文档内容
24.2.1 确定圆的条件
【考点1 判断确定圆的条件】
【考点2 求能确定的圆的个数】
【考点3 确定圆心(尺规作图)】
【考点4 求三角形外心坐标】
【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】
知识点1 ：确定圆的条件
1.过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
【考点1 判断确定圆的条件】
【典例1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点
坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【变式1-1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配
到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式1-2】平面直角坐标系内的三个点 ， ， ， 确定一个
圆，（填“能”或“不能”）．
【变式1-3】正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆．【考点2 求能确定的圆的个数】
【典例2】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最
多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2-1】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以点 为圆心，1为半径作圆，
这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【变式2-2】如图，点A，B，C，D均在直线 上，点P在直线 外，则经过其中任意三个
点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【变式2-3】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，
最多可以作 个．
【考点3 确定圆心(尺规作图)】
【典例3】如图，已知线段 是 的一条弦．
(1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：若弦 ，圆心O到 的距离为4，求 的半径．【变式3-1】如图，已知点A、 、 不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、 、
三点的 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式3-2】如图，是一个圆拱形模型．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若弦 的长为 ，圆拱形的最大高度为 ，则圆拱形所在圆的半径为_____ ．
知识点2 ：三角形的外接圆与外心
1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【考点4 求三角形外心坐标】
【典例4】如图，点 、 、 都是格点， 外接圆的圆心坐标是（ ）A． B． C． D．
【变式4-1】如图，直角坐标系中 ， ， ，经过 ， ， 三点的圆，圆
心为 ，若线段 ，则点 与 的位置关系为（ ）
A．点 在 上 B．点 在 外 C．点 在 内 D．无法确定
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ，则 外接
圆的圆心 .
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是点 点
、点 ，则 的外心的坐标为 ．【考点5 求特殊三角形外接圆的半径】
【典例5】如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的外接圆（保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作外接圆的半径 ．
【变式5-1】如图，在 中， ．
(1)求作： 的外接圆 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ， ，求 的面积．
【变式5-2】已知 ， ， 是 的三边长，且 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 外接圆的半径．【变式5-3】已知：在 中， ， ．
(1)找到 的外心，画出 的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过
程）
(2)若 的外接圆的圆心O到BC边的距离为8， ，请求出 的面积．
一、单选题
1．已知⊙O的直径是10，OP=8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
2．有下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的
外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，
能画圆的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．弦的垂直平分线必经过圆心
5．如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－
1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
8．在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外接圆的半径为（ ）
A．1.△5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm
二、填空题
9．边长为3cm、4cm、5cm的三角形的外接圆半径等于 cm．
10．已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ．
11．如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使
A,B,C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是 ．
三、解答题
12．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,3)，B(0,1)，C(4,1)．(1)画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△ADE，则点D的坐标为______；
(2)请在图中作出△ADE的外接圆，并写出圆心M的坐标．
13．作图题
如图，在△ABC中，已知AB=AC．
(1)尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）
(2)连接OB，OC；若∠A=45°，BC=3❑√2，求OB的长．
14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°
(1)求证：AB=BC；
(2)如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段
AC的长．15．【探索发现】有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去
覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把
Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．
【理解应用】我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操
作探究解决下列问题：如图2．在△ABC中， A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角
形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40° ，AB=2❑√3，请求出△ABC
的最小覆盖圆的半径．
