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微专题 3 抽象函数与嵌套函数
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用，难度中档偏上；
2.以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等，
难度中档或偏上.
【真题体验】
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，
则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
2.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)
＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(
)
A.f(0)＝0 B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数 D.x＝0为f(x)的极小值点
4.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)
－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则∑f(k)＝( )
A.－21 B.－22
C.－23 D.－24
【热点突破】
热点一 抽象函数
研究抽象函数性质的方法
(1)用赋值法研究抽象函数.
(2)利用数形结合法研究抽象函数.
(3)利用函数性质之间的关系推理论证研究抽象函数.考向1 赋值法研究抽象函数
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝
f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝________；f(2 025)＝________.
考向2 数形结合法研究抽象函数
例2 已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中f(x)满足f(－x)＝f(x)且在(0，＋∞)
上单调递减，函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)且在(1，＋∞)上单调递减，设函数
F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]，则对任意x∈R，均有( )
A.F(1－x)≥F(1＋x) B.F(1－x)≤F(1＋x)
C.F(1－x2)≥F(1＋x2) D.F(1－x2)≤F(1＋x2)
考向3 利用函数性质之间的关系推理论证
例3 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f
为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)是周期为3的周期函数 D.f(0)＋f(1)＋…＋f(2 025)＝－2
规律方法 1.求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、
奇偶性及周期性，往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的
条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用.
2.数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意
图，摘取有效信息，结合图象解题.
3.函数的对称轴、对称中心及周期性，三者已知其中两个，可推出另外一个.
训练1 (1)(多选)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于a，b∈R都满足
f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则下述正确的是( )
A.f(0)＝0 B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数 D.若f(2)＝2，则f＝
(2)(多选)(2024·烟台调研)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1
＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则关于f(x)的说法正确的是( )
A.f(0)＝f(2) B.f(0)＝f(－2)
C.周期T＝2 D.在(2，3)上单调递减
热点二 嵌套函数
嵌套函数的零点问题主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复
合函数相关零点，与函数的图象性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
例4 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
规律方法 1.破解此类问题的主要步骤
第一步：换元解套，将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数 t＝g(x)与y＝f(t)
的零点问题.
第二步：依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
2.含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓
临界位置，确定参数取值范围.
训练2 (2024·荆州调研)设函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0恰
好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )
A.(－2－2，2－2) B.
C. D.(2－2，＋∞)
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·重庆调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)
为奇函数，则f(－3)＝( )
A.4 B.－2
C.0 D.2
2.(2024·常州检测)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－
x)，则f(x)是( )
A.偶函数，又是周期函数
B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数
D.奇函数，但不是周期函数
3.(2024·商洛联考)若定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且对任意x ，
1
x ∈[2，＋∞)，x ≠x ，均有>0，则关于x的不等式f(x)0，则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0的解集为( )
A.[－1，0)∪(0，1] B.[－3，－2)∪(0，1]
C.(－2，－1)∪(0，1] D.(－2，0)∪(0，1]
6.(2024·青岛模拟) x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2 024)的
值是( )
∀
A.2 B.1
C.0 D.－1
7.(2024·吕梁模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝，则下列结
论不正确的是( )
A.f(0)＝3 B.函数f(2x－1)关于直线x＝对称
C.f(x)＋f(0)≥0 D.f(x)的周期为3
8.(2024·漳州模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x)－1)的零点个数为( )
A.3 B.5
C.6 D.8
二、多选题
9.(2024·安庆二模)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x
＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)<1，则( )
A.f(0)＝1
B.f(1)＋f(－1)＝1
C.函数f(x)为减函数
D.函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
10.(2024·济南质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，f(1)＝
0，则( )
A.f(0)＝－1 B.f(x)有最小值
C.f(2 024)＝2 023 D.f(x)＋1是奇函数
11.已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－2af(x)＝0(a∈R)有两个不等实根，则下列说法正确
的是( )
A.点(0，0)是函数f(x)的零点
B. x ∈(0，1)，x ∈(1，3)，使f(x )>f(x )
1 2 1 2
∃C.x＝－2是f(x)的极大值点
D.a的取值范围是∪
三、填空题
12.(2024·淄博模拟)已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)定义域
也是R，f(x)满足f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1，则∑f′(i)＝________.
