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专题 12 三角函数的图像与性质
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：
1.正弦函数与余弦函数的图像画法
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φx∈[0，＋∞)表示一个振动量时
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin
0 A 0 －A 0
(ωx＋φ)
2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 振幅 周期 频率 相位 初相
x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
常用结论：
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
四、周期函数
1.周期函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T, 使得对每一个x ∈D, 都有x+T∈D, 且
f(x+T)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期.
3.正弦、余弦函数的周期
正弦函数(y=sinx )和余弦函数(y=cosx) 都是周期函数，周期为2kπ(k∈Z且 k≠0), 最小正周期是2π.
4. 函数y=Asin( x+φ) 及 y=Acos( x+φ)的周期函数 y=Asin( x+φ) 及函数y=Acos( x+φ) (其 中A,
,φ 为常数，且A≠0, >0,x∈R), 令X=wx+φ, 因为函数y=Asinx及y=Acosx(x∈R)的周期都是2π，
所以自变量x至少要增加到 , 函数值才能重复出现，
即 是使等式 Asin[w(x+T)+φ]=Asin(wx+φ),Acos[w(x+T)+φ]=Acos(wx+φ)成立的最小正数，从而函
数 y=Asin(wx+φ)及函数y=Acos(wx+φ) (其中A,w,φ为常数，且A≠0,w>0,z∈R)的最小正周期
温馨提示：求三角函数最小正周期的方法：a.定义法；b.公式法: ;c.图像法
五、三角函数模型在生活中的应用
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、琴弦的振动，等
等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动，在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)
正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以
用函数y=Asin(wx+φ),x∈[0,+∞]表示，其中A>0,w>0.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与
这个解析式中的常数有关：
六、三角函数模型应用的步骤
(1)审题：理解题意，认真领悟自然语言和图形语言中的数学本质，分清已知与知，画出示意图：
(2)建模：根据审题所得到的信息，把实际问题抽象为数学问题，根据已知条件上求解目标，建立数学模型，
如三角函数式、三角不等式或三角方程等：
(3)求解：利用所学三角函数知识，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解；
(5)还原：将所得的结论转译成实际问题的答案.1.解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，
然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值
点、最值点、零点及有界函数等概念．
2.三角函数的实际应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
3.巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题
解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图
象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．
一、三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝的定义域为________．
答案
解析 要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案
解析 设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，
t∈[－，]．
当t＝1时，y ＝1；
max
当t＝－时，y ＝－.
min
∴函数的值域为.
方法归纳： (1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
二、三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案 A
解析 A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)
＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周
期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在
整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．
(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
答案 ，k∈Z
解析 若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
方法归纳： (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而
偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)
的周期为求解．
三、三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3 函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
答案 (k∈Z)
解析 f(x)＝sin
＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
命题点2 根据单调性求参数
例4 (1)．已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 ．
答案分析 先根据区间 上的长度不大于半个周期求出 ，再根据 的范围确定 所满足的范
围，由 在区间 上单调递减，得到 的取值范围.
解析 因为 在区间 上单调递减，所以 ，
则 ，即 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 在区间 上单调递减，
，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： .
(2)．在 中， ， 的最大值为 ．若函数 在区间 上
单调递增，则 的最大值为 ．
答案 2
分析 由已知在 中， ，由 利用不等式可得 ，然后利用正弦函数的单调性
与区间的关系列不等式即可.
解析 因为 ，故 为锐角，
且 ，又 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，
即 ，
当且仅当 时，即 ，等号成立，
函数 ，
因为 ，所以 ，
要使 在区间 上单调递增，则 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
方法归纳： (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不
等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
四、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例5 (1)将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
答案 A
分析 先将 化为正弦型，然后由平移规律可得答案.解析 因为 ，
所以 .
故选：A
(2)将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 ，若 在函数
的图象上，则（ ）
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
答案 A
分析 由题意利用 的图象变换规律及诱导公式，可得 ，且
，即可得 的最小值.
解析 由题意得 ，
由点 向左平移 个单位长度得到点 ，
可得 ，代入
可得 ，则 或 ，
即 或 ， .
又 ,所以 的最小值为 .
故选：A.
[拓展]
1．将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象
向左平移 个单位长度，所得的图象关于 轴对称，写出一个符合条件的 的值 .
答案 （答案不唯一）
分析 由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数 的值.
解析 将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
，
由题意 的图象关于 轴对称，
所以 ，解得 ， ，令 ，得 .
故答案为： （答案不唯一）.
方法归纳： (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非
φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先
变成正值．
五、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例6 (1)已知函数 的部分图象如图所示，则 ．答案
分析 由图象得到 ，并结合 可得 ，再结合图象得到 及 的大致范围，进而得
到 的值，即可得解．
解析 由 得 ，又 位于减区间上，所以 ，
又 ，故 ．
由 得 ，又 位于增区间上，
所以 ，得 ．
设 的最小正周期为 ，则 ，即 ，
得 ．又 ，所以 ，
故 ．
故答案为：
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
答案 －
解析 由题意可得，T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－，
据此有f(x)＝2cos，
f ＝2cos＝2cos ＝－.
方法归纳： 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
六、三角函数图象、性质的综合应用
命题点1 图象与性质的综合应用
例7 (2022·衡阳模拟)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后所得图
象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象( )
A．关于直线x＝对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称
D．关于点对称
答案 D
解析 依题意可得ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
所以f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin，
又函数g(x)为偶函数，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin，
由2x＋＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)图象的对称轴为x＝＋，k∈Z，
排除A，C，
由2x＋＝kπ，k∈Z，
得x＝－＋，k∈Z，
则f(x)图象的对称中心为，k∈Z，排除B，当k＝1时，－＋＝，故D正确．
命题点2 函数零点(方程根)问题
例 8 已知关于 x 的方程 2sin2x－sin 2x＋m－1＝0 在上有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是
____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_____．
答案 [－2,1)
解析 同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3 三角函数模型
例9 (多选)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用
机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小
为 ，圆上两点A，B始终满足 ，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变
化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即
秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直
距离关于时间t的函数解析式为 .答案
分析 以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点 的坐标，由
已知结合和角的正弦公式化简即得.
解析 以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速 ，
设点 ，圆上两点A、B始终保持 ，
则 ，要使A、B两点的竖直距高为0，
则 ，第一次为0时， ，解得 ，
.
故答案为： ；
方法归纳：
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学
问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
