专题7.2等差数列及其前n项和2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 7.2 等差数列及其前 n 项和 练基础 1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列 中，已知 ，则公差 （ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】B 【解析】 设等差数列 的公差为 ，根据等差数列通项公式计算可得； 【详解】 解：设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ，解得 故选：B 2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则公差 等于（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 ，解得 ， 所以 ． 故选：B. 3.（2020·全国高三其他（理））已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B【解析】 由 ，得 ， 所以 . 故选：B. 4．（2019·浙江高三会考）等差数列{a }(n∈N∗)的公差为d，前n项和为S ，若a >0,d<0,S =S ， n n 1 3 9 则当S 取得最大值时，n＝（ ） n A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 根据题意，等差数列 中， ， 则 ， 又由 为等差数列，则 {a } S =S S −S =a +a +a +a +a +a =0 {a } n 3 9 9 3 4 5 6 7 8 9 n a +a =a +a =a +a =0， 又由a >0，d<0，则a >0，a <0， 则当n=6时，S 取得最大值； 故选： 4 9 5 8 6 7 1 6 7 n C． 5．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞 二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思 是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33 贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ） A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯 【答案】A 【解析】 由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结 果. 【详解】 解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a，a，a，a，a， 1 2 3 4 5 由数列{a}为等差数列，可记公差为d，依题意得： n ， 解得a=64.4，d=﹣8.4， 1所以a=64.4﹣33.6=30.8， 5 即戊所得钱数为30.8贯. 故选：A. 6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{a}的前n项和为S，且满足S >0，S <0，则 ， n n 15 16 ，…， 中最大的项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵等差数列前n项和 ， 由S >0，S <0，得 ，∴ ， 15 16 若视为函数则对称轴在 之间，∵ ，∴Sn最大值是 ， 分析 ，知 为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0， 递减，前8项中 递增， ∴前8项中 最大 最小时 有最大值，∴ 最大． S a  n a 5,a 13 S  7．（2019·全国高考真题（文））记 n为等差数列 n 的前 项和，若 3 7 ，则 10 ___________. 【答案】100 【解析】 a a 2d 5 a 1   a 3 7 a 1 1 6d 13 , 得 d 1 2 ,109 109 S 10a  d 101 2100. 10 1 2 2 S 10  a≠0，a 3a S 8.（2019·全国高考真题（理））记S为等差数列{a}的前n项和， 1 2 1，则 5 n n ___________. 【答案】4. 【解析】 a 3a a d 3a 2a d 因 2 1，所以 1 1，即 1 ， 109 10a  d 1 2 100a  1 4 所以S ． 10  5a  54 d 25a 1 S 1 2 5 9.（2021·河南高三其他模拟（文））设S 是等差数列{a}的前n项和，若S=2S-2，2a-a=7，则 n n 4 3 5 6 S=___________. 8 【答案】64 【解析】 设{a}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可. n 【详解】 设{a}的公差为d.因为 ，即 所以 ，所以 n . 故答案为：64. 10.（2018·全国高考真题（理））记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =−7，S =−15． n n 1 3 （1）求{a }的通项公式； n （2）求S ，并求S 的最小值． n n 【答案】（1）a=2n–9，（2）S=n2–8n，最小值为–16． n n 【解析】 （1）设{a}的公差为d，由题意得3a+3d=–15． n 1由a=–7得d=2． 1 所以{a}的通项公式为a=2n–9． n n （2）由（1）得S=n2–8n=（n–4）2–16． n 所以当n=4时，S取得最小值，最小值为–16． n 练提升 TIDHNE 1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列 满足 ，若 ，则“数列 为无穷数列”是“数列 单调”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 由已知可得 ，设 ，若存在正整数 ，当 时，有 ，此时数列 为有穷数列；若 恒不为0，由 ，有 ，此时 为无穷数列，由此根据充分条件、 必要条件的定义进行分析即可得结论． 