文档内容
21.1 一元二次方程
【考点归纳】
考点一：一元二次方程的判断
考点二：一元二次方程的定义求参数问题
考点三：一元二次方程一般形式
考点四：一元二次方程的解
考点五：由一元二次方程的解求代数值
考点六：一元二次方程的综合问题
【知识梳理】
知识点一 一元二次方程的定义
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元
二次方程．
（2）注意以下3点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式．
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)．
其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
知识点三 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定
义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方
程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【题型探究】
题型一：一元二次方程的判断1．（2024九年级上·江苏）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．
C． D．
3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：一元二次方程的定义求参数问题
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于 的方程 是一元二次方程，则 （ ）
A． 或 B． C． D．
5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 为任意实数
6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值是
（ ）
A．3 B． C．3或 D．
题型三：一元二次方程一般形式
7．（23-24九年级上·全国·单元测试）一元二次方程 化一般形式 后（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
8．（23-24九年级上·广东汕头·期末）方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．5，6，1 B．5， ， C．5，6， D．5， ，19．（23-24九年级上·浙江台州·期中）将方程 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，
一次项系数、常数项分别是（ ）
A． 、 B． 、10 C．8、 D．8、10
题型四：一元二次方程的解
10．（2024九年级上·全国·专题练习）若x=2是方程 的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
11．（2024·江苏南通·二模）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 的值
是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
12．（2024·山西阳泉·二模）已知关于 的一元二次方程 ，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方
程的一个根为 ，则一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
题型五：由一元二次方程的解求代数值
13．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为
（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
14．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程 的根，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
15．（23-24九年级上·河南漯河·期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式
的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
题型六：一元二次方程的综合问题
16．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，此方程为一元一次方程 并求出此方程的根．
(2)当 取何值时，此方程为一元二次方程 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．17．（2023·广东中山·三模）先化简，再求值： ，其中 是方程 的根．
18．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】
【定义】如果关于 的方程 （ 是常数）与 （ 是
常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 ， ，则这两个方程
互为“对称方程”．
【举例】求方程 的“对称方程”，这样思考：由方程 可知， ， ，
根据 ，求出 就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程 的“对称方程”是______；
(2)若关于 的方程 与 互为“对称方程”，求 的值．
【高分演练】
一、单选题
19．（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程 化成 的形式，则a，b的值分别是
（ ）
A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69
20．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）一元二次方程 有一个根是 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．321．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式
的值为（ ）
A． B． C．2023 D．2025
22．（2024·安徽滁州·模拟预测）若关于 的方程 （其中 ）的解是 ， ，且 满足
，则 的值是（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．
23．（2024·广东东莞·二模）如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的
值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，一元二次方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，
3，则方程 的两个根分别为（ ）
A． ，3 B． ，3 C． ，2 D． ，2
26．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，记 ，
，则 的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
二、填空题
27．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为 ．
28．（2024九年级上·广西·专题练习）若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则的值为
29．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则代数式 的
值为 ．
30．（2024·江苏南京·一模）已知m是方程 （n为常数）的一个根，代数式 的值是
．
31．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中一定是关于x
的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上）
32．（2024·湖南长沙·二模）若关于 的一元二次方程 （ ）的解是 ，则 的值是
．
三、解答题
33．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系
数和常数项．
(1) ；
(2) ；
(3)关于 的方程 ．
34．（24-25九年级上·全国）已知a，b是关于x的一元二次方程 的两根．
(1)求n的取值范围；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值．
35．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
36．（23-24九年级上·江苏苏州）先化简，再求值 其中 是方程 的根．37．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程 的两个根分别为 和 ，则有
和 ．
(1)已知 ， ，请构造一个以 ， 为根的一元二次方程（以 为未知数）；
(2)在（1）的条件下，求 的值．
38．（23-24九年级上·福建福州）请阅读下列材料：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别
是己知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ．
化简，得 ，故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)己知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为3， ，求一元二次方程
的两根．
