文档内容
大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·天津·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积；
(3)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可.
（2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可.
（3）通过正弦定理判断角 为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得： ，
，
显然 则 ，
又 ，故 ；
（2） ，
由余弦定理可得 ，整理可得 ，
又 ，解得 ，
（3）由正弦定理得： ，则 ，，即 ，则 ，故 为锐角，
，
，
，
2．（2024·湖北·一模）已知 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 内存在极小值点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时， ，求导可得 ，又 ，可求切线方程；
（2）求导得 ，分 ， ， 三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点
在 内可求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，可得
所以 ，又 ，
所以切线方程： ，即 .
（2）由已知得
1.若 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 在 取得最小值，符合题意.
2.若 ，
i）若 即 ，当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 取得最小值，
ii）当 ， ，所以 无极值，不符合题意，
iii）当 即 ，
当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 取得极小值符合.
3.若 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
在 取得极小值，符合题意；
综上所述： 的取值范围为 .
3．（2024·山东·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 且 ，底面 是边长为
的菱形，
(1)平面 平面
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为棱 上的动点（不包括端点），求二面角
的正弦值的最小值
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据线线垂直可得 平面 ，即可根据面面垂直的判定求证，
（2）根据面面垂直的性质可得 为直线 与平面 所成角的平面角且 为 的重心，即
可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据法向量的夹角以及换元法得
，结合二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）连接 交 于点 ,连接 ,
由于 ， 是 的中点，故 ,
又 , 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，
故平面 平面
（2）过 作 于点 ，
由于平面 平面 ，且两平面的交线为 ,
平面 ，故 平面 ，
因此 为直线 与平面 所成角的平面角，故 ,
平面 ， 平面 ，故 ，
又 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ，
结合 可知 为 的垂心，
由于底面 是边长为 的菱形， ，故 为等边三角形，
因此 为 的重心，
,
以 建立 轴，过 平面 的垂线作为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于 ，则 ,故 ，则
设 ,故 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
设二面角 的平面角为 ，
则
，
令 则 , ，
由于 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最大值为 ，因此 的最小值为 ，【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但
要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线和双曲线都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，对称轴
是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
(1)求抛物线和双曲线标准方程；
(2)已知动直线 过点 ，交抛物线于 两点，记以线段 为直径的圆为圆 ，求证：存在垂直于
轴的直线 被圆 截得的弦长为定值，并求出直线 的方程．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析， ．
【分析】（1）由焦点在 轴上，可设出抛物线和双曲线的标准方程，将 代入科的抛物线方程，求
出焦点坐标，进而可得到双曲线的方程；
（2）与圆知识相结合，注意特殊三角形的应用.
【详解】（1）由已知，可设抛物线的方程为 ，
双曲线的标准方程为
把点 代入抛物线方程，求得 ，
抛物线的方程为 ，焦点坐标为 ．
则对于双曲线，右焦点坐标为 ，则另一个焦点坐标为 ，故 ，
又 在双曲线上，根据双曲线的定义知，
，
， ， ．
故双曲线的标准方程为 ．
（2）由题意可得， 的中点为 ， 的方程为 ，以线段 为直径的圆 交l于 、 两个点，的中点为 ，则 .
设 ，则 ， ， ， ，
则 ， ，
因为， 为直角三角形，且 ，
所以， ，
显然，当 时， 为定值.
所以，弦长为 为定值．
故存在垂直于 轴的直线 （即直线 ），被圆截得的弦长为定值，
直线 的方程为 ．
【点睛】本题中在求圆的弦长时，利用圆中的特殊直角三角形，通过勾股定理得到半弦长，进而得到弦长.
5．（2024·山东威海·一模）定义二元函数 ，同时满足：① ；②
；③ 三个条件.
(1)求 的值；
(2)求 的解析式；
(3)若 .比较 与0的大小关系，并说明理由.
附：参考公式
.
【答案】(1)7；17
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）结合已知条件迭代求函数值；
（2）根据函数列出等式，然后根据等式累加解得
；
（3） ，然后求解 ，根据三角函数的有界性进行伸缩变换，最后判断 与0的
大小关系；
【详解】（1）因为 ，由①得 ，由②得 ，
由①得 ，
由②得 .
（2）由①得： ，
将上述等式相加，可得 ，
所以 ， 也满足此式，故 .
由②得， ，
将上述等式相加，可得 ，
所以 .
而 也满足此式，故 .
（3）由（2）知 ，
，
所以
当且仅当 时， ， 上式取得等号，
即当 时，均有 ，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， .