13.(2024·重庆诊断)已知定义域为(0，＋∞)的减函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且
f(2)＝－1，则不等式f(x＋2)＋f(x＋4)>－3的解集为________.
14.函数f(x)＝＋1，若g(x)＝2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a有4个零点，则a的取值范围
是________.
【解析版】
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，
则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
2.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)
＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)答案 BC
解析 法一(转化法) 因为f，g(2＋x)均为偶函数，
所以f＝f，
即f＝f，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f′(x)，
所以g()＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(x＋4)＝－g(x＋3)，
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)，
所以g(x＋1)＝－g(x)，
所以g(x＋2)＝g(x).
所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.
法二(构造函数法) 令f(x)＝1－sin πx，
则f＝1＋cos 2πx，
则g(x)＝f′(x)＝－πcos πx，g(x＋2)＝－πcos(2π＋πx)＝－πcos πx，满足题设条件，
可得只有选项B，C正确.
3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(
)
A.f(0)＝0 B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数 D.x＝0为f(x)的极小值点
答案 ABC
解析 取x＝y＝0，则f(0)＝0＋0＝0，故A正确；
取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝0；
取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，
所以f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，故C正确；
由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，
所以函数f(x)的图象关于y轴对称，
所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数 f(x)的极大值点，也可能不
是函数f(x)的极值点，故D不正确.综上，选ABC.
4.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)
－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则∑f(k)＝( )
A.－21 B.－22
C.－23 D.－24
答案 D
解析 由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
可得g(2＋x)＝g(2－x).
在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，
可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，
可得f(－x)＝f(x).
在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，
得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，
代入f(x)＋g(2－x)＝5中，
得f(x)＋f(－x－2)＝－2，
可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，
所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，
所以f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，
又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，
又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，f(－1)＋f(1)＝－2，
得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，
又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，
所以∑f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－
24.
【热点突破】
热点一 抽象函数
研究抽象函数性质的方法
(1)用赋值法研究抽象函数.
(2)利用数形结合法研究抽象函数.
(3)利用函数性质之间的关系推理论证研究抽象函数.
考向1 赋值法研究抽象函数
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝
f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝________；f(2 025)＝________.
答案 2 2 026
解析 令x＝y＝0，得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.
令y＝1，则f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2
＝2f(x)－x，即f(x＋1)＝2f(x)－x.①
又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2，
令y＝1代入，得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2，
即f(x＋1)＝f(x)＋1.②
联立①②得f(x)＝x＋1，
所以f(1)＝2，f(2 025)＝2 026.
考向2 数形结合法研究抽象函数
例2 已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中f(x)满足f(－x)＝f(x)且在(0，＋∞)
上单调递减，函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)且在(1，＋∞)上单调递减，设函数
F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]，则对任意x∈R，均有( )
A.F(1－x)≥F(1＋x) B.F(1－x)≤F(1＋x)
C.F(1－x2)≥F(1＋x2) D.F(1－x2)≤F(1＋x2)
答案 C解析 由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，
则f(x)为R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，
又函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)，
则函数g(x)关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调
递增，
又F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]＝
作出函数F(x)大致图象如图：
∵1＋x2与1－x2关于x＝1对称，结合函数图象可得F(1－x2)≥F(1＋x2)，故选C.
考向3 利用函数性质之间的关系推理论证
例3 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f
为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)是周期为3的周期函数 D.f(0)＋f(1)＋…＋f(2 025)＝－2
答案 BCD
解析 对于A，函数f(x)的定义域为 R，且f(0)＝－2，则f(x)不会是奇函数，A
错误；
对于B，定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，可得f(x)＝－f，
而f为奇函数，
则f(－x)＝－f，
则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，B正确；
对于C，若函数f(x)满足f(x)＝－f，则有f(x＋3)＝－f＝f(x)，
即函数f(x)是周期为3的周期函数，C正确；
对于D，f(x)是偶函数且其周期为3，则f(－1)＝f(1)＝1，f(2)＝f(－1)＝1，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＝0，
故f(0)＋f(1)＋…＋f(2 025)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)]×675＋f(0)＝－2，D正确.规律方法 1.求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、
奇偶性及周期性，往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的
条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用.
