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2022年江苏省泰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．0＜ ＜1 B．1＜ ＜2 C．2＜ ＜3 D．3＜ ＜4
2．（3分）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3
C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
4．（3分）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相
邻的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5．（3分）已知点（﹣3，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）在下列某一函数图象上，且y ＜y ＜y ，那么这
1 2 3 3 1 2
个函数是（ ）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形
DEFG．设DE＝d ，点F、G与点C的距离分别为d 、d ，则d +d +d 的最小值为（ ）
1 2 3 1 2 3A． B．2 C．2 D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位
置上）
7．（3分）若x＝﹣3，则|x|的值为 ．
8．（3分）正六边形的一个外角的度数为 °．
9．（3分）2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号Ⅲ型科学考察浮空艇升高至
海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 ．
10．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
11．（3分）学校要从王静、李玉两同学中选拔1人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、
体育知识和旅游知识，并将成绩依次按4：3：3记分．两人的各项选拔成绩如表所示，则最
终胜出的同学是 ．
普通话 体育知识 旅游知识
王静 80 90 70
李玉 90 80 70
12．（3分）一次函数y＝ax+2的图象经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，PA与 O相切于点A，PO与 O相交于点B，点C在 上，且与点A、B不
重合．若∠P＝26°，⊙则∠C的度数为 ⊙ °．
14．（3分）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不
走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．15．（3分）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n（2 m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关
系为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、
AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算： ﹣ × ；
（2）按要求填空：
小王计算 ﹣ 的过程如下：
解： ﹣
＝ ﹣ ……第一步
＝ ﹣ ……第二步
＝ ……第三步
＝ ……第四步
＝ ．……第五步小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第
步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
18．（8分）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省
排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．
（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 %；若2019年“三产”总值为
5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的
说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
19．（8分）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育
馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能
性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进
馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
20．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上
草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？21．（10分）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
22．（10分）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．
如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房
高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到
的水平地面上最远处 D 到他的距离 CD 是多少？（结果精确到 0.1m，参考数据：
sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
23．（10分）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F
都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射
线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接
OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
24．（10分）如图，二次函数y ＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y ＝ （x＞
1 20）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y 随x的增大而增大且y ＜y 时，直接写出x的取值范围；
1 1 2
（3）平行于x轴的直线l与函数y 的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y
1 2
的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．
25．（12分）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB＝5，BD＝9，DC＝6，求DE的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA＝∠A；（保留作图痕迹，
不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF．若∠DFA＝∠A，△FBC的面积等于
CD•AB，以FD为半径作 F，试判断直线BC与 F的位置关系，并说明理由．
⊙ ⊙
26．（14分）定义：对于一次函数y ＝ax+b、y ＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）
1 2
（ma+nc≠0）为函数y 、y 的“组合函数”．
1 2
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y ＝x+1、y ＝2x﹣1的“组合函数”，
1 2
并说明理由；
（2）设函数y ＝x﹣p﹣2与y ＝﹣x+3p的图象相交于点P．
1 2
①若m+n＞1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
1 2
②若p≠1，函数y 、y 的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不
1 2
等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2022年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列判断正确的是（ ）
A．0＜ ＜1 B．1＜ ＜2 C．2＜ ＜3 D．3＜ ＜4
【分析】估算确定出 的大小范围即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2．
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
