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第二章 实数
2.3 立方根
基础篇
一、单选题
1．【2022广安中学期末】下列各组数中互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与2
【答案】A
【分析】
根据算术平方根，立方根，绝对值的定义，化简各选项的值，从而做出判断．
【详解】
解：A、化简结果是 与2，互为相反数，符合题意；
B、化简结果是 与 ，不互为相反数，不符合题意；
C、 的相反数应该是2，不互为相反数，不符合题意；
D、化简结果2与2，不互为相反数，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的定义，熟练掌握算术平方根，立方根，绝对值的定义是解题的
关键．
2．【2022丽江一模】下列说法错误的是（ ）
A．0的平方根是0 B． 的平方根是
C．算术平方根等于它本身的数是1 D．立方根等于它本身的数是0，
【答案】C
【分析】
根据算术平方根的意义、平方根的意义和立方根的意义，可得答案．
【详解】解：A、0的平方根是0，故正确，本选项不符合题意；
B、 的平方根是 ，故正确，本选项不符合题意；
C、算术平方根等于它本身的数是0和1，故错误，本选项符合题意；
D、立方根等于它本身的数是0， ，故正确，本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了算术平方根的意义、平方根的意义和立方根的意义，掌握各自的意义和求法是解题关键．
3．【2022浙江二模】已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则 =（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】C
【分析】
利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得： ，
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数
的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果
一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
4．【2022陕西模拟试题】若 ，则 的值是（ ）
A． B． 或 C．12 D．12或4
【答案】B
【分析】
先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴a=±4，b=-8．
∴当a=4，b=-8时，a+b=-4；
当a=-4，b=-8时，a+b=-12．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键．
5．【2022西工大附中】 ＝0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C． D．无选项
【答案】B
【分析】
根据立方根的性质及相反数的性质解题
【详解】
解： ＝0，
即 ，
故有2x﹣1＝﹣5x﹣8
解之得x＝﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查立方根、相反数的性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．【2022西安市第一中学】下列四种说法中：（1）负数没有立方根：（2）1的立方根与平方根都是1；
（3） 的平方根是 ；（4） ．其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平方根，立方根的定义即可作出判断．
【详解】
解：（1）任何数都有立方根，故选项错误；
（2）1的平方根是±1，1的立方根是1，故选项错误；
（3） 的平方根是 ，正确；
（4） ，故错误．
所以（1）（2）（4）错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了立方根、平方根，正确理解立方根的性质的应用是解决本题的关键．
7．【2022沈旧市第七中学】已知x为实数，且 ＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】C
【分析】
根据立方根的性质得到x﹣3＝2x+1，求出x的值代入计算即可．
【详解】
解：∵x为实数，且 ＝0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得：x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴ ＝±3，
故选：C．
【点睛】
此题考查了求一个数的平方根，以及立方根的性质：互为相反数的立方根也互为相反数．
8．【2022杜郎口中学期中】下列说法中：①立方根等于本身的是 ,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤ 是负分数；⑥两个有理数
之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．
【详解】
解：立方根等于本身的数有： ，1，0，故①正确；
平方根等于本身的数有：0，故②错误；
两个无理数的和不一定是无理数，比如 和 的和是0，是有理数，故③错误；
实数与数轴上的点一一对应，故④正确；
是无理数，不是分数，故⑤错误；
从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．
9．【2022武汉常青树实验中学】若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答
案．
【详解】
解：∵ ， ， ，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．
10．【2022北京师范大学附属杭州中学】实数 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】
根据数轴可得a>0，b<0，然后根据加法法则可得a＋b＜0，然后根据平方根的性质和绝对值的性质及立方
根化简即可．
【详解】
解：由数轴可得：a>0，b<0，
∵|a|<|b|，
∴a＋b＜0，
∴
=
=2a
故选A．
【点睛】
此题考查的是平方根的化简和绝对值的化简及开立方根，掌握利用数轴判断各字母的符号、加法法则、平
方根的性质和绝对值的性质是解题关键．
提升篇
二、填空题11．【2022无锡市江南中学期末】 的相反数是__； 的倒数是__；2的平方根是__；9的算术平方根
是__；实数8的立方根是__．
【答案】 ； 3； ± ； 3； 2．
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数，平方根的定义，算术平方根的定
义，立方根的定义解答．
【详解】
解：﹣ 的相反数是 ；
∵3× ＝1，
∴ 的倒数是3；
2的平方根是± ；
∵32＝9，
∴9的算术平方根是3；
∵23＝8，
∴实数8的立方根是2．
故答案为： ，3，± ，3，2．
【点睛】
本题考查了实数的性质，主要涉及到相反数的定义，倒数的定义，平方根、算术平方根以及立方根的定
义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．
12．【2022广州市八一实验学校期中】已知 ，则 ____________．
【答案】16
【分析】把 移项到等号右边，等式两边同时开3次方，得到 ，求出 的值，代入
计算得数即可．
【详解】
解：
移项得
即
开三次方得
解得 ．
把 代入 ，
．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了立方根的实际应用，已知字母的值求代数式的值，运用开立方根的方法求出 的值是解题关
