文档内容
2022年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太
空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用
科学记数法表示为（ ）
A．0.146×108 B．1.46×107 C．14.6×106 D．146×105
4．（3分）在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，
则这组数据的众数是（ ）
A．38 B．42 C．43 D．45
5．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1
6．（3分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，
则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
7．（3分）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和
11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣2 D． ﹣
π π π π
8．（3分）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且
点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①
GF∥EC；②AB＝ AD；③GE＝ DF；④OC＝2 OF；⑤△COF∽△CEG．其
中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：2a+3a＝ ．
10．（3分）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ °．
11．（3分）写出一个在1到3之间的无理数： ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是
．
13．（3分）如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，A为切点，连接BC，与 O交于点D，
连接OD．若∠AOD⊙＝82°，则∠C＝ ⊙ °． ⊙14．（3分）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方
形边的中点，则sinA＝ ．
15．（3分）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮
筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离 OH是
m．
16．（3分）如图，在 ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE
▱
＝BF；分别以E、F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线
BG交DC于点H．若AD＝ +1，则BH的长为 ．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算（﹣10）×（﹣ ）﹣ +20220．
18．（6分）解不等式2x﹣1＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（6分）化简 + ．
20．（8分）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开
设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项
目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整
的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 人数
A乒乓球 m
B排球 10
C篮球 80
D跳绳 70
（1）本次调查的样本容量是 ，统计表中m＝ ；
（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是 °；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．21．（10分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”
“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，
“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手
势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
22．（10分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．
每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以
上问题中的人数和物品价格．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数
y＝ （k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
24．（10分）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高
和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰
角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、
最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
25．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．
（1）求证：四边形DBCE为菱形；
（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求
PM+PN的最小值．
26．（12分）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，
平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．27．（14分）【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆
放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．
【问题探究】
小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在
同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是
．2022年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣ ）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的
关键．3．（3分）2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太
空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用
科学记数法表示为（ ）
A．0.146×108 B．1.46×107 C．14.6×106 D．146×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：14600000＝1.46×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，
则这组数据的众数是（ ）
A．38 B．42 C．43 D．45
【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．
【解答】解：∵45出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为45；
故选：D．
【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键；众数是一组数据中出现次数最
多的数．
5．（3分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的
关键．
6．（3分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，
则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相
等列等式，解出即可；
方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．
【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴ ＝ ＝ ，
∴x＝6，y＝9，
∴△DEF的周长是27；
方式二：∵△ABC∽△DEF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴C△DEF ＝27；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
7．（3分）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和
11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣2 D． ﹣
π π π π
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角
形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB ＝ ，再根据三角形面积公式求出S△AOB ＝ ，进
π
而求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB ＝ ＝ ，
π
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC＝ ，
∴S△AOB ＝ ＝ ，
∴阴影部分的面积为： ﹣ ；
π
故选：B．
【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题
关键．
8．（3分）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且
点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①
GF∥EC；②AB＝ AD；③GE＝ DF；④OC＝2 OF；⑤△COF∽△CEG．其
