文档内容
专题 02 常用逻辑用语
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
Ⅰ、充分条件与必要条件
一、命题
1.命题的概念
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的
语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题
2.命题的形式
在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
3.真命题，假命题
命题：“若p,则q”,如果由题设p能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命题.
温馨提示
(1) 一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等
都不是命题，
(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，则不
是命题。
(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的
一些猜想等，这类语句也叫做命题。
(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。
(5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情
况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
二、充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p⇒q”, 这时称p是q的充分条
件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q,记作p ⇏q, 这时称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 .
2 .充要条件
一般地，如果既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作 p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显
然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q, 那么p与q互为充要条件.
三、常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p与q的关系如下：
原命题 逆命题 p与q的关系 结论
真 假 p ⇒ q 且 q ⇏p p是q的充分不必要条件
假 真 p ⇏q且q⇒ p p是q的必要不充分条件
真 真 p ⇒ q且q⇒ p p是q的充要条件
假 假 p ⇏q 且 q ⇏ p p是q的既不充分也不必要条件
温馨提示，判断充分条件与必要条件时应注意：
1.“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A 且 A⇒B;“A 是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B⇒A.
2.条件和结论带有否定性词语的命题，可以转化为其逆否命题来判断。如 p是一q的必要不充分条件⇔p是
q的充分不必要条件；一p是一q的充要条件⇔p是q的充要条件。
3.从正面不容易判断或证明一个命题的真假时，可以通过举适当的反例来判断
Ⅱ、全称量词与存在量词
一、全称量词与全称量词命题
1.全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑术语中通常叫做全称量词，并用符号“V示.常见的全称量词有：所
有、一切、任意、全部、每一个等.
2.全称量词命题
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。
3.全称量词命题的真假判断
(1)要判定全称量词命题 “x∈M,p(x)”是真命题，必须使p(x)对集合M中的每个元素x都成立。
(2)要判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是假命题，只需举出一个反例、即在集合M中找到一个元素x₀, 使
得p(x₀)不成立即可.
二、存在量词与存在量词命题
1 .存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑术语中通常叫做存在量词，并用符号 “日”表示.常见的存在量
词有：存在一个、至少有一个、有一个、某个等。
2.存在量词命题
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
3.存在量词命题的真假判断
(1)要判定存在量词命题“ x ∈M,p(x)” 是真命题，只需找到集合M中的一个元素x₀, 使p(x₀) 成立即可.(2)要判定存在量词命题“ x ∈M,p(x)” 是假命题，必须使p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立.
三、全称量词命题与存在量词命题的表述方法
命题 全称量词命题 x∈M,p(x)) 存在量词命题( x₀ ∈M,q(x₀))
对一切x∈M,p(x)成立 至少有一个x₀ ∈M,q(x₀)成立
对所有的x∈M,p(x)成立 存在x₀ ∈M,q(x₀)成立
表述方法
对每一个x∈M,p(x)成立 对有些x₀ ∈M,q(x₀)成立
任意一个x∈M,p(x)成立 对某个x₀ ∈M,q(x₀)成立
四、全称量词命题和存在量词命题的否定
1 .命题的否定
(1)定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命 题称为原命题的否定.命题
p 的否定可用“→p” 来表示.
(2)命题的否定与原命题的真假关系
命题的否定与原命题的真假性可以用下表(真值表)表示：
命 题 p 非 p ( - p )
真 假
假 真
(3)常见词语的否定词语
等于 大于 小于 至多 至多 至少
原词 (=) (>) (<) 是 都是 有一个 有n个 有一个
不等于 不大于 不小于 至少有 至少有 一个也
否定 (≠) (≤) (≥) 不是 不都是 两个 (n+1)个 没有
2.含有单个量词命题的否定
(1)含有单个量词的全称量词命题的否定
全称量词命题p: x∈M,p(x), 它的否定 一p: x₀ ∈M,一p(x)
0
(2)含有单个量词的存在量词命题的否定
存在量词命题p: x。∈M,p(x₀), 它的否定一p: x∈M,一p(x),
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单
元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学
内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。一、充分条件与必要条件的判定方法
(1)定义法：①分清条件和结论；
②找推式，即判断“p→q”及“q→p”的真假；
③下结论，根据推式及定义下结论.
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的便于判断真假的命题
(3)集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}, 利用集合之间的包含关系加以判断 .
二、集合对充要条件的判断
当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关，或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集
合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断。
三、解决含有量词命题的求参问题
1.全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查， 一般在题目中会出现“恒
成立”等词语解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围.
2.存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常 是假设存在满足条
件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围， 则假设成立；否则，假设不成立.解决有关存
在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数.