【详解】 解：令 ， ， 由 ，可得 ，所以 ，即 ， 所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为1， 所以 ，设 ，则数列 是单调递增的等差数列， 若存在正整数 ，当 时，则有 ，此时数列 为有穷数列； 若 恒不为0，由 ，有 ，数列 就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时 为无穷数列. （1）若 恒不为0，则 为无穷数列，由递推关系式有 ， 取 ， 时， ，则 ， ， ， ，此时数列 不是单调 数列； （2）当数列 为有穷数列时，存在正整数 ，当 时，有 ， 此时数列 为 ， ， ， ， ， ， 由 ，若数列 单调，则 ， ， ， ， 全为正或全为负， 由 ，则 ， ， ， ， 全为正，而 ， 这与 单调递增矛盾，所以当数列 为有穷数列时，数列不可能单调， 所以当数列 单调时，数列 一定有无穷多项． 故选：B. 2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培 养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展 “创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列 （单位万 元， ），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 的 倍，已知 ． 则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 【答案】C 【解析】 本题可设等差数列 的公差为 ，然后根据题意得出五年累计总投入资金为 ，最后通过基 本不等式即可求出最值. 【详解】 设等差数列 的公差为 ， 由题意可知，五年累计总投入资金为： ， 因为 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元， 故选：C. 3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数 ，其中 表示不超过 的最大整数， 例如： ， ， .当 时， 的值域为 .记集合 中元素的 个数为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 先根据条件分析出当 时，集合 中的元素个数为 ，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 在各个区间中的元素个数分别为： ， 所以当 时， 的值域为 ，集合 中元素个数为： ， 所以 ， 所以 ， 故选：D. 4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列 的公差 ， 为其前n项和， 则 的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 利用 ，求得 的值，然后利用等差数列求和公式求得 ，利用函数图象得 的最小 值可能为 ， 或 ，分别求出 ， ， ，得出最小值. 【详解】由于 即 ,解得 , 故 , 作函数 的图象， 故 的最小值可能为 ， 或 ， 而 ， ， ， 故 的最小值为 . 故答案为：8. 5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 …，其中在第 个1与 第 个1之间插入 个 若该数列的前 项的和为 则 ___________. 【答案】3 【解析】 当 时，若有n个1，由题知，数列共有 项， 当 时， ，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项， 所以前 项中含63个1，其余均为x，从而根据前 项的和为 求得x. 【详解】当 时，若有n个1，由题知，数列共有 项， 当 时， ，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项， 所以前 项中含63个1，其余均为x， 故该数列的前 项的和为 ，解得 . 故答案为：3 6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ， （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，记数列 的前 项和 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）当 时，由 ，得 ，两式相减可得 ，从而可求 出 ，当 时， ，求出 ，进而可出数列 的通项公式； （2）由（1）可得 ，从而可求出 【详解】 解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 由 ，得 相减得 即 ，又 ，所以 ， 由 ，得 ， 解得 ，( 舍去) 由 ，得 ； （2） . 7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 ，根据 ，求得 ，得到 ，进而求得数列 的通项 公式； （2）由（1）得到 ，利用累加法，求得 ，进而求得 ，利用裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列 的前 项和为 ， 可得 ， ， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ， ， 因为当 时， ， 所以 . 当 时，符合上式， 所以数列 的通项公式为 . （2）由（1）知 ，可得 ， 所以 ， ， ， ……， ， 所以 ， 又由 ，可得 ， 当 时， ，满足上式， 所以 .所以 ， 所以 . 8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列 满足 ，且 ， ． （1）证明：数列 是等差数列； （2）数列 的前项 和为 ，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 （1）将已知递推关系移项配方整理可得 ，进而利用等差中项法证明 数列 是等差数列； （2）利用裂项求和法求和化简后即得证. 