文档内容
北京市西城区2018年4月九年级统一测试
数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得
全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人
工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储 本书籍，将 用
科学记数法表示应为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用科学记数法表示为 ．
2．在中国集邮总公司设计的 年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）．
A． B．
千里江山图 京津冀协同发展
C． D．
内蒙古自治区成立七十周年 河北雄安新区建立纪念
【答案】C
【解析】中心对称绕中心转 与自身重合．
3．将 分解因式，所得结果正确的是（ ）．
1 / 20A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ．
4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）．
A．三棱柱
B．圆柱
主视图 左视图
C．六棱柱
D．圆锥
【答案】C 俯视图
【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱．
5．若实数 ， ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）．
A．
a b c d
B．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
C．
D．
【答案】D
【解析】① ，故 错．
② ，故 错．
③ ，故 错．
④ ， ，故选 ．
6．如果一个正多边形的内角和等于 ，那么该正多边形的一个外角等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】多边形内角和 ，∴ ．
正多边形的一个外角 ．
2 / 207．空气质量指数（简称为 ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．
数据 ~ ~ ~ ~ ~ 以上
类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
某同学查阅资料，制作了近五年月份北京市 各类别天数的统计图如下图所示．
天数
16
优
14 14
12
良
12 12
9
10 10 轻度污染
9
10
8 8
7 6 中度污染
6
6 6
4 4 3 4 4 重度污染
3 2
2 3
1
1 2 1 1 严重污染
0 0
2014年 2015年 2016年2017年2018年时间
1月 1月 1月 1月 1月
根据以上信息，下列推断不合理的是
A． 类别为“优”的天数最多的是 年月
B． 数据在 ~ 之间的天数最少的是 年月
C．这五年的月里， 个 类别中，类别“优”的天数波动最大
D． 年月的 数据的月均值会达到“中度污染”类别
【答案】D
【解析】① 为“优”最多的天数是 天，对应为 年月，故 对．
②
~
~
~
在 ~ 之间天数最少的为 年月，故 对．
③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故①对．
④ 年月的 在“中度污染”的天数为天，其他天 均在“中度污染”之上，因此 推断不合理．
8．将 ， 两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
3 / 20投篮次数
投中次数
投中频率
投中次数
投中频率
下面有三个推断：
①投篮 次时，两位运动员都投中 次，所以他们投中的概率都是 ．
②随着投篮次数的增加， 运动员投中频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 运动
员投中的概率是 ．
④投篮达到 次时， 运动员投中次数一定为 次．
其中合理的是（ ）．
A．① B．② C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮
次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着投篮次数增加， 运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理．
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中 次数，而不能确定一定是
次，故③不合理．
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9．若代数式 的值为 ，则实数 的值为__________．
【答案】
【解析】 ， ， ．
10．化简： __________．
【答案】
【解析】 ．
11．如图，在 中， ， 分别与 ， 交于 ， 两点．若 ， ，则
__________．
4 / 20A
D
B E C
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁 次约用 到达．从 年 月 日起，全国铁路
开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的 次的运行速度
快 ，约用 到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复
兴号”的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为 ，依题意，可列方程为__________．
【答案】
【解析】依题意可列方程： ．
13．如图， 为⊙ 的直径， 为 上一点， ， ， 交⊙ 于点 ，连接 ，
，那么 __________．
D
C
