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八年级下册期末模拟测试（二）
数学学科
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡（卷）两部分，答案一律填写在答题卡（卷）
上，在试题卷上作答无效．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中)
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故正确．
故选：D．
2．不等式2x+1＞x+2的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【答案】A
【解答】解：移项得，2x﹣x＞2﹣1，
合并同类项得，x＞1，
故选：A．
3．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为2，则BE是（
）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解答】解：∵△DEF是由△ABC经过平移后得到，
∴BE＝AD＝2．
故选：D．
4．要使分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）A．x≠3 B．x≠3且x≠﹣3 C．x≠0且x≠﹣3 D．x≠﹣3
【答案】D
【解答】解：∵x2+6x+9≠0，
∴（x+3）2≠0，
∴x+3≠0，
∴x≠﹣3，
∴分式 有意义，x的取值范围x≠﹣3，
故选：D．
5．能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【答案】C
【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、D均不符合是平行四边形的条件；
C满足两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故选：C．
6．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（ ）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2
C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
【答案】C
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y），
故选：C．
7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么
△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】D
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
而AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
8．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队
同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2台．设乙队每天安装x台，根据题
意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，
由题意得，甲队用的时间为： ，
乙队用的时间为： ，
则方程为： ＝ ．
故选：D．
9．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．450°
【答案】C
【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选：C．
10．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1【答案】B
【解答】解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
11．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别
是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（
）
A．14 cm B．18 cm C．24 cm D．28 cm
【答案】A
【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED＝ BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG＝ BC，
∴ED＝FG＝ BC＝4cm，
同理GD＝EF＝ AO＝3cm，
∴四边形DEFG的周长＝3+4+3+4＝14（cm）．
故选：A．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2 ，点P为BC上任意一
点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（
）
A．2 B． C．2 D．4【答案】A
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2 ，
∴AC＝2 ，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC＝ ，
∴OP′＝1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分式 有意义的条件是 ．
【答案】 x ≠ 2
【解答】解：要使分式 有意义，
则x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案是：x≠2．
14．分解因式：a3﹣a＝ ．
【答案】 a （ a +1 ）（ a ﹣ 1 ）
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
15．已知点P （a，3）与P （﹣4，b）关于原点对称，则ab＝ ．
1 2
【答案】 ﹣ 1 2
【解答】解：∵点P （a，3）与P （﹣4，b）关于原点对称，
1 2
∴a＝4，b＝﹣3，∴ab＝﹣12，
故答案为：﹣12．
16．定义新运算：a b＝ + ，若a （﹣b）＝2，则 的值是 ．
⊕ ⊕
【答案】﹣
【解答】解：根据题意可得，
∵a （﹣b）＝2，
⊕
∴ ＝2，
即 ＝2，
∴b﹣a＝2ab，
∴2a﹣2b＝2（a﹣b）＝﹣4ab，
∴ ＝ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与
△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′＝ ．
【答案】3
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′＝ AP＝3 ．
故答案为3 ．
18．（2020•天水）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的
坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．【答案】 （﹣ 1 ， 5 ）
【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂
足为M，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣ ， ）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答题应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．）
19．计算：
（1）解不等式组： ；
（2）因式分解：a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【解答】解：（1）解不等式①得x≤2，解不等式②得x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）．
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
20．解分式方程：
﹣1＝ ；
【解答】解： ﹣1＝ ，
﹣1＝ ，
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝6，
x2+2x﹣x2+4＝6，
2x＝2，
x＝1，
检验：把x＝1代入（x+2）（x﹣2）≠0，
∴原方程的解是x＝1．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系
后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A B C ，画出△A B C ，并写出C 的坐
1 1 1 1 1 1 1
标；
②以原点O为对称中心，再画出与△A B C 关于原点O对称的△A B C ，并写出点C
1 1 1 2 2 2 2
的坐标．
【解答】解：①如图所示：C 的坐标（4，4）．
1②如图所示：点C 的坐标（﹣4，﹣4）．
2
22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC
于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3．
（1）求证：BN＝DN；
（2）求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵AN平分∠BAC
∴∠1＝∠2
∵BN⊥AN
∴∠ANB＝∠AND＝90°
在△ABN和△ADN中，
∵ ，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN＝DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD＝2MN＝6，故△ABC的周长＝AB+BC+CD+AD＝10+15+6+10＝41．
23．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法
就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，
后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可
以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点
Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向
点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间
为t秒．
（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm2；
（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？【解答】解：（1）由题意得∵AQ＝tcm，BP＝2t cm，
∴当四边形ABPQ的面积为18cm2时
∴ （t+2t）×6＝18，
解得t＝2；
所以，t＝2s时，四边形ABPQ的面积为18cm2；
（2）由题意得∵AQ＝tcm，BP＝2t cm，
∵AD＝8cm，BC＝10cm
∴DQ＝（8﹣t）cm，PC＝（10﹣2t）cm，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴DQ＝PC
∴8﹣t＝10﹣2t，
解得t＝2；
综上所述，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2；
（3）①如图①，若PQ＝PD，过P作PE⊥AD于E，
则QD＝8﹣t，
∴QE＝ QD＝ （8﹣t），
∴AE＝AQ+QE＝t+ （8﹣t）＝ （8+t），
∵易证四边形ABPE是矩形，
∴AE＝BP，
∴ （8+t）＝2t，
解得t＝
②如图②，若QD＝QP，过Q作QF⊥BC于F，
则QF＝6，FP＝2t﹣t＝t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：QF2+FP2＝QP2，
即62+t2＝（8﹣t）2，解得t＝
综上所述，当t＝ 或 ．
25．“我是宝剑，我是火花，我愿生如闪电之耀亮，我愿死如彗星之迅忽．”这是山西党
团组织的创始人高君宇的一首言志诗．在中国共产党成立100周年之际，八年级全体师
生前往位于娄烦县峰岭底村的高君宇故居纪念馆参观．活动当天，大家在学校集合，1
号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知学
校到高君宇故居纪念馆的路程是150km，2号车的平均速度是1号车平均速度的 倍．
（1）求1号车从学校到目的地所用的时间；
（2）参观结束之后，同学们分组进行了党史小剧场展演活动．为鼓励大家，学校决定
从当地购买A，B两种纪念品共40件奖励给参演同学．已知A种纪念品的单价为12
元/件，B种纪念品的单价为10元/件，且A种纪念品数量不少于B种的 ．求购买A种
纪念品多少件可使购买纪念品的总价最少．
【解答】解：（1）设1号车的平均速度是xkm/h，则2号车的平均速度是 xkm/h，根据题意得， ＝ +0.5，
解得：x＝60．
经检验，x＝20是原方程的解．
则 ＝2.5（小时）．
答：1号车从学校到目的地所用的时间为2.5小时；
（2）设购买A种纪念品a件，则购买B种纪念品（40﹣a）件，购买纪念品的总价为w
元．
根据题意得，a≥ （40﹣a），
解得，a≥17 ，
由题意，w＝12a+10（40﹣a）＝2a+400，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a取最小值18时，w有最小值．
答：购买A种纪念品18件可使购买纪念品的总价最少．
26．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是
．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说
明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当
A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝ DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝ ＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
