文档内容
专题 16 平面向量及其应用
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的 长度 ( 或模 )．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律交换律：a＋b＝ b ＋ a ；
加法
结合律：(a＋b)＋c＝ a ＋ ( b ＋ c )
减法 a－b＝a＋(－b)
|λa|＝ | λ | | a |，当λ>0时，λa的方向与a
的方向相同； λ(μa)＝ ( λμ ) a ；
数乘 当λ<0时，λa的方向与 a的方向相 (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
反； λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
当λ＝0时，λa＝0
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b ＝ λ a .
温馨提示：
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2
＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
二、平面向量的数量积
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与
b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点
A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量
1 1
b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
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几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝xx ＋ yy
1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) xy － xy ＝ 0
1 2 2 1
|a·b|≤|a||b|
|a·b|与|a||b|的关系 |xx＋yy|≤
1 2 1 2
(当且仅当a∥b时等号成立)
温馨提示：
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
三、平面向量的基本定理与坐标运算
1．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ ，
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λ，使a＝λe＋λe.
2 1 1 2 2
若e，e 不共线，我们把{e，e}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
1 2 1 2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
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a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
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(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
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4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b⇔xy － xy ＝ 0.
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温馨提示：
已知P为线段AB的中点，若A(x ，y)，B(x ，y)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x ，y)，B(x ，
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y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
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本专题在近年来的高考试题中经常出现，向量的运算及位置关系等是考查的重点，多以选填题、填
空题的形式出现。
一、向量的基本概念
例1 下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
答案 D
分析 由向量的相关概念逐一判断即可.
解析 向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；
由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；
长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；
向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.
故选：D.
方法归纳: 平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
二、平面向量的线性运算
命题点2 向量的线性运算
例2 如图，在平行四边形 中，E、F分别是 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）A． B．
C． D．
答案 D
分析 根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
解析 对A：由题意知，E、F分别是 边上的两个三等分点，且 与 方向相同，
则 ，故A正确；
对B：由图可知， ， ，所以 ，
故B正确；
对C： ，故C正确；
对D： ，故D错误.
故选：D.
命题点3 根据向量线性运算求参数
例3 3．在 中， 在边 上，且 是边 上任意一点， 与 交于点 ，若
，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
答案 C
分析 利用向量的线性运算，得 ，再利用平面向量基本定理，可得
，然后就可得到结果.解析 三点共线，设 ，
则 ，
又 ，所以 ，即 .
故选：C.
方法归纳: 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
三、共线定理及其应用
例4 设 ， 是不共线的两个向量.
(1)若 ， ， ，求证：A，B，D三点共线；
(2)若 与 共线，求实数 的值.
答案 (1)证明见解析
(2) .
分析 （1）根据平面向量的线性运算可得 ，即可证明；
（2）易知 ，根据共线向量可得存在实数 使 ，结合相等向量的概念建立方
程组，解之即可.
解析 （1）由题意知， ，
∴ ，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线；
（2）∵ ， 不共线，∴ ，
又 与 共线，
∴存在实数 ，使 ，∴ ，解得 .
方法归纳: 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
四、平面向量数量积的基本运算
例5 已知向量 不共线，且 ， ，若 与 同向共线，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
答案 A
分析 由共线定理可知存在 使得 ，然后由平面向量基本定理可得.
解析 因为 与 同向共线，所以存在 使得 ，
即 ，
又向量 不共线，所以 ，解得 （舍去）或 .
故选：A
方法归纳: 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
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(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
五、平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例6 已知 ， ， 均为平面单位向量，且两两夹角为120°，则 ．
答案 2
分析 先利用向量加减法化简 ，进而求得 的值.
解析 ， ， 均为平面单位向量，夹角为120°，则则 ．
故答案为：2
命题点2 向量的夹角
例7 已知 是单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 根据 ，推理得到 ，再由投影向量求得 ，联立得到 ，利用
两向量的夹角公式计算即得.
解析 因为 是单位向量，且 ，
两边平方得， ，即 （*），
由 在 上的投影向量为 ，可得 ，
所以 ，即 ，代入（*）可得， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
命题点3 向量的垂直
例8 已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
答案 A
分析 由题意先解出 ，由 与 垂直，解出 即可.
解析 因为 ，所以 ，又因为 与 垂直，则 ，
得 ，即 ，解得 .
故选：A.
方法归纳: (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利
用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
六、平面向量的实际应用
例9 如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度 的大小为 ，水流的速度 的大小
为 ，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头 处，其航行速度的大小（ ）
A． B． C． D．
答案 A
分析 根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得 ，然后再求出 即可
解析 设 与 所成的角为 ，
由题意得， ，
则
.
故选:A方法归纳: 用向量方法解决实际问题的步骤
七、平面向量基本定理的应用
例10 在 中，D为边 的中点，E，F分别为边 ， 上的点，且 ， ，若
， ，则 值为（ ）
A．1 B． C．3 D．5
答案 A
分析 由向量的线性运算分别求出 的值即可.
解析 ，因为D为边 的中点，
所以 ，所以 ，从而 .
故选：A.
方法归纳: (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决．
八、平面向量的坐标运算
例11 已知向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案 B分析 由 ， 的夹角为钝角，可得 ，且 与 不共线，从而可求出 的取值范围.
解析 因为 ， ， ， 的夹角为钝角，
所以 ，解得 ，且 ，
即 的取值范围是 ，
故选：B
方法归纳: 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形
结合的载体．
方法归纳: 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是xy＝xy.
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(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
