专题7.5数列的综合应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题7.5 数列的综合应用 1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和 公式及其应用. 新课程考试要求 2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等. 1.根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不 等式 2.数列与函数、不等式相结合. 3.复习中注意: 考向预测 （1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件； （2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法； （3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题. 【知识清单】 知识点一．等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 a 定义 a a n1 n1 n＝常数 a n ＝常数 通项公式 a a (n1)d a  a qn1(a q  0) n 1 n 1 1 (1)定义法； 2a  a a (2)中项公式法： n1 n n2 nN {a } (1)定义法 ⇔ n 为等差数列； a a  a2 a  pnq p,q (2)中项公式法： n n2 n1 (3)通项公式法： n ( nN a 0 {a } nN {a } ( n ) n 为等比数列 为常数, ) n 为等差数 列； a  ⇔ cqn c,q ⇔ (3)通项公式法： n ( 均是不 判定方法 (4)前n项和公式法： nN {a } 为0的常数， ) n 为等比数 S  An2 Bn A,B n ( 为常数, 列 ⇔ nN ) {a n } 为等差数列； (4) {a n } 为等差数列⇔  Aa n  ( Aa n 总有 {a } a 0 (5) n 为⇔等比数列，且 n ， 意义)为等比数列 {log a } a0 那么数列 a n ( ，且 a 1 )为等差数列(1)若 m ， n ， p ， qN ，且 (1)若 m ， n ， p ， qN ，且 mn pq ，则 mn pq a a a a ，则 m n p q a m a n a p a q a a qnm (2) n m 性质 a a (nm)d (2) n m n S 0 (3)等比数列依次每 项和( n )，即 S ,S S ,S S S ,S S ,S S (3) n 2n n 3n 2n，…仍成 n 2n n 3n 2n，…仍成等比数 等差数列 列 q 1 S  na q 1 时， n 1；当 时， n(a a ) n(n1) 前n项和 S n  1 2 n na 1  2 d S  a 1 (1qn) S  a 1 a n q n 1q n 1q 或 . 知识点二．数列求和 n(a a ) n(n1) S  1 n na  d 1. 等差数列的前 n 和的求和公式： n 2 1 2 . n 2．等比数列前 项和公式 a ,a ,a ,,a , n S  a a a a q 1 一般地，设等比数列 1 2 3 n 的前 项和是 n 1 2 3 n，当 时， a (1qn) a a q S  1 S  1 n n 1q n 1q q 1 S  na 或 ；当 时， n 1（错位相减法）. n 3. 数列前 项和 n n(n1) k  ①重要公式：（1）k1 123n 2 n (2k1) 1352n1 n2 （2）k1 2 n 1  k3  13 23 n3  n(n1)   2  （3）k1 n 1 k2 12 22 32 n2  n(n1)(2n1) （4）k1 6 S S S mnd ②等差数列中， mn m n ；S S qnS S qmS ③等比数列中， mn n m m n. 【考点分类剖析】 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】（2021·全国高三月考（文））已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 是等比数列 的前3项. （1）求数列 ， 的通项公式； （2）数列 是由数列 的项删去数列 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列 的前 20项的和. 【典例2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ， 满足 ，且 ， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【总结提升】 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先 求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨 大的． 【变式探究】 3a a 1 3 {a } a 1. （浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列 的各项均为正数，且 2 ， 4 ， 成等差 n 2a a 20 19  数列，则 a a （ ） 18 17 9 6 3 1 A． B． C． D． 2. （2017·全国高考真题（文））已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且 {a } n S {b } n T n n n n a =1，b =1，a +b =4. 1 1 2 2 （1）若 ，求 的通项公式； a +b =7 {b } 3 3 n （2）若T =13，求S . 3 5 【易错提醒】 1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： 1 1 1 11 1 1  (  ) (1)裂项过程中易忽视常数，如 n(n2) 容易 2 误 n 裂为 nn2 n2，漏掉前面的系数2 ； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 2.应用错位相减法求和时需注意： （1）给数列和S 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； n （2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n. 考点二 数列与函数的综合 {a } 【典例3】（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列 n 满足： 1 0a 1  2， a n1 a n ln2a n  ．则下列说法正确的是（ ） 1 1 0a  a 1 A． 2019 2 B．2 2019 3 3 1a  a 2 C． 2019 2 D．2 2019 【典例4】（2020·浙江高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，且 ，数列 满足， ． （1）求数列 的通项公式． （2）规定： 表示不超过 的最大整数，如 ， ．若 ， ，记 求 的值，并指出相应 的取值范围． 【总结提升】 数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简 变形． 【变式探究】 1.（2021·中央民族大学附属中学高三三模）已知函数 ，其中 ，定义数列 如下： ， ， （1）当 时，求 的值； （2）是否存在实数m，使 构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在， 请说明理由； （3）求证：当 时，总能找到 ，使得 . 2.（四川高考真题）设等差数列{a }的公差为d，点(a ,b )在函数f(x)=2x的图象上（n∈N∗）. n n n （1）若a =−2，点(a ,4b )在函数f(x)的图象上，求数列{a }的前n项和S ； 1 8 7 n n（2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 1 ，求数列 a 的前 项和 a =1 f(x) (a ,b ) x 2− { n } n 1 2 2 ln2 b n T . n 考点三 数列与不等式的综合 【典例5】（2021·宁波中学高三其他模拟）已知等差数列 和等比数列 ，且满足 ， . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ， ，求证： . 4 【典例6】（2020届浙江省台州五校高三上学期联考）已知函数f(x)= . 4x+15 （Ⅰ）求方程f(x)−x=0的实数解； （Ⅱ）如果数列{a }满足a =1，a =f(a )（n∈N∗），是否存在实数c，使得a