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专题7.2 等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；
2.了解等差数列与一次函数.
新课程考试要求
3. 掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等差关系解决实际问题.
核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.
1.利用方程思想进行基本量的计算.
2.等差、等比数列的综合问题.
考向预测 3.复习中注意:
(1)方程思想在数列计算中的应用;
(2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用.
【知识清单】
知识点一．等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
d
那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.用递推公式表示为
a a d(n2) a a d(n1)
n n1 或 n1 n .
a a (n1)d
2.等差数列的通项公式： n 1 ；
说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性： d 0 为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减
数列.
3.等差中项的概念：
ab
A
定义：如果 a ，A， b 成等差数列，那么A叫做 a 与 b 的等差中项,其中 2 .
ab
A
a ，A， b 成等差数列 2 .
4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它
前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
知识点二．等差数列的前n项和n(a a ) n(n1)
S 1 n na d
等差数列的前 n 和的求和公式： n 2 1 2 .
知识点三．等差数列的相关性质
1.等差数列的性质：
a
（1）在等差数列 n 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
a
a a a a a
（2）在等差数列 n 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如： 1， 3， 5， 7，……； 3，
a a a
8， 13， 18，……；
a a
（3）在等差数列
a
n
中，对任意 m ， nN ， a n a m (nm)d ，
d
n
n
m
m
(mn) ；
a m n p qN mn pq a a a a
（4）在等差数列 n 中，若 ， ， ， 且 ，则 m n p q,特殊地，
2m pq 2a a a a a 、a
时，则 m p q， m是 p q的等差中项.
S ,S S ,S S
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 n 2n n 3n 2n成等差数列.
{a } {b } {a b }
（6）两个等差数列 n 与 n 的和差的数列 n n 仍为等差数列．
{a } {ka }
（7）若数列 n 是等差数列,则 n 仍为等差数列．
{a } d 2n S -S nd
2．设数列 n 是等差数列，且公差为 ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 项，则① 奇 偶 ； ②
S a S n
奇 n 奇
S a 2n1 S S a a S n1
偶 n1 ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 项，则① 偶 奇 n 中(中间项)；② 偶 .
a q,a ppq a 0 S S S mnd
3. p q ,则 pq , mn m n .
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公
差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
a S
m 2m1
{a } {b } n S S ' b S'
5.若 n 与 n 为等差数列，且前 项和分别为 n与 n ，则 m 2m1 .
d 0 a 0 S d 0
6．等差数列的增减性： 时为递增数列，且当 1 时前n项和 n有最小值． 时为递减数列，a 0 S
且当 1 时前n项和 n有最大值．
【考点分类剖析】
考点一 ：等差数列的基本运算
【典例1】（2020·全国高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，
则 __________．
{a }(nN*) S
【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列 n 是等差数列， n是其前n项和.若
a a a 0,S 27 S
2 5 8 9 ，则 8的值是_____.
【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列 的各项均为正整数，且 ，则
的最小值是___________.
【规律方法】
1．活用方程思想和化归思想
a d
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 1和 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通
n(a a ) n(n1)
S 1 n na d
项公式 a n a 1 (n1)d 及前 n 项和公式 n 2 1 2 ，共涉及五个量 a 1 ,d,n,a n ,S n，
知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄
a d
准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 1、 ，掌握好设未
知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
ad,a,ad
2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为 ；四个数成等差数列，一般设为
a3d,ad,ad,a3d
.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
3.等差数列的前n项和公式n(a a )
S 1 n
若已知首项 a 1和末项 a n，则 n 2 ，或等差数列{a}的首项是 a 1，公差是 d ，则其前 n 项和公
n
n(n1)
S na d
式为 n 1 2 .
【变式探究】
1..数列 是等差数列， ， ，则 （ ）
{a } a =1 a =8 a =
n 1 4 5
31
A． 16 B． -16 C． 32 D．
3
2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{a}的前n项和为S，a+a +a =9，S -S=77，则使S 取得最
n n 4 7 10 14 3 n
小值时n的值为____.
3.（2018·北京高考真题（理））设 是等差数列，且a=3，a+a=36，则 的通项公式为__________．
{a } 1 2 5 {a }
n n
考点二：等差数列的判定与证明
【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
2S (n1)a n1
【典例5】（2019·浙江高考模拟）设Sn为数列an的前n项和，且 S＝8， n n ．
2
a
（I）求a，a 并证明数列{ n}为等差数列；
1 2
2n S 0
（II）若不等式 n 对任意正整数 n 恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
1.等差数列的四种判断方法
a
a a d
nN
a
(1) 定义法：对于数列 n ，若 n1 n (常数)，则数列 n 是等差数列；
a
2a a a
nN
a
(2) 等差中项：对于数列 n ，若 n1 n n2 ，则数列 n 是等差数列;
a pnq p,q nN
a
(3)通项公式： n ( 为常数, ) n 是等差数列;
⇔n S An2 Bn A,B nN a
(4)前 项和公式： n ( 为常数, ) n 是等差数列;
⇔
S
(5)
a
n
是等差数列⇔
n
n
是等差数列.
2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a－a
2 1
＝d这一关键条件.
a ,a ,a
（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用 1 2 3验证即可．
（3）形如a ＝的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）求解
n＋1
（）见【变式探究】2）.
【变式探究】
a
a 0 a a 2n a
1. （2020·全国高三其他（理））数列 n 中， 1 ， n n1 ，则 2020 （ ）
A．2019 B．2020 C．4039 D．4040
2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足 ( ， 为常
数)，且 ，则 ___________；设函数 ， ，则数列
的前17项和为___________.
考点三 等差数列的性质及应用
【典例6】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列 是等差数列，若
， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
【典例7】（2021·北京高考真题） 和 是两个等差数列，其中 为常值， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．【温馨提醒】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前 n项
和公式求解．
【变式探究】
1．(2019·武汉调研)在等差数列{a}中，前n项和S满足S－S＝45，则a＝( )
n n 7 2 5
A．7 B．9
C．14 D．18
2.（2021·全国高二课时练习）设数列{a}是等差数列，且a=-6，a=6，S 是数列{a}的前n项和，则（
n 2 8 n n
）
A．S