【详解】 解：（1）由 结合数列各项均为正数 得 则 ，所以数列 是等差数列； （2） ，则公差 ∴ ， ∴ .9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项的和 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）由 求出 的值，当 时，由 与 的关系推导出数列 为等差数列，确定该数列的首 项与公差，可求得 的通项公式； （2）计算出 ，然后利用等差数列的求和公式可求得 . 【详解】 （1）令 ，则 ，可得 ，得 ； 当 时，由 可得 ， 两式相减得 ，即 ， 由数列 的各项为正，可得 ， 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列． 即数列 的通项公式为 ； （2）由 得 ，则有 ， 因为， 因此， . {a } {b } S {a } n a 1 10．（2019·浙江高三期末）在数列 n 、 n 中，设 n是数列 n 的前 项和，已知 1 ， a a 2 3b 5b (2n1)b 2na 1 nN* n1 n ， 1 2 n n ， . a S （Ⅰ）求 n和 n； nk b 8S k （Ⅱ）若 时， n n恒成立，求整数 的最小值. a 2n1 S n2 k 【答案】（1） n ， n （2）整数 的最小值是11. 【解析】 a a 2 a a 2 a  （Ⅰ）因为 n1 n ，即 n1 n ，所以 n 是等差数列， n12n1 S  n2 又a 1，所以a 2n1，从而 n 2 . 1 n a 2n1 3b 5b 7b 2n1b  2n2n11 （Ⅱ）因为 n ，所以 1 2 3 n ， n2 3b 5b 7b 2n1b 2n1b  2n2n11 当 时， 1 2 3 n1 n ① 3b 5b 7b 2n1b  2n12n31 1 2 3 n1 ② 2n1b 2n12n1 n2 b 2n1 ①-②可得 n ， ，即 n ， b 1 b 2n1 而 1 也满足，故 n . b 8S 2n1 8n2 2n4 n2 令 n n，则 ，即 ，2104 102 2114 112 k 因为 ， ，依据指数增长性质，整数 的最小值是11. 练真题 TIDHNE 1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________． 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ． 即 ． 故答案为： . 2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前 n n n项和为________． 【答案】 【解析】 因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列 是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以 的前 项和为 ， 故答案为： . 3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a}的前n项和为S，若a=−3，S=−10，则 n n 2 5a=__________，S的最小值为__________． 5 n 【答案】0. -10. 【解析】 a  S 5a 10 a 2,a 3 d a a 1 a a 2d 0 等差数列 n 中, 5 3 ,得 3 2 ,公差 3 2 , 5 3 , 由等差数列 a n  的性质得 n5 时, a n 0 ,n6时, a n大于0,所以 S n的最小值为 S 4或 S 5,即为10. 4.（2021·全国高考真题（文））记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差 数列，证明： 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，最终 得证. 【详解】 ∵数列 是等差数列，设公差为 ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 当 时， ，满足 ， ∴ 的通项公式为 ， ∴ ∴ 是等差数列. 5.（2021·全国高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知． （1）证明：数列 是等差数列; （2）求 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得 ,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列; （2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 . 【详解】 （1）由已知 得 ,且 ， , 取 ,由 得 , 由于 为数列 的前n项积， 所以 , 所以 ，所以 , 由于 所以 ，即 ,其中 所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， , , 当n=1时， , 当n≥2时, ,显然对于n=1不成立, ∴ . 6.（2019·全国高考真题（文））记S为等差数列{a}的前n项和，已知S=－a． n n 9 5 （1）若a=4，求{a}的通项公式； 3 n （2）若a>0，求使得S≥a的n的取值范围． 1 n n a 2n10 【答案】（1） n ； 1n10(nN) （2） .【解析】 a  a （1）设等差数列 n 的首项为 1，公差为d ，  98 9a  d (a 4d)  1 2 1 根据题意有 ， a 2d 4  1 a 8 1  解答 d 2，所以a 8(n1)(2)2n10， n a  a 2n10 所以等差数列 n 的通项公式为 n ； S a 9a a a 0 （2）由条件 9 5，得 5 5，即 5 ， a 0 d 0 a a 4d 0 a 4d 因为 1 ，所以 ，并且有 5 1 ，所以有 1 ， n(n1) na  d a (n1)d 由 S a 得 1 2 1 ，整理得(n2 9n)d (2n10)d， n n d 0 n2 9n2n10 n2 11n100 因为 ，所以有 ，即 ， 1n10 解得 ， n 1n10(nN) 所以 的取值范围是：