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大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·天津·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积；
(3)若 ，求 .
2．（2024·湖北·一模）已知 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 内存在极小值点，求 的取值范围.
3．（2024·山东·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 且 ，底面 是边长为
的菱形，
(1)平面 平面
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为棱 上的动点（不包括端点），求二面角
的正弦值的最小值
4．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线和双曲线都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，对称轴
是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
(1)求抛物线和双曲线标准方程；
(2)已知动直线 过点 ，交抛物线于 两点，记以线段 为直径的圆为圆 ，求证：存在垂直于
轴的直线 被圆 截得的弦长为定值，并求出直线 的方程．5．（2024·山东威海·一模）定义二元函数 ，同时满足：① ；②
；③ 三个条件.
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)若 .比较 与0的大小关系，并说明理由.
附：参考公式
.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
1．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ，
，点 为线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
2．（2024·天津滨海新·三模）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列. 且
，
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，求证： ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 .3．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩 和物理成绩
如下表：
学生编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
数学成 13
116 124 126 121 110 106 99 118 117
绩 1
数学名
7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
次
物理成
80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
绩
物理名
3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
次
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀
（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学
成绩 和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本相关系数约
为 ，分析相关系数的向量意义，求 的样本相关系数的最大值.
(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两两不
相同， 两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在 中排名是 位
在 中的排名是 位 .定义变量 和变量 的斯皮尔曼相关系
数（记为 ）为变量 的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 ，其中 ，证明：
，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到
0.01）
（参考公式：相关系数 ）（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线 ，过点 作斜率为 的直线 ，分别
交抛物线于 与 ，当 时， 为 的中点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，证明： ；
(3)若直线 过点 ，证明：直线 过定点，并求出该定点坐标.
2．（23-24高三下·上海松江·期末）已知 为坐标原点，对于函数 ，称向㝵
为函数 的互生向量，同时称函数 为向量 的互生函数．
(1)设函数 ，试求 的互生向量 ；
(2)记向量 的互生函数为 ，求函数 在 上的严格增区间；
(3)记 的互生函数为 ，若函数 在 上有四个零点，求实数
的取值范围．
