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大题仿真卷 07（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列 为等差数列， ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
2．（2025·吉林·二模）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在三棱锥 中，侧面 为等腰三角形， ， 为
的中点， 为 的中点， ， ，点 在 上．
(1)若 ，证明，平面 平面 ．
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线 的左，右顶点分别为
的右焦点 到渐近线的距离为 ，过点 的直线 与 的右支交于 两点（点 在第一
象限），直线 与 交于点 .
(1)求双曲线 的方程；(2)证明：点 在定直线上；
(3)记 的面积分别为 ，若 ，求直线 的方程.
5．（2025·福建漳州·模拟预测）某校开展“强国知识”挑战赛，比赛分为两轮，规则如下：
①第一轮为“时事政治”试题，共3道试题，至少正确回答2道，才能进入第二轮，否则挑战失败；第二
轮为“科普知识”试题，共3道试题，也要至少正确回答2道才能算挑战成功，否则挑战失败（进入比赛
轮次后，该轮次中所有题目均需要作答）；两轮都挑战成功，可以获得“强国小能手”称号；
②每个参赛组由两人组成，作答方案有两个：第一种方案是在第一轮和第二轮中，两人依次轮流答题（例
如：甲先回答第一轮第一题，则乙回答第一轮第二题；甲再回答第一轮第三题；若进入第二轮，则由乙回
答第二轮第一题甲回答第二轮第二题，乙再回答第二轮第三题）；第二种方案是由参赛两人分别回答第一
轮所有试题和第二轮所有试题（如甲回答第一轮所有试题，则乙回答第二轮的所有试题）
已知某小组由甲、乙两名同学组成，甲同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为 ；乙
同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为 ．
(1)若该小组采用第一种方案答题，且甲先回答第一轮中的第一题．
（i）求该小组在第一轮中就挑战失败的概率．
（ⅱ）已知该小组获得“强国小能手”称号，求甲正确回答了3道试题的概率．
(2)无论采用哪一种作答方案，第一轮第一题均由甲作答，以该小组获得“强国小能手”称号的概率大小为
决策依据，应该选择哪一种作答方案？并说明理由．
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的极值
(2)若 恒成立，求实数a的值范围．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆 ，离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线 与椭圆交于 、 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积最大值.
3．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列 满足：对于 ， ，其中A为常数，则称数列 为“A数列”．
(1)若等比数列 为“A数列”，求 的公比q；
(2)若数列 为“A数列”，且 ， ．
求证： ；
①
若 ，且 是正项数列， ，求满足不等式 的
②
的最小值．
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（2024·江西·二模）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数
据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输
敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，
q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与
n互素的正整数的个数，记为 .
(1)试求 ， 的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示 （ ），并探究 与 和 的关系；
(3)设数列 的通项公式为 （ ），求该数列的前m项的和 .
2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，判断 的奇偶性；
(2)当 为偶数时，方程 有解，求 的最小值；
(3)若存在 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