【点睛】根据已知条件迭代，结合数列的累加法找到解题的突破点，本题章节跨度大，题目较难，是高考新题型的典型例题.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
1．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ，
，点 为线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，利用线面平行的判定定理证明；
（2）由已知可知， 为等边三角形，故 ，利用面面垂直的性质定理可证得 底面
，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为侧面 是平行四边形，
所以 为 的中点，又因为点 为线段 的中点，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 面 .（2）连接 ， ，因为 ， ，
所以 为等边三角形， ，
因为点 为线段 的中点，
所以 ，
因为侧面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 底面 ，
过点 在底面 内作 ，如图以 为坐标原点，分布以 ， ， 的方向为 轴正方向
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ，
又因为平面 的法向量为 ，
则 ，
经观察，二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
2．（2024·天津滨海新·三模）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列. 且
，(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，求证： ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3) .
【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出 ，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列前n项和公式求出 ，求出 ，得证；
（3）利用错位相减法和裂项相消法，分奇偶项两组求和即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，化简，得 ，
整理，得 ， 解得 (舍去)，或 ，则 ，
， .
（2）由 (1) 可知， ，
则 ，
，
.
（3）由 (1) 可得，
，，
令 ，
两式相减，可得
，
，
令
,
.
3．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩 和物理成绩
如下表：
学生编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
数学成 13
116 124 126 121 110 106 99 118 117
绩 1
数学名
7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
次
物理成
80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
绩
物理名
3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
次
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀
（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学
成绩 和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本相关系数约
为 ，分析相关系数的向量意义，求 的样本相关系数的最大值.(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两两不
相同， 两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在 中排名是 位
在 中的排名是 位 .定义变量 和变量 的斯皮尔曼相关系
数（记为 ）为变量 的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 ，其中 ，证明：
，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到
0.01）
（参考公式：相关系数 ）
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）利用条件概率公式可求概率；
（2）设 ， ，分别令 的样本
相关系数 ， 的样本相关系数 ， 与 的样本相关系数为 ，结合已知计算可求
得结论；
（3）由已知得 ， 计算可得
，再结合图表可求 .
【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学，
由条件根概率公式可得 ；
（2）分析r的向量意义，设 ，则
，
分别令 的样本相关系数 ， 的样本相关系数 ， 与 的样本相关系数为 ，
则 ，， ，
，
夹角余弦值最大值为 ；
（3） 都是 的一个排列，
同理
.
结合图表
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来
创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）1．（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线 ，过点 作斜率为 的直线 ，分别
交抛物线于 与 ，当 时， 为 的中点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，证明： ；
(3)若直线 过点 ，证明：直线 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）先求直线再联立抛物线得出韦达定理应用中点坐标得出 ,进而得出抛物线；
（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用 ，即可得到
结论.
（3）先设直线 过点P得出 ,同理结合理
过点Q得出 ,最后得出BM的直线得出定点.
【详解】（1）当 时， ，
联立 消去 ，
可得 ，
设 ，
拋物线C方程为： .
（2）由题知 ，设 ，
，代入抛物线可得 ，
，又 ，
同理 .
（3）因为 ，
所以 ，代入点 得 ①，
设 ，同理 ，
过点 ②
，
结合①②可得
又因为
所以 ，整理得
所以直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：解题定点的关键是先点斜式设出AB直线方程结合抛物线方程得出直线
,同理得出BM的直线方程进而得出定点.
2．（23-24高三下·上海松江·期末）已知 为坐标原点，对于函数 ，称向㝵
为函数 的互生向量，同时称函数 为向量 的互生函数．
(1)设函数 ，试求 的互生向量 ；
(2)记向量 的互生函数为 ，求函数 在 上的严格增区间；
(3)记 的互生函数为 ，若函数 在 上有四个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）利用诱导公式化简 ，接着结合互生向量定义即可得解.
（2）求出并化简 得到 的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解.
（3）分离参数得 ，将函数 在 上有四个零点 转化成
则函数 与 在 上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函
数图象，则由图象即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 的互生向量 .
（2）由题意可得 ，所以 ，
令 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上的严格增区间为 .
（3）由题 ，则 ，
若函数 在 上有四个零点，则 在 上有四个实数根，
则函数 与 在 上的图象有四个交点，
因为 ，
所以 ，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，由三角函数图象及性质可知k的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数 在 上有
四个零点求参数k，先分离参数得 ，从而将零点问题转化成函数
与 在 上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图
象，由图象即可得解.
