文档内容
第四章 《因式分解》导学案
4.1因式分解
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学习目标与重难点
学习目标：
1、使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式
分解的方法．
3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生
的分析问题能力与综合应用能力．
学习重点：
因式分解的意义，会判断什么是因式分解
学习难点：
理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
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预习自测
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式：a·b= .
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__________
(3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=______________________
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=____________
(2)完全平方公式: (a±b)2=________________
3.当 a =101, b = 99 时，
= ； -ab= ；
。
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教学过程
一、导入新课
1、99 –99能被100整除吗？
99 –99=99（99 -1）
=99（99+1）（99-1）
=99×100×98
∴993–99能被100整除.
99 –99还能被什么数整除？（还能被 整除）
2、计算下列各式：
积的形式 和的形式【整式乘法】
3、计算下面各题
和的形式 积的形式【 ？ 】
二、合作交流、新知探究
观察拼图过程，写出相应代数式，等号两边的代数式有什么不同
得到：（1）ma+mb+mc=m(a+b+c) （2）
分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（因式分解）
都是因式分解【强调】整式乘法”与“因式分解”是互逆的关系
典例精析;
例题1：观察下列各等式：
从左边到右边的变形，
属于整式乘法的是 ②，③，⑤ ；
属于因式分解的是 ①，④，⑥，⑦ 。
易错题：⑧左边不是多项式，⑨右边不是整式的积（分解不彻底）
【强调】分解因式要注意什么:
(1) 分解的对象必须是多项式.
(2) 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
例题2. 199 -199能被200整除吗?还能被哪些整数整除
199 -199=199（199 -1）=199（199+1）（199-1）=199×200×198
∴199 -199能被200整除，还能被199、198整除。
例题3.用简便方法计算：
20103 −2×20102 −2008
(1)
20103 +20102 −2011
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：1. 把一个 化成几个整式的 的形式，这种变形叫做 .
2．因式分解与整式乘法的过程 .
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
①(x＋5)(x－5)＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3)(x－3)
③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1
⑤x＋1＝x(1＋ ) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
4.计算：765 ×17－235 ×17
5. 2004 +2004能被2005整除吗？
6.下列等式中从左到右的变形为分解因式的是( )
A. (x＋5)(x－1)＝x ＋4x－5 B. x －x －1＝(x＋x)(x－1) － 1
C. x －10xy＋25y ＝(x－5y) D. ax －bx －x＝x (a－b) －x
7.把多项式x²+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a= ，b= .
能力提升：
8.小明在解答“分解因式：(1)3x －9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x －9x＋3＝3(x －6x＋1)；
(2)4x －9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用分解因式与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
拓展迁移
9.有正方形甲图片1张、正方形乙图片3张和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．
四、总结反思、拓展升华
4.1因式分解
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也
称为分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的联系：互逆的两种恒等变形
3. 分解因式要注意以下几点:
(1)分解的对象必须是多项式.
(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
五、【作业布置】
基础达标：
1．在公式(a＋b)(a－b)＝a －b 中，从左到右是 ，从右到左的变形中
.
2．对于下列两个自左向右的变形：甲： ，乙：
其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a b ＝3ab·2ab B．2x ＋8x－1＝2x(x＋4)－1
C．a －3a－4＝(a＋1)(a－4) D．a －1＝a(a－ )
4．下列从左到右边的变形，是因式分解的是( )A．(3－x)(3＋x)＝9－x B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x ＋8x－2＝－2(2x－1)
5．11 －11不能被下列哪个数整除？( )
A．13 B．12 C．11 D．10
6．计算：
7.观察下列拼图过程，写出相应的关系式
能力提升：
8、方法探究：
已知二次多项式 ，我们把x=-3 代入多项式，发现 =0 ，由此可以推断多
项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成
，则有 ，因为对应项的系数是
对应相等的，即k+3=-4，解得k=-7，因此多项式分解因得：得： ．
我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式 ，我们把x＝ 代入该式，会发现 成立；
(2)对于三次多项式 ，我们把x＝1代入多项式，发现
，由此可以推断多项式中有因式 ，设另一个因式为 ，多项式可以表示成
，试求出题目中a，b的值；(3)对于多项式 ，用“试根法”分解因式．
拓展迁移：
9.已知关于x的二次三项式 5x +mx-n 分解因式的结果是(5x-1)(x+2),试求m，n的值
10.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。
课堂作业参考答案
1、多项式，乘积，因式分解
2、互逆
3、②，③，⑥
4、解: 765 ×17－235 ×17=17(765 －235 )
=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530
=9010000
5、解: ∵2004 +2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 2004 +2004能被2005整除
6、C
7、-2; -3
8、解：(1)∵3(x －6x＋1)＝3x －18x＋3，
∴分解不正确；
(3) ∵(2x＋3)(2x－3)＝4x －9，
∴分解正确．
9、解：由图形面积得：a ＋3b ＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)．
课外作业参考答案
1、整式乘法；因式分解
2、B
3、C
4、D
5、A
6、
7、8、（1）2
（2)x-1
∴ a-1=-1, a=0
b-a=-3, b=-3
（3）解 当x=2时， =0
设 =
∴a-2=4, a=6
2b=18, b=9
∴ =
9、解：∵(5x−1)(x+2)=5x2 +9x−2
∴5x2 +mx−n=5x2 +9x−2
10、
解得：m=9 ， n=2