中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，
设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根
据相似三角形的判定分析判断⑤．
【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝ a，
∴AB＝ AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2 a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2 a﹣x）2，
解得：x＝ a，
∴ DF＝ × a＝ a，2 OF＝2 × a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝ ＝ a，
∴GE＝ DF，OC＝2 OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解
题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：2a+3a＝ 5 a ．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．
【解答】解：2a+3a＝5a，
故答案为：5a．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键．
10．（3分）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ 12 0 °．
【分析】根据补角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互
为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．
11．（3分）写出一个在1到3之间的无理数： （符合条件即可） ．
【分析】由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的
数即可求解．
【解答】解：1到3之间的无理数如 ， ， ．答案不唯一．
【点评】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小
数部分．
12．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是
1 ．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
13．（3分）如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，A为切点，连接BC，与 O交于点D，
连接OD．若∠AOD⊙＝82°，则∠C＝ ⊙ 4 9 °． ⊙【分析】根据AC是 O的切线，可以得到∠BAC＝90°，再根据∠AOD＝82°，可以得到
∠ABD的度数，然后⊙即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵AC是 O的切线，
∴∠BAC＝90°， ⊙
∵∠AOD＝82°，
∴∠ABD＝41°，
∴∠C＝90°﹣∠ABD＝90°﹣41°＝49°，
故答案为：49．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
14．（3分）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方
形边的中点，则sinA＝ ．
【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sinA的值．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，
作CD⊥AB于点D，
由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝ ＝ ＝5a，
∴sin∠CAB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，构造出合适的直角三角形．
15．（3分）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮
筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4
m．
【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x ＝1，x ＝4，
1 2
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
16．（3分）如图，在 ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE
▱＝BF；分别以E、F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线
BG交DC于点H．若AD＝ +1，则BH的长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到C＝30°，AB∥CD，BC＝AD＝ +1，根据角平分线的
定义得到∠CBH＝∠ABH，过B作BP⊥CD于P，根据直角三角形的性质得到BP＝
＝ ，CP＝ BC＝ ，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在 ABCD中，∠ABC＝150°，
∴∠C＝30°，AB▱∥CD，BC＝AD＝ +1，
由作图知，BH平分∠ABC，
∴∠CBH＝∠ABH，
∵AB∥CD，
∴∠CHB＝∠ABH，
∴∠CHB＝∠CBH，
∴CH＝BC＝ +1，
过B作BP⊥CD于P，
∴∠CPB＝90°，
∴BP＝ ＝ ，CP＝ BC＝ ，
∴HP＝CH﹣CP＝ ，
∴BH＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．【点评】考查了作图﹣基本作图及角平分线的定义、矩形的性质等知识，解题的关键是根
据图形确定BP平分∠ABD．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算（﹣10）×（﹣ ）﹣ +20220．
【分析】直接利用算术平方根以及零指数幂的性质、有理数的混合运算法则分别化简，进
而得出答案．
【解答】解：原式＝5﹣4+1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）解不等式2x﹣1＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去分母、移项、合并同类项可得其解集．
【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞﹣1+2，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如下：
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是
解题的关键．
19．（6分）化简 + ．
【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．
【解答】解：原式＝ +＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．
20．（8分）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开
设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项
目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整
的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 人数
A乒乓球 m
B排球 10
C篮球 80
D跳绳 70
（1）本次调查的样本容量是 20 0 ，统计表中m＝ 4 0 ；
（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是 1 8 °；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．
【分析】（1）本次调查的样本容量用篮球的人数÷所占的百分比；乒乓球人数＝本次调查
的样本容量﹣排球人数﹣篮球人数﹣跳绳人数；
（2）“B排球”对应的圆心角的度数：360°×这部分的比值；
（3）该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数：总体×A乒乓球所占百分数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：80÷40%＝200（人）；A乒乓球人数：200﹣70﹣80﹣10＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）“B排球”对应的圆心角的度数：360°× ＝18°；
故答案为：18；
（3）该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数：2000× ＝400（人），
答：该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数估计为400人．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，
掌握这几个知识点的应用，其中用样本估计总体是统计的基本思想是解题关键．
21．（10分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”
“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，
“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手
势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式
即可得出答案．
【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
故答案为： ；
（2）画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，则乙不输的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用
到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．
每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以
上问题中的人数和物品价格．
【分析】设有x个人，物品的价格为y钱，由题意：每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺
4钱．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设有x个人，物品的价格为y钱，