2．（3分）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
【分析】根据展开图直接判断即可．
【解答】解：根据展开图可以得出是四棱锥的展开图，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3
C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝5ab，符合题意；
B、原式＝3y2，不符合题意；
C、原式＝8a，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意．故选：A．
【点评】此题考查了整式的加减，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相
邻的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据题意可知：甲和乙相邻是必然事件，从而可以得到相应的概率．
【解答】解：由题意可知，
甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，
∴甲和乙相邻的概率为1，
故选：D．
【点评】本题考查概率的应用、必然事件，解答本题的关键是明确甲和乙相邻是必然事件．
5．（3分）已知点（﹣3，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）在下列某一函数图象上，且y ＜y ＜y ，那么这
1 2 3 3 1 2
个函数是（ ）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
【分析】根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y ，y ，y 之间的
3 1 2
关系，再判断即可．
【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y ＜y ＜y ，不符合题意；
1 2 3
B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y ＝y ，故不符合题意；
3 2
C．y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y ＜y ＜y ，
2 1 3
不符合题意；
D．y＝﹣ ，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y ＜y ＜
3 1
y ，符合题意；
2
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断y的大小．
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形
DEFG．设DE＝d ，点F、G与点C的距离分别为d 、d ，则d +d +d 的最小值为（ ）
1 2 3 1 2 3
A． B．2 C．2 D．4
【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，
故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d +d +d ＝EF+CF+AE，
1 2 3
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d +d +d 最小，
1 2 3
连接AC，
∴d +d +d 最小值为AC，
1 2 3
在Rt△ABC中，AC＝ AB＝2 ，
∴d +d +d 最小＝AC＝2 ，
1 2 3
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位
置上）
7．（3分）若x＝﹣3，则|x|的值为 3 ．
【分析】利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝﹣3，
∴|x|＝|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
8．（3分）正六边形的一个外角的度数为 6 0 °．
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关
键．
9．（3分）2022年5月15日4时40分，我国自主研发的极目一号Ⅲ型科学考察浮空艇升高至
海拔9032m，将9032用科学记数法表示为 9.032×1 0 3 ．
【分析】把9032表示成科学记数法即可．
【解答】解：9032＝9.032×103．
故答案为：9.032×103．
【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解本
题的关键．
10．（3分）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【分析】由题可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ
＝b2﹣4ac＞0；若一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0；若一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2﹣4ac＜0．
11．（3分）学校要从王静、李玉两同学中选拔1人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、
体育知识和旅游知识，并将成绩依次按4：3：3记分．两人的各项选拔成绩如表所示，则最
终胜出的同学是 李玉 ．
普通话 体育知识 旅游知识
王静 80 90 70
李玉 90 80 70
【分析】根据不同的权计算每个人的得分即可作出比较．
【解答】解：王静的成绩是：（80×4+90×3+70×3）÷（4+3+3）＝80（分），
李玉的成绩是：（90×4+80×3+70×3）÷（4+3+3）＝81（分），
∵81＞80，
∴最终胜出的同学是李玉．
故答案为：李玉．
【点评】本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式
是解题的关键．
12．（3分）一次函数y＝ax+2的图象经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是 x ＜ 1 ．
【分析】由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．
【解答】解：将点（1，0）代入y＝ax+2，
得a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2，
如图，
∴当y＞0时，x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次
函数的图象与性质是解答本题的关键．13．（3分）如图，PA与 O相切于点A，PO与 O相交于点B，点C在 上，且与点A、B不
重合．若∠P＝26°，⊙则∠C的度数为 3 2⊙ °．
【分析】连接AO并延长交 O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P＝
26°，求出∠AOP＝64°，由⊙圆周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．
【解答】解：如图，连接AO并延长交 O于点D，连接DB，
⊙
∵PA与 O相切于点A，
∴∠OA⊙P＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D＝ ∠AOP＝ ×64°＝32°，
∵点C在 上，且与点A、B不重合，
∴∠C＝∠D＝32°，
故答案为：32．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的
关键．
14．（3分）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不
走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ．【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，
故 走 两 步 后 的 落 点 与 出 发 点 间 的 最 短 距 离 为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（3分）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n（2 m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关
系为 b ＜ c ＜ a ．
【分析】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊
性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．【点评】本题考查不等式的性质，但是直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空
题不需要过程，所以特殊值代入法也是最好的选择．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、
AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 2 或 ．
