文档内容
21.1 一元二次方程
【考点归纳】
【知识归纳】
知识点一 一元二次方程的定义
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元
二次方程．
（2）注意以下3点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式．
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)．
其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
知识点三 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定
义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方
程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【题型探究】题型一：一元二次方程的判断
【例1】．（24-25九年级上·广东潮州）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知
数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程．据此进行分析即可．
【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．该方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．若 ，则 是一元二次方程；若 ，则 不是一元二次方程，故此选项不符合
题意；
D．该方程未知数最高次数是 ，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知
数的最高次数是2的整式方程．
依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义．
【详解】解：A、方程 ，展开可得 ，即 ，整理为
．它只含有一个未知数 ，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程；
B、方程 ，分母中含有未知数 ，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
、方程 ，当 时，方程变为 ，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以
该方程不一定是一元二次方程；D、方程 ，整理可得 ，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程．
故选：A．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）给出下列方程：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ．其中是一元二次方程的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念,理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键.
根据一元二次方程的定义解答,一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数
不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对六个方程进行验证.
【详解】解：①满足条件：仅含未知数 ，最高次数为2,且为整式方程,是一元二次方程.
②未明确 ,若 则最高次数变为一次,不符合条件.
③若 （即 ），则二次项系数为0，未知数最高次变为一次,无法确定.
④ 展开化简得： .
方程整理后,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程.
⑤ 展开化简得: .
方程整理后符合一元二次方程的定义,是一元二次方程.
⑥含分式 ,不是整式方程.
综上，仅①⑤符合条件,
故选：B.
题型二：一元二次方程的定义求参数问题
【例2】．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）若关于x的方程 是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式 （a，b，c是常数且
）是解题的关键．根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
．
故答案为：B．
【跟踪训练1】．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如 的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，
掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程 是一元二次方程，则
（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即 ，且 ，解出m的值即可．
【详解】解：由题意可知： ，且 ，
所以 且 ．所以 ．
故选：B．
题型三：一元二次方程一般形式
【例3】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、
一次项系数和常数项．(1) ．
(2) ．
(3) ．
【答案】(1) ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为1
(2) ，二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为6
(3) ，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为
【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
【详解】（1）解：整理，得 ，
故二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为1．
（2）整理，得 ，
故二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为6．
（3）整理，得 ，
故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）将下列方程化为二次项系数是“1”的一般形式后，一次项系数
和常数项都是正整数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方程 可化为 ，故A选项不符合题意；
方程 可化为 ，故B选项不符合题意；
方程 可化为 ，故C选项符合题意；方程 可化为 ，故D选项不符合题意．
故答案选C
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程 ．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项
系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
【答案】(1) ，方程的二次项为 ，一次项为 ，常数项为3，二次项系数为
，一次项系数为
(2)2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义．
（1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即 ，且 的形式，然后根据二
次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题；
（2）根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】（1）解：
移项、合并同类项，得 ，
∴方程的二次项为 ，一次项为 ，常数项为3，二次项系数为 ，一次项系数为 ；
（2）解：若方程是一元一次方程，则 ， ，
解得 ．
题型四：一元二次方程的解
【例4】．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的解，将 代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理方程的解的概
念及应用．
【详解】解：把 代入方程 得，
，解得： ，
故选： ．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则
m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把 代入一元二
次方程得到 ，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把 代入方程 得 ，
解得： ．
故选：C．
【跟踪训练2】．（2025·山东烟台·一模）若 是关于 的方程 的一个根，则关于 的方程
必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程 有一个根为 ，可得出关于
的一元二次方程 有一个根为 ，解之可得出x的值，此题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为 ，
∴关于 的一元二次方程 即 有一个根为 ，
即 ，
解得： ，
故选：A．
题型五：由一元二次方程的解求代数值
【例5】．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若m是方程 的一个根，则 的值为
（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于 的等式，再对所求式子进行变形，代入计算．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ．
∴
故选：C．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程 的一个根为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得 ，再整体代入代数式计算即
可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故选： ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程 的一个根，则
的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把
代入方程 得 ，再把 变形为 ，然后利用整体代入的方法
计算．【详解】解：把 代入方程 得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
题型六：一元二次方程的综合问题
【例6】．（25-26九年级上·全国）已知关于 的方程 ．
(1)当 __________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________．
(2)当 为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1) ，
(2)当 时，此方程为一元二次方程；
二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般
形式是解题的关键．
（1）根据题意可得 进而得到 的值，再将 的值代入求得此一元一次方程的根；
（2）根据题意可得 ，进而得到满足条件的 的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项