由题意得： ，
解得： ，
答：有7个人，物品的价格为53钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数
y＝ （k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
【分析】（1）把P的坐标代入y＝ ，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据三角形面积和可得结论．
【解答】解：（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝ 中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣ ；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣ ，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣ x+1；
（2）如图，
y＝﹣ x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ ＝S△POM +S△OMQ
＝ ×1×4+ ×1×6
＝2+3
＝5．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函
数、反比例函数的解析式的应用，三角形的面积，求得OM的长是解题的关键．
24．（10分）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高
和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育
王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰
角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、
最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
【分析】（1）由∠CAE＝45°，AB＝10m，可得BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，可得
tan∠CBE＝tan53°＝ ＝ ，即可解得阿育王塔的高度CE约为40.58m；
（2）由△FGD∽△CED，可得 ＝ ，可解得小亮与阿育王塔之间的距离ED是
54.11m．
【解答】解：（1）在Rt△CAE中，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE，
∵AB＝10m，
∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，
在Rt△CEB中，
tan∠CBE＝tan53°＝ ＝ ，
∴1.327≈ ，解得CE≈40.58（m）；
答：阿育王塔的高度CE约为40.58m；
（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，
∴△FGD∽△CED，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得ED≈54.11（m），
答：小亮与阿育王塔之间的距离ED约是54.11m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角问题，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键
是读懂题意，列出关于CE的方程求出CE的长．
25．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．
（1）求证：四边形DBCE为菱形；
（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求
PM+PN的最小值．
【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；
（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的
对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的
长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝ ，即
可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∵E在AD的延长线上，
∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，
∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE是菱形；
（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：
由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，
∴PM+PN＝PM+PN'，
∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，
∵DE∥BC，
∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，
在Rt△DBH中，
∠DBC＝60°，DB＝2，
∴DH＝DB•sin∠DBC＝2× ＝ ，
∴PM+PN的最小值为 ．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称
变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．
26．（12分）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，
平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数
图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（ ， ），根
据m＞2， ＝﹣ （m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4
的顶点在第三象限；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣ ， ），将
（﹣ ， ）代入y＝﹣x﹣2得c＝ ，可得OB＝﹣c＝﹣ ，过点A
作AH⊥OB于H，有S△AOB ＝ OB•AH＝ ×（﹣ ）×1＝﹣ （b+1）2+ ，由二次
函数性质得△AOB面积的最大值是 ．
【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（ ，
），
∵m＞2，∴2﹣m＜0，
∴ ＜0，
∵ ＝﹣ （m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣ ， ），
当x＝0时，B（0，c），
将（﹣ ， ）代入y＝﹣x﹣2得：
＝ ﹣2，
∴c＝ ，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c＝﹣ ，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOB ＝ OB•AH＝ ×（﹣ ）×1＝﹣ b2﹣ b+1＝﹣ （b+1）2+ ，
∵﹣ ＜0，∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB 取最大值，最大值为 ，
答：△AOB面积的最大值是 ．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图像上点坐
标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．
27．（14分）【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆
放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．
【问题探究】
小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在
同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是
．
【分析】（1）根据锐角三角函数求解，即可求出答案；
（2）①当点E在BC上方时，如图1过点D作DH⊥BC于H，根据锐角三角函数求出BC＝3 ，DE＝ ，最后利用面积求解，即可求出答案；
②当点E在BC下方时，同①的方法，即可求出答案；
（3）先求出∠BOE＝150°，再判断出点G是以点O为圆心， 为半径的圆上，最后用弧长
公式求解，即可求出答案；
（4）过点O作OK⊥AB于K，求出OK＝ ，即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意得，∠BEF＝∠BED＝90°，
在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝3，
∴BF＝ ＝ ＝2 ；
（2）①当点E在BC上方时，
如图1，过点D作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC＝3，
∴tan∠ABC＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝3 ，
在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝3，
∴DE＝BE•tan∠DBE＝ ，
∵S△BCD ＝ CD•BE＝ BC•DH，
∴DH＝ ＝ +1，
②当点E在BC下方时，如图2，
在Rt△BCE中，BE＝3，BC＝3 ，
根据勾股定理得，CE＝ ＝3 ，
∴CD＝CE﹣DE＝3 ﹣ ，
过点D作DM⊥BC于M，
∵S△BDC ＝ BC•DM＝ CD•BE，∴DM＝ ＝ ﹣1，
即点D到直线BC的距离为 ±1；
（3）如图3﹣1，连接CD，取CD的中点G，
取BC的中点O，连接GO，则OG∥AB，
∴∠COG＝∠B＝30°，
∴∠BOG＝150°，
∵点G为CD的中点，点O为BC的中点，
∴GO＝ BD＝ ，
∴点G是以点O为圆心， 为半径的圆上，如图3﹣2，
∴三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过
的轨迹为150°所对的圆弧，
∴点G所经过的路径长为 ＝ ；
π
（4）如图4，过点O作OK⊥AB于K，
∵点O为BC的中点，BC＝3 ，
∴OB＝ ，
∴OK＝OB•sin30°＝ ，
由（3）知，点G是以点O为圆心， 为半径的圆上，
∴点G到直线AB的距离的最大值是 + ＝ ，
故答案为： ．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，三角形的中
位线定理，三角形的面积，画出图形是解本题的关键．
