专题13导数运算法则在抽象函数中的应用（学生版）-2025年高考数学压轴大题必杀技系列·导数_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_二轮复习

专题 13 导数运算法则在抽象函数中的应用 导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是 根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质 求解. (一) 抽象函数的奇偶性及应用 若 f -x= f x两边求导得-f¢-x= f¢x，即 f¢-x=-f¢x，即若可导函数 f x是偶函数，则 f¢x 是奇函数，同理可得：若可导函数 f x是奇函数，则 f¢x是偶函数. 【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R的函数y= f x，其图象是连续的曲线，且存在 定义域也为R的导函数y= f¢x . (1)求函数 f x=ex+e-x在点 0, f 0 的切线方程； (2)已知 f x=acosx+bsinx，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得 f -x=-kf¢x恒成立？ (3)若函数y= f(x)是奇函数，且满足 f x+ f 2-x=3.试判断 f¢x+2= f¢2-x对任意的实数x是否恒 成立，请说明理由. 【解析】（1）由题可知， f¢(x)=ex-e-x， 所以切线的斜率为 f¢(0)=0，且 f(0)=2， 所以函数在点 0, f 0 的切线方程为y-2=0x-0，即y=2； （2）由题可知 f¢x=-asinx+bcosx， 又因为定义域上对任意的实数x满足 f -x=-kf¢x，ì-b=ak 所以acosx-bsinx=aksinx-bkcosx，即í ， îa=-bk 当kÎR且k ¹0时，a=b=0， 当k=1时，a+b=0，当k =-1时，a-b=0； （3）因为函数y= f x在定义域R上是奇函数，所以 f(-x)=-f(x)， 所以 f¢(-x)×(-x)¢=-f¢(x)，所以 f¢(-x)= f¢(x)，所以y= f¢x是偶函数， 因为 f x+ f 2-x=3，所以 f¢x+ f¢2-x×2-x¢ =3¢， 即 f¢x- f¢2-x=0，即 f¢x= f¢2-x， 因为 f¢(-x)= f¢(x)，所以 f¢-x= f¢2-x，即 f¢x= f¢2+x， 所以y= f¢x是周期为2的函数， 所以 f¢x= f¢x+2= f¢x-2，所以 f¢2-x= f¢-x= f¢x= f¢x+2. (二)和差型抽象函数的应用 解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构 造的函数的单调性求解．如给出式子 f¢x-k ,可构造函数y= f x-kx+b，给出式子 f¢x-kx,可构造 1 函数y= f x- x2 +b ，一般地，若给出 f¢x±g¢x通常构造函数y= f x±gx+c. 2 【例2】已知y = f(x)(xÎR)的导函数 f¢(x)满足 f¢(x)3且 f(1)=3，求不等式 f(x)3x的解集． 【解析】令F(x)= f(x)-3x，则F¢x= f¢x-30，∴F(x)在R上为单调递增． 又∵ f(1)=3，∴F(1)= f(1)-3=0，则 f(x)3x可转化为F(x)0= F(1)， 根据F(x)单调性可知不等式 f(x)3x的解集为(1,+)． (三)积型抽象函数的应用 若给出形如 f¢xgx+ f xg¢x的式子通常构造函数y= f xgx+c ，如给出xf¢x+nf x可构造函 数y=xnf x，如给出 f¢x+nf x，可构造函数y= f xenx，如给出 f x+ f¢xtanx，可构造函数 y= f xsinx. 【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数 f x在a,b上满足gx= f x f¢x³0 且不恒为0，则称函数 f x为区间a,b上的绝对增函数，gx称为函数 f x的特征函数，称任意的实数cÎa,b为绝对增点（ f¢x为函数 f x的导函数）． (1)若1为函数 f x=a-xex的绝对增点，求a的取值范围； (2)绝对增函数 f x的特征函数gx的唯一零点为x ． 