2.数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意
图，摘取有效信息，结合图象解题.
3.函数的对称轴、对称中心及周期性，三者已知其中两个，可推出另外一个.
训练1 (1)(多选)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于a，b∈R都满足
f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则下述正确的是( )
A.f(0)＝0 B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数 D.若f(2)＝2，则f＝
(2)(多选)(2024·烟台调研)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1
＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则关于f(x)的说法正确的是( )
A.f(0)＝f(2) B.f(0)＝f(－2)
C.周期T＝2 D.在(2，3)上单调递减
答案 (1)ABD (2)ABD
解析 (1)对于A，令a＝b＝0，则f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令a＝b＝1，则f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令a＝b＝－1，则f(1)＝－f(－1)－f(－1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0，
又令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C错误；
对于D，令a＝2，b＝－，
则f(－1)＝2f－f(2)＝2f－1＝0，
所以f＝，故D正确.
(2)由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)的对称轴为x＝1，
所以f(0)＝f(2)，A正确；
又由f(1＋x)＝f(1－x)知f(2＋x)＝f(－x)，
因为f(x)的图象关于(2，0)对称，则f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，
所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，
即－f(x)＝f(2＋x)，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，
所以f(－2)＝f(2)，
又f(0)＝f(2)，
所以f(0)＝f(－2)，故B正确，C错误；
因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且T＝4，
所以f(x)在(3，4]上单调递增，
又图象关于(2，0)对称，
所以f(x)在(0，1]上单调递增，
因为f(x)关于x＝1对称，
所以f(x)在(1，2]上单调递减，
又因为关于(2，0)对称，可得f(x)在(2，3)单调递减，故D正确.
热点二 嵌套函数
嵌套函数的零点问题主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复
合函数相关零点，与函数的图象性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元
解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
例4 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 B
解析 由g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2＝0，
得f(x)＝2或f(x)＝－.
当x≥0时，f′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
所以当x∈(0，1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝4－6＋1＝－1.
又x<0时，f(x)＝ex，
画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知：函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为3.
规律方法 1.破解此类问题的主要步骤
第一步：换元解套，将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数 t＝g(x)与y＝f(t)
的零点问题.
第二步：依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
2.含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓
临界位置，确定参数取值范围.
训练2 (2024·荆州调研)设函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0恰
好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )
A.(－2－2，2－2) B.
C. D.(2－2，＋∞)
答案 B
解析 画出函数f(x)＝的图象如图所示，
令f(x)＝t，则方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0可化为t2－(a＋2)t＋3＝0.
由图可知，当t∈(1，2]时，y＝f(x)与y＝t有3个交点，
要使关于x的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，
则方程t2－(a＋2)t＋3＝0在(1，2]内有两个不同实数根，
∴
解得2－20，则关于x的不等式f(x)0，则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0的解集为( )
A.[－1，0)∪(0，1] B.[－3，－2)∪(0，1]
C.(－2，－1)∪(0，1] D.(－2，0)∪(0，1]
答案 D
解析 因为f(x)是R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数的图象关于原点对称且关于x＝1对称，
当x ，x ∈[0，1]，且x ≠x 时，>0，
1 2 1 2
即函数在[0，1]上单调递增，f(2)＝f(0)＝f(－2)＝0，其大致图象如图所示，
则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0可转化为或
即或
即00时，ln t－＝0，令h(t)＝ln t－，t>0，
函数y＝ln t，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，
于是函数h(t)在(0，＋∞)上单调递增，
又h(1)＝－1<0，h(e)＝1－>0，则存在t ∈(1，e)，使得h(t )＝0；
1 1当t≤0时，－|t＋1|＋1＝0，解得t＝0或－2，
作函数f(x)＝的大致图象，如图.
又f(x)－1＝t，则f(x)＝t＋1，
当t＝0时，f(x)＝1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝1有两个解；
当t＝－2时，f(x)＝－1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝－1有两个解；
当t＝t ，t ∈(1，e)时，f(x)＝t ＋1，由y＝f(x)的图象知，方程f(x)＝t ＋1有一个
1 1 1 1
解.
综上所述，函数g(x)＝f(f(x)－1)的零点个数为5.