系数和常数项．
【详解】（1）解： 是一元一次方程，
解得 ，
，解得 ，
故答案为： ， ．
（2）解： 是一元二次方程，
，解得 ，故答案为：当 时，此方程是一元二次方程；
它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学
们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程 是一元二次方程
的倒方程，其中 为常数（且 ．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程 的倒方程是______；
(2)若 是一元二次方程 的倒方程的解，求出 的值；
(3)若 是一元二次方程 的倒方程的一个实数根，则 的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)2025
【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程 的倒方程为 ，把 代入即可得到c的值；
（3）根据题意得到方程 的倒方程为 ，再结合方程根的性质进一步解答即可．
【详解】（1）解：方程 的倒方程是； ；
故答案为： ；
（2）解：由题意得：方程 的倒方程为 ，
把 代入方程，
得 ，
∴
（3）解：由题意得：方程 的倒方程为 ，
∵m是方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ．故答案为：2025．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应任务．
方程 两边同时除以 ，得 ，即 ．
因为 ，
所以 ．
任务：
(1)已知方程 ，则 ____________．
(2)若 是方程 的根，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得 ，进而得到 ，再两边平方求解即可．
【详解】（1）解： ，
两边同时除以x（ ），得
，
∴ ，
故答案为：3；
（2）解：∵m是方程 的根，
∴ ，
两边同时除以 （ ），得
，
∴ ，∴ ，
∴
∴ ．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程 的一次项系数是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．
根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解．
【详解】解：一元二次方程 的一次项系数是 ．
故选：B
2．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）将方程 化为二次项系数为 的一般形式后，方程中的一次项
的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把方程 化成一般形式是 ，然后根据相关定义即可求解．
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是： （ ， ，
是常数且 ）特别要注意 的条件，其中 叫二次项， 叫一次项， 是常数项，其中 ， ， 分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程 化成一般形式是 ，
∴一次项系数为 ，
故选：A．
3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）已知3是方程 的一个根，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把 代入方程计算即可．【详解】解：∵3是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
4．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知 是方程 的根，则代数式 的值为（ ）．
A．6 B．9 C．14 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．
把 代入已知方程，求得 ，然后将其整体代入所求的代数式求值．
【详解】解：因为 是方程 的根，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程 中，a，b，c满足 和 ，
则方程的根是（ ）
A．0，4 B．0， C． ，4 D．1，4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
根据当 时， ；当 时， 作答即可．
【详解】解：∵把 代入 得： ，
∴方程的一个解是 ，
∵把 代入得： ，
∴方程的一个解是 ．
故选：C．
6．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可．
【详解】①方程 中，未明确说明 ，因此不一定是二次方程，排除．
②方程 含有分式，不是整式方程，排除．
③方程 含有两个未知数 和 ，是二元二次方程，排除．
④方程 展开后化简为 ，是一元一次方程，排除．
⑤方程 符合一元二次方程的定义，正确．
⑥方程 展开后为 ，是一元二次方程，正确．
综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个．
故选C．
7．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程 （a≠0）有一解为 ，则一元
二次方程 必有一解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解．
【详解】解：原方程 有一解 ，代入得 ．
将第二个方程 整理为： ，
，
令 ，则方程变为 ，
与原方程形式相同，则解相同．
则 ，即 ，解得 ．
因此，第二个方程必有一解为 ，
故选：A．
8．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程 满足 和 ，则
该方程的两个根分别为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解．
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
根据题目条件，将 和 代入方程验证，并结合方程根的定义求解．
【详解】已知方程 满足 和 ．
当 时，代入方程得 ，说明 是方程的根．
当 时，代入方程得 ，
说明 是方程的根．
因此，方程的两个根为 和 ．
故选：B．
二、填空题
9．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则a的
值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义．
将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可．
【详解】解：将 代入 得，
，
解得 或 ，
当 时， ，不符合题意，舍去，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）已知 是关于 的一元二次方程，则实数 的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一
元二次方程，据此求解即可．【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则代数式
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根
据一元二次方程的解，把 代入 可得到 ，然后利用整体代入的方法计算代数式
的值．
【详解】解：把 代入 得 ，则 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为
．
【答案】20
【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得： ，从
而可得 ，然后代入并进行计算，即可解答．
【详解】解： 是一元二次方程 的一个根，
，
，
，
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知 是关于 的方程 的一个根，则代数式
的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查一元二次方程的根的应用以及代数式的化简求值，求解出 的值是解决本题的关
键．将 代入方程可整理得到 的值，再整理代数式，为 ，由此可求．
【详解】解：已知 是方程 的根，
将 代入方程可得： ，即 ，
整理可得 ，
∴ ，
∴代数式 的值为4．
故答案为：4．
三、解答题
14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程 的根，求代数式 的
值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．
把 代入 ，得 ，再把 代入 ，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程 的根，
∴把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∵ ．
15．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于 的方程
(1) 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2) 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)当 时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为 ，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得： ，
．
当 时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得： ，
．
当 时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为 ，常数项为m.
16．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个
方程为“凤凰方程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“凤凰方程”，并说明理由；
(2)若关于 的方程 是“凤凰方程”，求 的值．
【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键．
（1）根据凤凰方程的意义进行计算即可；
（2）根据凤凰方程的意义得到关于 的方程计算即可．
【详解】（1）解： 是“凤凰方程”，理由如下：
， ， ，
，
是“凤凰方程”；
（2） 是关于 的“凤凰方程”， ， ， ，
，
解得： ．
17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）已知m是一元二次方程 的根，求下列各代数式的值：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)7
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，完全平方公式的应用，熟练应用整体代入法是解题的关
键．
（1）利用一元二次方程根的定义可得 ，进而得出 ，再利用多项式乘多项式计算
，将 作为整体代入即可；
（2）由 可得 ，将 变形为 ，进而通分，再将 代入求值即可．
【详解】（1）解： m是一元二次方程 的根，
，
，
；
（2）解： m是一元二次方程 的根，
，
，
