文档内容
第3课时 立方根
立方根的概念及性质
1.-5的立方根表示正确的是 ( )
A.√35 B.√-5 C.-√35 D.√3 -5
2.(2025重庆沙坪坝区月考)下列说法中,正确的是 ( )
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个非零数的立方根与这个数同号
C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根
D.一个数的立方根是非负数
3.若m<0,则m的立方根是 。
开立方
4.计算√327的结果是 ( )
A.±3 B.3 C.-3 D.√3
5.求下列各数的立方根:
10
(1)0.729; (2)0; (3)-2 ; (4)-13。
27
6.求下列各式中x的值:
(1)-125x3=8;
(2)(x-2)3+27=0。√3 a3与(√3 a )3
7. 的立方根是 ( )
√3(-1)3
A.-1 B.0 C.1 D.±1
8.求下列各式的值:
√ 343
(1)√3 63; (2)√30.512; (3)(√3 -9)3; (4)3 - 。
125
立方根的实际应用
9.把一个长、宽、高分别为12 cm,9 cm,2 cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块,求这个立方体
铁块的棱长。
1.(2025北京海淀区期中)若a是(-3)2的平方根,则√3 a等于 ( )
A.-3 B. C. 或- D.3或-3
√33 √33 √33
1 1
2.给出下列四种说法:①1的算术平方根是1;② 的立方根是± ;③-27没有立方根;④互为相反数
8 2
的两个数的立方根互为相反数。其中正确的是 ( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
3.若√x-5+|y+25|=0,则√3 xy的值为 ( )
A.-5 B.15 C.25 D.5
4.如果x是64的立方根,那么x的算术平方根是 ( )
A.4 B.2 C.√2 D.±4
5.如果一个实数的平方根与它的立方根相等,那么这个实数是 。6.(易错题)已知 =1-a2,则a的值为 。
√3 1-a2
7.(2025西安月考)已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,则x2+y2的算术平方根为 。
8.请根据如图所示的对话内容回答下列问题。
(1)求该魔方的棱长;
(2)求该长方体纸盒的长。
9.我们知道a+b=0时,a3+b3=0也成立,若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能得出这样
的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数。
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立;
(2)若√31-2x与√33x-5互为相反数,求1-√x的值。
10.(推理能力)观察下列各式,并用所得出的规律解决问题:
(1)√2≈1.414,√200≈14.14,√20 000≈141.4,…,√0.03≈0.173 2,√3≈1.732,√300≈17.32,…。
由此可见,被开方数的小数点每向右移动 位,其算术平方根的小数点向 移动
位;
(2)已知√15≈3.873,√1.5≈1.225,则√150≈ ;√0.15≈ ;
(3)√31=1,√31 000=10,√31 000 000=100,…,小数点的变化规律是
(4)已知√310≈2.154,√3 y≈-0.215 4,求y的值。【详解答案】
基础达标
1.D 2.B 3.√3 m 4.B
5.解:(1)因为0.93=0.729,所以0.729的立方根是0.9,即√30.729=0.9;
(2)0的立方根是0;
(3)因为-210=-64,( 4) 3 =-64,
-
27 27 3 27
10 4
所以-2 的立方根是- ,
27 3
√ 10 4
即3 -2 =- ;
27 3
(4)-13的立方根是√3 -13。
6.解:(1)因为-125x3=8,
8
所以x3=- 。
125
√ 8 2
所以x= 3 - =- ;
125 5
(2)因为(x-2)3+27=0,
所以(x-2)3=-27。
所以x-2=√3 -27=-3。
所以x=-1。
7.A
8.解:(1) =6;
√3 63
(2) =0.8;
√30.512=√3 0.83
(3)(√3 -9)3=-9;
(4)√ 3 - 343 = √ 3( - 7) 3=-7。
125 5 5
9.解:设这个立方体铁块的棱长为a cm。
根据题意,得a3=12×9×2。
解得a=6。
答:这个立方体铁块的棱长为6 cm。能力提升
1.C 解析:因为(-3)2=(±3)2=9,所以a=±3,所以√3 a=√33或-√33。故选C。
2.C 解析:①说法:因为1的算术平方根就是 =1,所以①说法正确;②说法:因为(1) 3 1,所以1的立方根是1,
√1 =
2 8 8 2
1
不是± ,所以②说法错误;③说法:因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,不是没有立方根,所以③说法错误;④说法:
2
设两个互为相反数的数分别为a和-a,则它们的立方根分别为√3 a和√3 -a,因为√3 -a=-√3 a,所以互为相反数的两个
数的立方根互为相反数,所以④说法正确。故选C。
3.A 解析:由题意,得x-5=0,y+25=0。解得x=5,y=-25。所以√3 xy=√35×(-25)=√3 -125=-5。故选A。
4.B 解析:因为43=64,所以64的立方根是4,即x=4。因为22=4,所以x的算术平方根是2。故选B。
5.0 解析:如果一个实数的平方根与它的立方根相等,那么这个实数是0。
6.±1或0或± 解析:因为 =1-a2,所以1-a2=0或1-a2=1或1-a2=-1。解得a=±1或0或± 。
√2 √3 1-a2 √2
7.10 解析:因为x-2的平方根是±2,所以x-2=4。所以x=6。因为2x+y+7的立方根是3,所以2x+y+7=27。把x=6
代入,解得y=8。所以x2+y2=100。所以x2+y2的算术平方根为10。
8.解:(1)设魔方的棱长为x cm(x>0)。
由题意可得x3=216。所以x=6。
所以该魔方的棱长为6 cm。
(2)设该长方体纸盒的长为y cm(y>0)。
由题意可得6y2=600。
所以y=10(负值已舍去)。
所以该长方体纸盒的长为10 cm。
9.解:(1)因为2+(-2)=0,且23=8,(-2)3=-8,有8+(-8)=0,
所以结论成立,即“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的。
(2)由(1)验证的结果知,1-2x+3x-5=0,
所以x=4。所以1-√x=1-2=-1。
10.解:(1)两 右 一
(2)12.25 0.387 3
(3)被开方数的小数点向右(左)移动三位,其立方根的小数点向右(左)移动一位
解析:√31=1,√31 000=10,√31 000 000=100,…,小数点的变化规律是被开方数的小数点向右(左)移动三位,其
立方根的小数点向右(左)移动一位。
(4)因为√310≈2.154,√3 y≈-0.215 4,所以y=-0.01。
