由题意得 ，所以 ， 同理， ，…， .又易得 ， 所以数列 的前17项和为 . 故答案为：① ；②17 考点三 等差数列的性质及应用 【典例6】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列 是等差数列，若 ， ，则 （ ） A．5 B．4 C．9 D．7 【答案】A 【解析】 本题可设等差数列 的公差为 ，然后根据 、 求出 ，最后通过 即可得出结果. 【详解】 设等差数列 的公差为 ，则 ， ， 故 ， 故选：A. 【典例7】（2021·北京高考真题） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由已知条件求出 的值，利用等差中项的性质可求得 的值. 【详解】 由已知条件可得 ，则 ，因此， . 故选：B. 【温馨提醒】 等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前 n项 和公式求解． 【变式探究】 1．(2019·武汉调研)在等差数列{a}中，前n项和S满足S－S＝45，则a＝( ) n n 7 2 5 A．7 B．9 C．14 D．18 【答案】B 【解析】 解法一 因为在等差数列{a}中，S－S＝45，所以a＋a＋a＋a＋a＝5a＝45，所以a＝9，故选B. n 7 2 3 4 5 6 7 5 5 解法二 设等差数列{a}的公差为d，因为在等差数列{a}中，S－S＝45， n n 7 2 76 7a＋ d－(2a＋d)＝45 所以 1 2 1 ， 整理得a＋4d＝9， 1所以a＝9， 5 故选B. 2.（2021·全国高二课时练习）设数列{a}是等差数列，且a=-6，a=6，S 是数列{a}的前n项和，则（ n 2 8 n n ） A．S