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专题 13 导数的概念及运算
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
1.导数的概念
(1)称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)
0
在x＝x 处的导数，记作f′(x)，即f′(x)＝ .
0 0 0
(2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，y′)，即f′
x
(x)＝y′＝y′＝ ，导函数也简称为导数.
x
2.导数的几何意义
f′(x)是曲线y＝f(x)在点(x ，f(x))处的切线的斜率，从而在点(x ，f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)·(x－
0 0 0 0 0 0 0
x).
0
温馨提示：区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
3.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)
＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
＝nxn－1
f(x)＝sin x ＝cos x
f(x)＝cos x －sinx
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
＝axln a
f(x)＝ex
＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1)
a ＝
f(x)＝ln x(x>0)
＝
4.导数的运算法则
如果f(x)，g(x)都可导，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[Cf(x)]′＝Cf′(x).
5.复合函数的导数
如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系
为h′(x)＝[f(g(x))]′＝ f ′( u )· g ′( x ) ＝f′(g(x))·g′(x)，即y′＝y ′· u ′.
x u x
1. 导数的几何意义、导数的运算是每年高考的必考内容，常见与选择题、填空题及解答题第一小题；
2. 求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
3．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元一、导数的运算
例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( )
A.′＝－
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.′＝－sin
D.′＝1＋
答案 AD
解析 ′＝－·(ln x)′＝－，
故A正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
′＝－2sin，故C错误；
′＝1＋，故D正确．
方法归纳：(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
[拓展]若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，
∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，
原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，
当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，
得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.
二、导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)曲线 在 处的切线方程为 .
答案
分析 求导数可得切线斜率，点斜式可求方程.
解析 由 得， ，所以 ，又 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .故答案为：
(2)已知 ，则 在 处的切线方程是 ．
答案
分析 求出切点处的导数值，再利用点斜式写出切线方程即可.
解析 由题意得， ，
所以 ，
故切线为 ，即 .
故答案为： .
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
答案
分析 利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得 ，则 ，构造
并研究单调性，进而求值域即可.
解析 函数 的导数为 ，
设切点为 ，所以 ，则 ，即
又因为 在 上，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
当 趋近正无穷时， 趋近正无穷.
所以 的取值范围为： .
故答案为： .
(2)已知函数 ，过点 可作 条与曲线 相切的直线，则实数 的取值范围是
.
答案
分析 设切点为 ，由导数的几何意义求出切线方程，结合点 在切线上，可得
，令 ，利用导数判断函数单调性，作出其图象，将原问题转化为直线 与
的图象有三个不同的交点，数形结合，即可求得答案.
解析 依题意可设切点为 ，
由 ，可得 ，
则切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
因为点 在切线上，故 ，即 ，令 ，则 ，
当 或 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
则 的极小值为 ，极大值为 ；
且当 或 时， ，当 时， ，
当x趋向于负无穷时， 无限接近于0，当x趋向于正无穷时， 趋向于负无穷，
由此可作出 图象如图：
由题意可知过点 可作 条与曲线 相切的直线，
即需直线 与 的图象有三个不同的交点，
结合图象可知需 ，即实数 的取值范围是
故答案为：
方法归纳：(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
三、两曲线的公切线
例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若
直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
答案 D解析 由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，
则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个
相等的实数根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
(2)(2022·韶关模拟)若曲线C ：y＝ax2(a>0)与曲线C ：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．
1 2
答案
解析 由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲线C ：y＝ax2(a>0)与曲线C ：y＝ex存在公共切线，
1 2
设公切线与曲线C 切于点(x，ax)，
1 1
与曲线C 切于点(x， )，
2 2
则2ax＝
1
可得2x＝x＋2，
2 1
∴a＝ ，
记f(x)＝ ，
则f′(x)＝ ，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝2时，f(x) ＝.
min
∴a的取值范围是.
方法归纳：公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关
切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
[拓展](2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函
数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
答案 C
解析 根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，
解得a＝1或a＝－(舍去)，
又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，
可得m＝1.
