文档内容
2025年内蒙古呼和浩特市中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）某蓄水池标准水位记为 ，如果 表示高于标准水位 ，那么 表示
A．高于标准水位 B．低于标准水位
C．高于标准水位 D．低于标准水位
2．（3分）下列图形是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分） 如图，小丽裁出一块面积为 的正方形画布，则这块画布的边长为
A． B． C． D．
5．（3分）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为
A． B． C． D．
6．（3分）如图，两个平面镜平行放置，入射光线 经过两个平面镜反射后，与其反射光线 平行，
第1页（共17页）若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
7．（3分）往一个水平放置的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 ，油
的最大深度为 ，则该圆柱形油槽截面圆的半径为
A． B． C． D．
8．（3分）点 ， ， ， 在二次函数 ， 为常数）图象上，若 ，
且 ，则
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确定
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9．（3分）一元一次方程 的解是 ．
10．（3分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力 阻力臂 动力 动力臂．
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 和 ，则动力 关于自变量动力臂
的函数解析式为 ．
第2页（共17页）11．（3分）如图，兴康社区附近有 、 、 三个快递中转站： 站在 站南偏西 方向上， 站在
站的东北方向上， 站在 站的北偏东 方向上且距离 站 处，则 站到 站的距离为
（精确到 ． 、 、 、 在同一平面内，参考数据： ， ， ，
， ，
12．（3分）如图，已知 ， 、 分别平分 和 交 、 于点 和点 ，
与 交于点 ．连接 ，在 的延长线上取一点 ，使 ， 与 交于点 ，
已知 ， ，则 ．
三、解答题（共6小题，共64分）
13．（10分）（1）计算： ；
第3页（共17页）（2）解方程 ．
14．（10分）我国“双碳”目标是2030年前“碳达峰”和2060年前实现“碳中和”．要实现目标，除
了国家层面的规划和实施，我们每个人也需做出贡献．某市为了解居民日常生活基本需求的核心消费领
域——衣、食、住、行的碳排放量，通过简单随机抽样调查，获得50个家庭一个月的碳排放量（单位：
数据，进行整理和描述，绘制如下统计图表．
组别 组中值 频数（个数）
月碳排放量
500 2
10
900 20
1100 15
1300 3
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出统计表中 的值，若以各组组中值代表各组的实际数据，直接写出样本的众数；
（2）样本数据的中位数在哪一组，若该市某个家庭的月碳排放量是 ，请你用样本数据的中位数推
测该家庭月碳排放量在全市处于什么水平？并为其提供一条推动“双碳”目标实现的合理化建议；
（3）若从 组和 组中随机选出2个家庭，为某社区做日常生活“减碳”的宣传，计算这2个家庭同时
在 组的概率．
15．（8分）内蒙古不仅是全国重要的牲畜产品供应基地和乳业核心产区，更是维护北方生态安全、传承
民族文化的战略支柱．某牧场主为大力发展优势特色产业，计划合理规划牧场资源，以下是需要解决的
两个问题．
问题1：牲畜数量与饲料分配．牧场计划增加牛和羊两种牲畜的数量共110，已知每头牛每天消耗10公斤
草料，每只羊每天消耗2公斤草料．若牧场每天供给新增牛、羊草料的总量为500公斤，则牛和羊的数量
第4页（共17页）各增加多少？
问题2：牧场扩建．牧场主计划用总长为200米的围栏扩建一个矩形牧场，靠墙（墙足够长）的一边不设
围栏．设垂直于墙面的一条边的长为 米，其面积为 平方米，写出 关于 的函数解析式，并求出 的
最大值．
16．（11分） △ 中， ， 是其外接圆， 是圆上的动点．
（1）当 时（如图 ，求证：△ △ ；
（2）当 平分 时，过 点作 交 的延长线于点 ．（如图
①求证： 是 的切线；
②已知 ， ，求 的长．
17．（12分）问题背景
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形 的对角线相交于点
，点（又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形 绕点 怎
样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 想一想，这是为什么．（此问题不需
要作答）
类比探究：将正方形 沿 方向平移．
【实验猜想】
将点 平移到 的中点 时，如图2， 于点 ， 于点 ，请你猜想并直接写出
第5页（共17页）的值．
【拓展运用】
将点 平移到线段 上的任意点 （不与 ， 重合）时，记 ．
（1）如图3，求证： ；
（2）如图 4，点 在边 上（不与 ， 重合），连接 并延长与 的延长线交于点 ，当
且 时，求 的值．
18．（13分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧）．
（1）请求出该二次函数的对称轴和顶点坐标；
（2）①当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围；
②将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线与原抛物线交于点 ．直线 与原
抛物线交于点 ，与新抛物线交于点 ． 为线段 上的动点，过点 作 轴，垂足为 ，连接
， ，当 在①中的取值范围内， 取得最大值时，求 的最小值．
第6页（共17页）2025年内蒙古呼和浩特市中考数学二模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C C D A B
9. 10. 11.3.4 12.
