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专题 13 平面向量的数量积与向量中的最值问题
一、单选题
1．（2024届四川省南充市高三适应性考试）已知平面向量 满足 ，则 与 夹
角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023届福建省名校联盟高三4月高考模拟）设向量 与单位向量 满足，对任意 都有
，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）已知在直角三角形 中， ，以斜边
的中点 为圆心， 为直径，在点 的另一侧作半圆弧 ， 为半圆弧上的动点，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023届安徽师范大学附属中学高三上学期1月月考）设 均为单位向量，且
，则（ ）
A． B． 的最大值为2
C． 的最小值为1 D．
5．（2023届山东省昌乐二中高三下学期二轮模拟）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ，
，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
6．（2023届重庆市第一中学校高三下学期2月月考）已知长方形ABCD的边长 ，P，Q分别
是线段BC，CD上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024届上海市实验学校高三上学期阶段反馈）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，
它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，
已知圆 的半径2，点 是圆 内的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
8．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在 中， ，D是以BC为直径的
圆上一点，则 的最大值为（ ）A．12 B． C． D．
10．已知菱形ABCD的边长为2， ，点E在边BC上， ，若G为线段DC上的动点，
则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
11．（2023届新疆部分学校高三二模）已知平面向量 ， ， ，满足 ， ，若对于任意
实数x，都有 成立，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．（2023届上海市闵行中学高三下学期学情调研）已知平面向量 、 、 满足 ，且
对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．(2024届河北省邯郸市高三上学期第一次调研)设 ， 是两个非零向量，且 ，则下列结
论中正确的是（ ）
A． B．
C． ， 的夹角为钝角 D．若实数 使得 成立，则 为负数
14．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线
（ 且 ）交 与 、 两点，直线 、 分别与 的准线交于 、 两点，（为坐标原点），下列选项错误的有（ ）
A． 且 ，
B． 且 ，
C． 且 ，
D． 且 ，
15.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知 ， ，
，A，B两点不重合，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 的最大值为2
C．若 ， 最大值为
D．若 ， 最大值为4
16．（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研）已知平面向量 ， ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 在 上的投影为
B．若 ，则 ，
C．若 ， ，则
D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
17．（2024届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）已知O为坐标原点，点
，其中 为锐角，则（ ）A． 为定值 B． 的最大值为3
C． 的最小值为 D． 的最小值为
三、填空题
18．（2024届江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测）已知同一平面内的单位向量 ，满足
，则 ．
19．（2024届湖南省邵阳市邵东市第三中学高三上学期月考）如图，在 中，点D在线段 上，且
，E是 的中点，延长 交 于点H，点 为直线 上一动点（不含点A），且
（ ）．若 ，且 ，则 的面积的最大值为 ．
20．（2023届上海市七宝中学高三5月模拟）已知 为单位向量，向量 满足 ，则
的取值范围是 .
21．已知平面向量 ， ， ，满足 ， ， 且 ，若对每一个确定的向量 ，
记 的最小值为 ，则当 变化时，实数 的最大值为 .
22．（2023届上海市格致中学高三三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最大值为 ．