【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当 DE＝CD+BE时，
DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．
【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，
当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，
∴∠BCO＝∠COD，
∴BC∥DE，
∴∠CBO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
则DE＝CD+BE，
设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝10，∴ ，即 ，
解得 ，
∴CD＝2，
过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，
∵点O为△ABC的内心，
∴OD＝OE′，
在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，
，
∴△ODD′≌△OE′E（ASA），
∴OE＝OD′，
∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+ ＝ ，
在△AD′E′和△ABC中，
，
∴△AD′E′∽△ABC，
∴ ，
∴ ，解得：AD′＝ ，
∴CD′＝AC﹣AD′＝ ，
故答案为：2或 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的内心，理解三角形内心的概念，掌握
相似三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算： ﹣ × ；
（2）按要求填空：
小王计算 ﹣ 的过程如下：
解： ﹣
＝ ﹣ ……第一步
＝ ﹣ ……第二步
＝ ……第三步
＝ ……第四步
＝ ．……第五步
小王计算的第一步是 因式分解 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第
三 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．
【分析】（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．
【解答】解：（1）原式＝3 ﹣
＝3 ﹣＝2 ；
（2） ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝
＝ ，
小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是
．
故答案为：因式分解，三， ．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，以及分式的加减法，熟
练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）农业、工业和服务业统称为“三产”，2021年泰州市“三产”总值增长率在全省
排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题．（1）2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是 2.8 %；若2019年“三产”总值为
5200亿元，则2020年服务业产值比2019年约增加 9 6 亿元（结果保留整数）．
（2）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的
说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由．
【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；用2019“三产”总值为5200亿元，分别乘
以服务产业的占比和2019至2020增长率即可；
（2）根据扇形统计图的作用可直接得出结论，意思对即可．
【解答】解：（1）2017﹣2021年农业产值增长率从小到大排列为：2.3%，2.7%，2.8%，2.8%，
3%，中间的数为2.8%，
故2017﹣2021年农业产值增长率的中位数是2.8%；
若 2019 年“三产”总值为 5200 亿元，则 2020 年服务业产值比 2019 年约增加：
5200×45%×4.1%≈96（亿元）；
故答案为：2.8；96；
（2）不同意，理由如下：
由2019年泰州市“三产”产值分布的扇形统计图可知，在2019年，服务业产值占比
45%，工业产值占比49%，
∴在2019年，服务业产值比工业产值低．
【点评】本题考查了折线统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．
19．（8分）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能
性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进
馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有6种可能性，其中恰好经过通道A与通道D的可能性有1种，
∴恰好经过通道A与通道D的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
20．（8分）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上
草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面
积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出
方程，再求解．
21．（10分）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【分析】（1）根据线段中点的定义可得 AD＝ AB，根据三角形的中位线定理可得
EF∥AB，EF＝ AB，从而可得EF＝AD，进而可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用
平行四边形的性质即可解答；
（2）当AF＝ BC时，四边形ADFE为矩形，再根据三角形的中位线定理可得DE＝ BC，
从而可得AF＝DE，然后利用（1）的结论即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝ AB，
∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝ AB，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：当AF＝ BC时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，
∵AF＝ BC，
∴AF＝DE，由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的角平
分线，中线和高，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．
22．（10分）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．
如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房
高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到
的水平地面上最远处 D 到他的距离 CD 是多少？（结果精确到 0.1m，参考数据：
sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【分析】连接MC，过点M作HM⊥NM，根据题意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝
∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，从而利用平行线的性质求出∠CMN＝62°，进而求
出∠CMH＝28°，然后在Rt△CMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
23．（10分）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F
都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射
线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接
OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与 O交于点M，
⊙
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝ EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴ ＝ ＝ ，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为 ；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t ＝8，t ＝9，
1 2