B
A
O
【答案】
【解析】∵ ，
5 / 20∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
14．在平面直角坐标系 中，如果当 时，函数 （ ）图象上的点都在直线 上方，
请写出一个符合条件的函数 （ ）的表达式：__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】答案不唯一， 即可．
15．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，等腰直角三角形 的边 在 轴的正半
轴上， ，点 在点 的右侧，点 在第一象限。将 绕点 逆时针旋转 ，如果点
的对应点 恰好落在 轴的正半轴上，那么边 的长为__________．
y
E
D C
A B x
O
【答案】
【解析】依题可知， ， ， ， ，
在 中， ， ， ，∴ ，
∴ ．
在 中， ．
6 / 2016．阅读下面材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中
蕴含的数学原理．
已知：直线和直线外的一点 ．
求作：过点 且与直线垂直的直线 ，垂足为点
某同学的作图步骤如下：
步骤 作法 推断
第一步 以点 为圆心，适当长度为半径
作弧，交直线于 ， 两点．
第二步 连接 ， ，作 的平分 __________
线，交直线于点 ．
直线 即为所求作．
请你根据该同学的作图方法完成以下推理:
∵ ， __________，
∴ ．（依据：__________）．
【答案】 ，等腰三角形三线合一
【解析】 ，等腰三角形三线合一．
三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，
第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
17．计算： ．
【解析】原式 ．
18．解不等式组 ，并求该不等式组的非负整数解．
【解析】解①得， ， ， ，
解②得， ， ，
7 / 20∴原不等式解集为 ，
∴原不等式的非负整数解为 ，， ．
19．如图， 平分 ， 于点 ， 的中点为 ， ．
（1）求证： ．
（2）点 在线段 上运动，当 时，图中与 全等的三角形是__________．
A
E
C
D
B
【解析】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
∵ 的中点为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ．
8 / 20A
1 2
E
C
3
D
B
20．已知关于 的方程 （ 为实数， ）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 的值．
【解析】（1）
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由求根公式，得 ，
∴ ， （ ）．
∵此方程的两个实数根都为正整数，
∴整数 的值为 或 ．
21．如图，在 中， ，分别以点 ， 为圆心， 长为半径在 的右侧作弧，两
弧交于点 ，分别连接 ， ， ，记 与 的交点为 ．
（1）补全图形，求 的度数并说明理由;
（2）若 ， ，求 的长．
B
A
D
9 / 20【解析】（1）补全的图形如图所示． ．
证明：由题意可知 ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ．
（2）∵四边形 为菱形，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
B
C
O
A
D
22．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，线段
的中点 在函数 （ ）的图象上
（1）求 ， 的值;
（2）将线段 向左平移 个单位长度（ ）得到线段 ， ， 的对应点分别为 ， ， ．
①当点 落在函数 （ ）的图象上时，求 的值．
②当 时，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．
10 / 20B
M
1
A -1 O 1
-1
【解析】（1）如图．
∵直线 与 轴的交点为 ，
∴ ．
∵直线 与 轴的交点为 ，
∴点 的坐标为 ．
∵线段 的中点为 ，
∴可得点 的坐标为 ．
∵点 在函数 （ ）的图象上，
∴ ．
（2）①由题意得点 的坐标为 ，
∵点 落在函数 （ ）的图象上，
∴ ，
解得 ．
② 的取值范围是 ．
D
B
N
M
1
C
A -1 O 1
-1
11 / 2023．某同学所在年级的 名学生参加“志愿北京”活动，现有以下 个志愿服务项目： ．纪念馆志愿
讲解员． ．书香社区图书整理． ．学编中国结及义卖． ．家风讲解员． ．校内志愿服务．要
求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个 个项目的情况，该同学随机对年级
中的 名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：
收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．
选择各志愿服务项目的人数统计表
志愿服务项目 划记 人数
．纪念馆志愿讲解员 正
．书香社区图书整理
．学编中国结及义卖 正正
．家风讲解员
．校内志愿服务 正
合计
选择各志愿服务项目的人数比例统计图
．纪念馆志愿讲解员
E15%
A20% ．书香社区图书整理
D
．学编中国结及义卖
B
．校内志愿服务
C30%
% % ．家风讲解员
分析数据、推断结论：
：抽样的 个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填 的字母代号）
：请你任选 中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这
