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专题 09 函数的图像、函数的零点
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、利用描点法作函数图象
1.确定函数的定义域；
2.化简函数解析式；
3.讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);
4.列表(将简单的、有代表性的自变量及对应的函数值列成表格，如：零点、最值点);
5.描点(在平面直角坐标系内描出各点);
6.连线(用平滑的曲线依次连接各点).
二、图象变换
1.平移变换
①y=f(x)→y=f(x+a)(a>0),是把y=f(x)的图象沿x轴向左平程a个单位长度得到的.
②y=f(x)→y=f(x+a)(a<0),是把y=f(x)的图象沿x轴向右平移 个单位长度得到的。
③y=f(x)→y=f(x)+k(k>0),是把y=f(x)的图象沿y轴向上平称k个单位长度得到的。
④y=f(x)→y=f(x)+k(k<0),是把y=f(x)的图象沿y轴向下平移 个单位长度得到的。
2.伸缩变换①y=f(x)→y=f(ax)(a>1),是把y=f(x)的图象横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变得到的。
②y=f(x)→y=f(ax)(01),是把y=f(x)的图象纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变得到的.
④y=f(x)→y=af(x)(00.
3.若函数f(x)在[a,b]上单调，且函数图象是一条连续不断的曲线，则f(a)·f(b)<0→函数f(x)在[a,b]上只有一个零点。
温馨提示：函数零点存在定理必须同时满足：①函数f(x)在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线；
②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立。
五、二分法
1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一
分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x 的近似值的一般步骤如下：
0
①确定零点x 的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．
0
②求区间(a，b)的中点c．
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(ⅰ)若f(c)＝0(此时x＝c)，则c就是函数的零点；
0
(ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x∈(a，c))，则令b＝c；
0
(ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x∈(c，b))，则令a＝c．
0
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④．
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的
根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象
交点的横坐标．
3. 零点的判断：数形结合法，通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
一、作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解 (1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长
度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x
轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．
(3)y＝x2－|x|－2＝函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图
象，其图象如图③所示．
方法归纳： 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但
要注意变换顺序．
二、函数图象的识别例2 (1)(2022·百师联盟联考)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 D
解析 由题意知，f(x)的定义域为R，
f(－x)＝
＝＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，排除C；
f(1)＝>0，排除A；
f(2)＝<0，排除B.
(2)(2022·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
答案 B
解析 函数f(x)＝
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝
所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C错误；
当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，
故选项D错误，选项B正确．
方法归纳： 识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)
利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
三、函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且
在(－1,1)上单调递减．命题点2 函数图象在不等式中的应用
例4 若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝log x的图象的下方，则实数a的取值范围是
a
________．
答案 (1,2]
解析 如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝log x的图象．
a
由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝log x的图象的下方，
a
则解得10，f(－1)＝－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
方法归纳： 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若
有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
五、函数零点个数的判定
例7 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数
g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．11
答案 C
解析 因为f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)＝的图象，
容易得出交点为12个．
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______．
答案 6
解析 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6,6]．
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－6,6]，
∴x为－，－，，.
故f(x)共有6个零点．
方法归纳： 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
[拓展] 已知函数 ，则关于 方程 的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 C
分析将原问题转化为直线 与函数 的图象交点的个数，作出 的图象，分 、
、 三种情况，结合图象求解即可．
解析 作出函数 的图象，如图所示：将原问题转化为直线 （过定点 ）与函数 的图象交点的个数，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点；
当 时，直线 与函数 的图象没有交点；
当 时，直线 与函数 的图象有三个交点；
所以直线 与函数 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例8 已知函数 ， ，若函数 恰有6个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 A
分析 先利用导数研究当 时，函数 的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数
的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于 的不等式，解不等式即可得到实数
的取值范围．
解析 当 时， ， ，
令 ，得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，当 趋近于 时， 趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数 的图象如图所示．令 ，则 ，数形结合可知要使 有6个零点，
则 有两个不相等的实数根 、 ，不妨令 ，有如下两种情况：
若 ，但 ，故排除此种情况，
若 ，对于二次函数 开口向上，又 ，则 ，得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A
命题点2 根据函数零点范围求参数
例9 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x∈(－∞，－1)，使得f(x)＝0，则实数a的取值范
0 0
围是( )
A. B.
C．(－∞，0) D.
答案 B
解析 由f(x)＝3x－＝0，
可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，
由于存在x∈(－∞，－1)，使得f(x)＝0，
0 0
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－<3－1＋1＝，
又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
拓展
1．函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，若 ，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
分析 由函数零点的性质可得到 ，再结合简单复合函数的单调性求出结果即
可.
解析 因为 ，易得 在 上单调递增，又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点，即 ，
又由已知可得 ， ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
结合选项可知无需考虑 ，
则 和 这两个函数均为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：D.
2．若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 函数 恰好有两个零点，等价于方程 有两个根.
设 ，则 ，由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有极大值 .
又当 时， ； ；当 时， .
可画出函数 的草图如下：所以 有两解，可得 .
故答案为：
3．已知 ，若方程 有四个根 ，且 ，则
的取值范围为 ．
答案
分析 作出函数 和函数 的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出 与 ，
与 的关系，从而得出结果.
解析 因为方程 有四个根 ，
故函数 的图象与函数 的图象有四个交点，
它们的横坐标分别为 ，如图所示，
当 时， ，且 ，故 ，
当 时， ，且 ，所以 ，解得 ，因为函数 的图象与函数 的图象有四个交点，
由图可得， ，故 ，
所以 ，
令 ， ， 在 单调递增，
所以 ， ，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
方法归纳： 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