键．
13．【2022常州市实验初级中学】若一个正数的平方根是 和 ， 的立方根是 ，则
的算术平方根是______．
【答案】4
【分析】
首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根
即可．
【详解】
解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，
∴m+3+2m-15=0，解得：m=4，
∵n的立方根是-2，
∴n=-8，
把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，
所以-n+2m的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够
利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m的算术平方根．
14．【2022青岛市初级实验中学】已知 与 互为相反数，则 的值是____．
【答案】
【分析】
首先根据 与 互为相反数，可得 + =0，进而得出 ，然后用含
的代数式表示 ，再代入求值即可．
【详解】
解：∵ 与 互为相反数，
∴ + =0，
∴
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得 与 之间的关系是解题关键．15．【2022北京市文江中学】若将一个棱长为5米的立方体的体积增加V立方米，而保持立方体形状不
变，则棱长应增加_______米．
【答案】
【分析】
计算出原体积，得到增加后的体积，从而得到增加后的棱长，可得结果．
【详解】
解：∵立方体的棱长为5，
∴体积为5×5×5=125，
∴增加后的体积为125+V，
∴棱长应增加 （米），
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
三、解答题
16．【2022成都七中学校】求出下列等式中x的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先根据等式的性质化为 ，再根据平方根的定义即可求解；
（2）先根据等式的性质得到 ，再化为 ，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
解：（1） ；，
；
（2） ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了根据平方根、立方根的定义解方程，熟知平方根，立方根的定义，理解解方程就是将方程转化
为“ ”的形式是解题的关键．
17．【2022无锡市侨谊实验中学】计算：
【答案】 ．
【分析】
利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【详解】
原式
．
【点睛】此题考查了实数的运算，涉及平方与平方根、立方根等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【海口市第十中学】回答下列问题：
（1）若一个数的平方根是 和 ，求m的值，并求出该数；
（2）已知 的一个平方根是 的立方根是3，求 的平方根．
【答案】（1）100；（2）±13
【分析】
（1）由于同一个数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m-4=-（3m-1），解方程即可求解．
（2）根据 的一个平方根是2，可以得到x的值，根据 的立方根是3，可以得到y的值，从
而可以求得 的平方根．
【详解】
解：（1）依题意得：
+ =0，
解得：m=-3，
∴这个数为 = ；
（2）∵ 的一个平方根是2，
∴2x-6=4，
∴x=5，
∵ 的立方根是3，
∴ =27，
∴y=12，
∴ = =169，
则 的平方根为±13．
【点睛】本题考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义．
19．【2022贵阳市第十八中学】已知 ，且 ，求 的值．
【答案】6
【分析】
先根据已知等式利用立方根的定义、非负数的性质得出a、b、c的值，再代入计算可得．
【详解】
解：∵ ， ，
∴a=64，b-2c+1=0且c-3=0，
则c=3，b=5，
∴a+b3+c3=64+53+33
=64+125+27
=216．
则a+b3+c3的立方根为 =6．
【点睛】
本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义、非负数的性质．
20．【2022杭州市采荷中学】本学期第四章《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立
方根的部分内容：
平方根 立方根
一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即
定义 ，那么这个数 就叫做 的平方根 ，那么这个数 就叫做 的立方根（也
（也叫做二次方根）． 叫做三次方根）．
求一个数 的平方根的运算叫做开平方．开 求一个数 的立方根的运算叫做开立方．开立
运算
平方和平方互为逆运算． 方和立方互为逆运算
一个正数有两个平方根，它们互为相反数： 正数的立方根是正数； 的立方根是 ；负数
性质
的平方根是 ；负数没有平方根． 的立方根是负数．
表示方法 正数 的平方根可以表示为“ ” 一个数 的立方根可以表示为“ ”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；
③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；
⑤ 的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
（1） ；
（2） ；
（3）比较大小： ．
【答案】【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数 的四次方等于 ，即 ，
那么这个数 就叫做 的四次方根；（2）① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥没有；一个正数有
两个四次方根，它们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义；
（2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征；
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的
定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案．
【详解】
（1）类比平方根，立方根的定义，当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以
填表如下：
结合上述表格,类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于
，那么这个数叫做 的四次方根，这就是说，如果 ，那么 叫做 的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；⑤
的四次方根是 ；⑥ 没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数； 的四
次方根是 ；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
（1） ；
（2）（3） ， ， ，
【点睛】
本题考查了方根的定义，类比平方根，立方根的定义和性质，学习四次方根，解题关键是在求四次方根
时，注意正数的四次方根有2个，它们互为相反数．