两个志愿服务项目．
【解析】 项有 人， 项有 人．
选择各志愿服务项目的人数比例统计图中， 占 ， 占 ．
分析数据、推断结论：
．抽样的 个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是 ．
12 / 20：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．
： （人）．
： （人）．
： （人）．
： （人）．
： （人）．
24．如图，⊙ 的半径为 ， 内接于⊙ ， ， ， 为 延长线上一点，
与⊙ 相切，切点为 ．
（1）求点 到半径 的距离（用含 的式子表示）．
（2）作 于点 ，求 的度数及 的值．
O
A
D B C
【解析】（1）如图 ，作 于点 ．
∵在⊙ 的内接 中， ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴点 到半径 的距离为 ．
（2）如图 ，连接 ．
由 ， ，可得 ．
∵ 于⊙ 相切，切点为 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 于点 ，
13 / 20∴ ．
∵在 中， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
O
A
H
E
D B C
图4
25．如图， 为⊙ 的直径 上的一个动点，点 在 上，连接 ，过点 作 的垂线交⊙ 于
点 ．已知 ， ．设 、 两点间的距离为 ， 、 两点间的距离为 ．
14 / 20A
C
O
P
Q
B
某同学根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了 与 的几组值，如下表：
（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 时， 的长度均为__________ ．
【解析】（1）
（2）如图
y
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x
图5
（3） ．
15 / 2026.在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于点 ，抛物线 的顶点
为 ，直线： ．
（1）当 时，画出直线和抛物线 ，并直接写出直线被抛物线 截得的线段长．
（2）随着 取值的变化，判断点 ， 是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线 截得的线段长不小于 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．
y
1
x
O 1
【解析】（1）当 时，抛物线 的函数表达式为 ，直线的函数表达式为 ，直线被抛物
线 截得的线段长为 ，画出的两个函数的图象如图所示：
y y=x2+2x
y=x
x
O(C)
D
（2）∵抛物线 ： 与 轴交于点 ，
∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线 的顶点 的坐标为 ，
对于直线： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴无论 取何值，点 ， 都在直线上．
（3） 的取值范围是 或 ．
16 / 2027．正方形 的边长为 ，将射线 绕点 顺时针旋转 ，所得射线与线段 交于点 ，作
于点 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ．
（1）如图，当 时，
①依题意补全图．
②用等式表示 与 之间的数量关系：__________．
（2）当 时，探究 与 之间的数量关系并加以证明．
（3）当 时，若边 的中点为 ，直接写出线段 长的最大值．
A B A B
M
D C D C
图1
备用图
【解析】（1）①补全的图形如图所示：
A B
M
E
N
D C
② ．
（2） ，
连接 ，
17 / 20A B
M
C
D
Q
E
N
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ．
（3）∵ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
2
1 O
F E
2
∴ ．
28．对于平面内的⊙ 和⊙ 外一点 ，给出如下定义：若过点 的直线与⊙ 存在公共点，记为点 ，
，设 ，则称点 （或点 ）是⊙ 的“ 相关依附点”，特别地，当点 和点 重合
时，规定 ， （或 ）．
已知在平面直角坐标系 中， ， ，⊙ 的半径为 ．
（1）如图，当 时，
18 / 20①若 是⊙ 的“ 相关依附点”，则 的值为__________．
② 是否为⊙ 的“ 相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．
（2）若⊙ 上存在“ 相关依附点”点 ，
①当 ，直线 与⊙ 相切时，求 的值．
②当 时，求 的取值范围．
（3）若存在 的值使得直线 与⊙ 有公共点，且公共点时⊙ 的“ 相关依附点”，直接
写出 的取值范围．
y
y
A
1
O x O x
Q C A 2 Q C
图1 备用图
【解析】（1）① ．②是．
（2）①如图，当 时，不妨设直线 与⊙ 相切的切点 在 轴上方（切点 在 轴下方时同理），
连接 ，则 ，
y
M
O
x
Q C 2
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
此时 ，
19 / 20②如图，若直线 与⊙ 不相切，设直线 与⊙ 的另一个交点为 （不妨设 ，点 ，
在 轴下方时同理），
作 于点 ，则 ，
y
M
D
N
x
Q O C 2
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
此时 ，
假设⊙ 经过点 ，此时 ，
∵点 早⊙ 外，
∴ 的取值范围是 ．
（3） ．
20 / 20