即t的值为8或9．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等
三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
24．（10分）如图，二次函数y ＝x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y ＝ （x＞
1 2
0）的图象相交于点B（3，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当y 随x的增大而增大且y ＜y 时，直接写出x的取值范围；
1 1 2
（3）平行于x轴的直线l与函数y 的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y
1 2
的图象相交于点E．若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图象直接得出结论即可；
（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE＝DE，进而确定
E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y ＝
1 2
（x＞0）的图像相交于点B（3，1），
∴32+3m+1＝1， ＝1，
解得m＝﹣3，k＝3，
∴二次函数的解析式为y ＝x2﹣3x+1，反比例函数的解析式为y ＝ （x＞0）；
1 2
（2）∵二次函数的解析式为y ＝x2﹣3x+1，
1
∴对称轴为直线x＝ ，
由图象知，当y 随x的增大而增大且y ＜y 时， ≤x＜3；
1 1 2
（3）由题意作图如下：∵当x＝0时，y ＝1，
1
∴A（0，1），
∵B（3，1），
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，
∵△ACE与△BDE的面积相等，
∴CE＝DE，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当x＝ 时，y ＝2，
2
∴E（ ，2）．
【点评】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数
的图象及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
25．（12分）已知：△ABC中，D为BC边上的一点．
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E．若AB＝5，BD＝9，DC＝6，求DE的长；
（2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA＝∠A；（保留作图痕迹，
不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF．若∠DFA＝∠A，△FBC的面积等于
CD•AB，以FD为半径作 F，试判断直线BC与 F的位置关系，并说明理由．
⊙ ⊙【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF＝∠ATD，射线DF交AC于点F，点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB
＝FR，由CF∥BR，推出S△CFB ＝S△CFR ＝ •AB•CD＝ •FR•CD，推出CD⊥DF，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝2；
（2）如图②中，点F即为所求．
解法二：过点D作AB的平行线交AC于点G，再以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AC
于点F（异于点G）．
∵AB∥DG，
∴∠A＝∠DGC，
∵DG＝DF，
∴∠DGF＝∠DFG，
∴∠DGC＝∠DFA＝∠A．
（3）结论：直线BC与以FD为半径作 F相切．
理由：作BR∥CF交FD的延长线于点R⊙，连接CR．∵AF∥BR，∠A＝∠AFR，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB＝FR，
∵CF∥BR，
∴S△CFB ＝S△CFR ＝ •AB•CD＝ •FR•CD，
∴CD⊥DF，
∴直线BC与以FD为半径作 F相切．
解法二：过点D作DE∥AB交⊙AC于点E．设△BCF的BC边上的高为h．
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠A，
∵∠A＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CED，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∵DE：AB＝CD：CB，
∴DE＝DF＝ ，
∵S△BCF ＝ •BC•h＝ •CD•AB，
∴h＝DF，
∴DF⊥BC，
∴直线BC与以FD为半径作 F相切．
⊙【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，
直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题
型．
26．（14分）定义：对于一次函数y ＝ax+b、y ＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）
1 2
（ma+nc≠0）为函数y 、y 的“组合函数”．
1 2
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y ＝x+1、y ＝2x﹣1的“组合函数”，
1 2
并说明理由；
（2）设函数y ＝x﹣p﹣2与y ＝﹣x+3p的图象相交于点P．
1 2
①若m+n＞1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
1 2
②若p≠1，函数y 、y 的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不
1 2
等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出
m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y ＝x+1、y ＝2x﹣1
1 2
的“组合函数”；
（2）①由 得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣
1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y 、y 的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p
1 2
﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函数y 、y 的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m
1 2
（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y
＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m
﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝ 时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y ＝x+1、y ＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
1 2
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y ＝x+1、y ＝2x﹣1的“组合函数”；
1 2
（2）①由 得 ，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y 、y 的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
1 2∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y 、y 的“组合函数”图象的上方，
1 2
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝ 时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位
置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y 、y 的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
1 2
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣
（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m＝ 时， x﹣ ＝0，
∴x＝3，
∴m＝ 时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一
次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．