0 （ⅰ）证明：x 是 f¢x的极值点； 0 （ⅱ）证明：gx不是绝对增函数． 【解析】（1）因为函数 f x=a-xex，所以 f¢x=a-1-xex， 则 f x f¢x=x-ax-a+1e2x． 由 f x f¢x³0得x-ax-a+1³0，解得x£a-1或x³a， 所以 f x为区间-,a-1及区间a,+上的绝对增函数． 又1为函数 f x的绝对增点，所以10，即$Δx 0，使 f¢x在x -Δx,x 上单调 0 1 0 U 0 0 1 1 0 1 0 递减，在x ,x +Δx 上单调递增． 0 0 1 所以x 为 f¢x的极值点．同理，当 f x <0时也成立． 0 0（ⅱ）若gx为绝对增函数，则gx×g¢x³0在a,b上恒成立， 又gx³0恒成立，所以g¢x³0恒成立． 令jx=ex×gx，所以jx³0，且j¢x=ex×g¢x+gx³0， 所以jx在a,b上单调递增．又jx =0，所以当xÎa,x 时，jx<0，则gx<0，与gx³0矛盾， 0 0 所以假设不成立，所以gx不是绝对增函数． π 【例4】定义在(0, )上的函数 f(x)，其导函数是 f¢(x)，且恒有 f(x)< f¢(x)×tanx成立，比较 2 æπö æπö 3f ç ÷与 f ç ÷的大小. è6ø è3ø π 【解析】因为xÎ(0, )，所以sinx0，cosx0． 2 由 f(x)< f¢(x)tanx，得 f(x)cosx< f¢(x)sinx． 即 f¢(x)sinx- f(x)cosx0． f(x) π f¢(x)sinx- f(x)cosx 令g(x)= ，xÎ(0, )，则g¢(x)= 0． sinx 2 sin2x f(x) π 所以函数g(x)= 在xÎ(0, )上为增函数， sinx 2 π π π π f( ) f( ) f( ) f( ) π π 6 3 6 3 π π 则g( )< g( )，即 < ，所以 < ，即 3f( )< f( )． 6 3 π π 1 3 6 3 sin sin 6 3 2 2 (四)商型抽象函数的应用 f x 若给出形如 f¢xgx- f xg¢x的式子通常构造函数y= +c ，如给出xf¢x-nf x可构造函数 gx f x f x f x y= ，给出 f¢x-nf x，可构造函数y= ，给出 f x- f¢xtanx，可构造函数y= . xn enx sinx 【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在 高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在a,b上是一条连续不断的曲线； ②在a,b内可导; f b- f a f¢x ③对"xÎa,b，g¢x¹0，则$xÎa,b，使得 = . gb-ga g¢xf b- f a 特别的，取gx=x，则有：$xÎa,b，使得 = f¢x，此情形称之为拉格朗日中值定理. b-a f x (1)设函数 f x满足 f 0=0，其导函数 f¢x在0,+上单调递增，证明：函数y= 在0,+上为 x 增函数. lna lnb æb aö (2)若"a,bÎ0,e且ab，不等式 - +mç - ÷£0恒成立，求实数m的取值范围. b a èa bø f x f x- f 0 【解析】（1）由题 = ， x x-0 由柯西中值定理知：对"x0，$xÎ0,x， f x- f 0 f¢x f x 使得 = = f¢x， = f¢x， x-0 1 x 又 f¢x在0,+上单调递增，则 f¢x f¢x， f x 则 f¢x ，即xf¢x- f x0， x é f xù ¢ xf¢x- f x 所以 ê ú = 0， x x2 ë û f x 故y= 在0,+上为增函数； x lna lnb æb aö alna-blnb （2） - +mç - ÷£0Û £m， b a èa bø a2-b2 取 f x=xlnx，gx=x2， 因为ab，所以由柯西中值定理，$xÎb,a， f a- f b alna-blnb f¢x 1+lnx 使得 = = = ， ga-gb a2-b2 g¢x 2x 1+lnx 由题则有： £m， 2x 1+lnx -lnx 设Gx= 0