选择题、填空题解法提示
8．解：二次函数 的对称轴为 ，开口向下，
，
点 ， 到对称轴的距离为 ，点 ， 到对称轴的距离为 ，
，
，即点 离对称轴更远，
由于抛物线开口向下，离对称轴越远的点函数值越小，
因此 ．
故选： ．
11．解：过点 作 于点 ，作 于点 ，则 ，
， ，
在 △ 中， ，
，
第7页（共17页），
，
设 ，
在 △ 中，
，
，
，
，
，
解得 ，
即 站到 站的距离为 ．
12．解：过点 作 交 于点 ，
由平行线的性质可得： ， ，
由题意可得： ， ，
， ，
，
，
，
第8页（共17页）四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
可设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，
，
，
△ △ ，
，
即 ．
故答案为： ．
解答题参考答案
第9页（共17页）13．解：（1）
．
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得： ．
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ．
14．解：（1）根据题意得 ，
在样本组成的数据中，出现次数最多的是900，故众数为900；
（2）该组数据中一共有50个数据，按照从小到大的顺序排列，中位数取第25位和26位数据的平均数，
组数据是从第13个数开始到第32个数，故中位数在 组；
根据得到的样本数据的中位数，可以估计，大约有一半家庭的月碳排放量高于 ，有一半家庭的月碳
排放量低于 ．
该家庭的月碳排放量为 ，高于中位数，
可以推测这个家庭的月碳排放量大约高于全市一半以上家庭的月碳排放量，
可以从衣、食、住、行四个方面提出合理化建议：
衣：选择环保面料制成的衣物，减少购买频繁更新的流行服饰，延长服装使用寿命．
食：适当增加蔬菜消费，优先选择本地、当季食材，减少食物浪费．
住：选择节能电器，合理设置空调温度，随手关灯，节约用水．
行：优先选择步行、骑行或公共交通出行，减少燃油车使用，提倡使用新能源汽车；
（3）根据题意，对两组成员进行编号，列树状图如下：
第10页（共17页）第一次从 组和 组中随机选出2个家庭的所有等可能的结果共20种，2个家庭同时在 组的结果有2
种，所以 （同时在 组） ．
15．解：问题1：设新增牛 头，羊 只，
．
， ．
答：牛增加35头，羊增加75只．
问题2：由题意， 垂直于墙面的一条边的长为 米，
平行于墙面的长为 ．
面积 ．
当 时， 平方米．
答： ，最大值为5000平方米．
16．（1）证明：在 △ 中， ， 是其外接圆，
是 的直径，
是圆上的动点，
，
在△ 和△ 中，
，
第11页（共17页）△ △ ；
（2）①证明：连接 ， ， ，如图2①所示：
平分 ， ，
，
根据圆周角定理得： ， ，
，
△ 是等腰直角三角形，
点 是 圆心，
，
，
，
，
又 的半径，
是 的切线；
②解：过点 作 于点 ，连接 ，如图2②所示：
在 △ 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
第12页（共17页），
由三角形面积公式得： ，
，
由①可知： ，
又
，
△ △ ，
，
，
根据平行线分线段成比例定理得： ，
，
．
17．【实验猜想】解： 四边形 是正方形，
， ，
为 的中点，
，
，
于点 ， 于点 ，
，
△ △ ，
，
；
【拓展运用】（1）证明：过点 作 ， ，垂足分别为点 和点 ，
第13页（共17页）点 在正方形 的对角线上，
△ 和△ 是等腰直角三角形，
△ △ ，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
△ △ ，
；
（2）解：过点 作 交 于点 ， 于点 ， 于点 ，
， ，
△ △ ，
，即 ，
第14页（共17页）同理：△ △ ， ，
，
，
，
△ △ ，
，
设 ，则 ，设 ，则 ，
△ △ ，
，则 ，
，
，
解得： ，
则 ，
．
18．解：（1） ，
二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）① ，
即函数开口向上，对称轴为直线 ，
即当 时， 有最小值，最小值为 ；
当 时，得： ；
最大值与最小值的差是 ，最小值是 ，
第15页（共17页）最大值为 ；
当 时， ，
解得： ， ，
；
② ，
故将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线为 ；
当 时，解得 ，
．
抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），
当 时，得： ，
解得 ， ，
，
设 ，则 ，
，
由①得，当 时， 取得最大值，
此时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
将点 向左平移 个单位长度得 ，连接 ，与 轴交于点 ，作 交 于点 ，
连接 ；
过点 作 轴，交于点 ，如图：
第16页（共17页）， ，
是平行四边形，
，
故 ，此时 有最小值；
， ， 轴，
，
故 ， ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
故 ，
的最小值为 ．
第17页（共17页）