二、多选题
9.(2024·安庆二模)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x
＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)<1，则( )
A.f(0)＝1
B.f(1)＋f(－1)＝1
C.函数f(x)为减函数
D.函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
答案 ACD
解析 对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，故f(0)＝1，故A正确；
对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，故f(1)＋f(－1)＝2，故B
错误；
对于C，令y>0，则有f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1，其中x＋y>x，f(y)－1<0，
令x ＝x＋y，x ＝x，即有对∀x ，x ∈R，
1 2 1 2
x >x ，f(x )－f(x )<0恒成立，
1 2 1 2
即函数f(x)为减函数，故C正确；
对于D，令y＝－x，则有f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1，又f(0)＝1，故f(x)＋f(－x)＝
2，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，故D正确.
10.(2024·济南质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，f(1)＝0，则( )
A.f(0)＝－1 B.f(x)有最小值
C.f(2 024)＝2 023 D.f(x)＋1是奇函数
答案 ACD
解析 对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝－1，A正确；
对于B，令x＝x ，y＝x －x ，且x 0时，f(x)>－1时，f(x )－f(x )>0，此时函数f(x)为单调递增函数；
2 1
若x>0时，f(x)<－1时，f(x )－f(x )<0，此时函数f(x)为单调递减函数，
2 1
所以函数f(x)不一定有最小值，B错误；
对于C，令y＝1，可得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋1＝f(x)＋1，即f(x＋1)－f(x)＝1，
所以f(2)－f(1)＝1，f(3)－f(2)＝1，…，f(2 024)－f(2 023)＝1，
各式相加得f(2 024)－f(1)＝2 023，所以f(2 024)＝f(1)＋2 023＝2 023，C正确；
对于D，令y＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，可得f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，
即f(－x)＋1＝－[f(x)＋1]，所以函数f(x)＋1是奇函数，D正确.
11.已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－2af(x)＝0(a∈R)有两个不等实根，则下列说法正确
的是( )
A.点(0，0)是函数f(x)的零点
B. x ∈(0，1)，x ∈(1，3)，使f(x )>f(x )
1 2 1 2
C.x＝－2是f(x)的极大值点
∃
D.a的取值范围是∪
答案 BC
解析 当x<1时，f(x)＝x2ex，
则f′(x)＝(x2＋2x)ex＝x(x＋2)ex，
当x∈(－∞，－2)，(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(－2，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
且f(－2)＝，f(0)＝0；
当x≥1时，f(x)＝，则f′(x)＝，
当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
且f(1)＝e，f(2)＝，且f(x)≥0恒成立，
画出函数图象如图.
对于A，由函数图象可得0是函数f(x)的零点，故A错误；
对于 B，由图可得 f(x )∈(0，e)，f(x )∈，故∃x ∈(0，1)，x ∈(1，3)，使
1 2 1 2
f(x )>f(x )，故B正确；
1 2
对于C，由图可得x＝－2是f(x)的极大值点，故C正确；
对于D，方程[f(x)]2－2af(x)＝0(a∈R)等价于f(x)＝0或f(x)＝2a，
由图可得f(x)＝0有1个实数根x＝0，
所以方程[f(x)]2－2af(x)＝0(a∈R)有两个不等实根等价于f(x)＝2a有1个非零实根，
则由图可得<2a<或2a>e，
即，故D错误.
三、填空题
12.(2024·淄博模拟)已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)定义域
也是R，f(x)满足f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1，则∑f′(i)＝________.
答案 4 048
解析 对f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1两边同时求导得
f′(x＋1 012)＋f′(1 013－x)＝4，
即f′(x)＋f′(2 025－x)＝4，
则f′(1)＋f′(2 024)＝4，f′(2)＋f′(2 023)＝4，…，f′(1 012)＋f′(1 013)＝4，
则∑f′(i)＝4×1 012＝4 048.
13.(2024·重庆诊断)已知定义域为(0，＋∞)的减函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且
f(2)＝－1，则不等式f(x＋2)＋f(x＋4)>－3的解集为________.
答案 (－2，0)
解析 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(2)＝－1，
令x＝y＝2，则f(4)＝2f(2)＝－2，令x＝4，y＝2，则f(8)＝f(4)＋f(2)＝－3，
所以不等式f(x＋2)＋f(x＋4)>－3＝f(8)，
即
即解得－2
