文档内容
24.2.1 点和圆的位置关系 导学案
学习目标
1 理解与掌握点与圆的位置关系及其运用．
2 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．
3 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
重点难点突破
★知识点1： 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
1）d＜r <=> 点P 在⊙O内
2）d=r <=> 点P＇在⊙O上
3）d＞r <=> 点P＇＇在⊙O外
★知识点2： 三角形的外接圆的概念：
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外接圆的
圆心叫做这个三角形的外心.
核心知识
一、点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
1）d____r <=> 点P 在⊙O内
2）d____r <=> 点P＇在⊙O上
3）d____r <=> 点P＇＇在⊙O外
二、三角形的外接圆的概念：
经过三角形_________的圆叫做三角形的外接圆.这个_________叫做这个圆的内接三角形.三角形外接
圆的__________叫做这个三角形的外心.
引入新课
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆
（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？新知探究
【问题一】观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？并对这六个点进行分类？
【问题二】设⊙O半径为r，你知道点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系吗？
【问题三】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设⊙O的
半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
1）d____r <=> 点P 在⊙O内
2）d____r <=> 点P＇在⊙O上
3）d____r <=> 点P＇＇在⊙O外
【问题四】通过今天的学习，你发现了什么？
典例分析
例1 ⊙O的半径为10cm，点A、点B、点C到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、点B、点C与
⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
【针对训练】
1.已知⊙O的面积为25π：
1）若PO=5.5，则点P在 ；
2）若PO= 4 ，则点P在 ；3）若PO= ，则点P在圆上；
4）若点P不在圆外，则PO__________．
2.设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，
则点P在__________.
3.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相
等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、
F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H
C．G、H、E D．H、E、F
4.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
5.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ❑√3 ，则点P在（ ）
A.在大圆内 B.在小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
例2 一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
【针对训练】
1.在同一平面内，在⊙O外有一个定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
新知探究
【问题一】平面上有一点A ，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
【问题二】平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？圆心在哪里？
【问题三】平面上有三点A、B、C，经过已知点A、B 、C的圆有几个？圆心在哪里？【提问一】通过预习，你能说出三角形的外接圆的概念吗？
【提问二】
1）如右图，⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________.
2）一个三角形的外接圆有几个？
3）一个圆的内接三角形有几个？
4）你知道三角形外心的性质吗？
【试一试】请做出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？
典例分析
例3 判断：
1)经过三点一定可以作圆.（ ）
2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.（ ）
3)三角形的外心到三边的距离相等.（ ）
4)等腰三角形的外心一定在这个三角形内.（ ）
5)已知圆心和半径可以作一个圆.（ ）
6)经过一个已知点A的圆能做无数个.（ ）
7)经过两个已知点A，B的圆能做两个.（ ）
8)经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆.（ ）
例4 如图，已知 ⏜ ，试确定 ⏜ 所在的圆的圆心.
AB AB
A B
【针对训练】1.如图，CD 所在的直线垂直平分线段AB，怎么用这样的工具找到圆形工件的圆心？
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ________，半径是 ________
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、−2），则△ABC外
接圆的圆心坐标是( )
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
探究新知
【问题一】经过同一条直线上的三个点A，B，C能做出一个圆吗？如何证明你的结论？
【问题二】简述反证法的一般步骤？
典例分析例5 已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【针对训练】
1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°
2.求证：等腰三角形的底角必为锐角．
3.用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A 60°，∠B 60°，∠C 60°，
则∠A+∠B+∠C＞ ．
这与 相矛盾．
∴ 不成立．
∴ ．
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l ∥l ，l ，l 都被l 所截．
1 2 1 2 3
求证：∠1+∠2=180°．
证明：假设∠1+∠2 180°，
∵l ∥l ，∴∠1 ∠3，
1 2
∵∠1+∠2≠180°
∴∠3+∠2 180°，这与 矛盾，
∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2=180°；
感受中考
1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其
中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角
小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内
角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个
内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，
AC=❑√2，则⊙O的半径是 ．
5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，
C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也
是O的三角形都写出来 ．
课堂小结
1.简述点与圆的位置关系？2.简述三角形的外接圆和三角形外心的概念？
【参考答案】
引入新课
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆
（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
射击点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，射击点离靶心越近，
它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.
新知探究
【问题一】观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？并对这六个点进行分类？
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
点在圆外：点A、点C
点在圆上：点B
点在圆内：点D、点E、点F
【问题二】设⊙O半径为r，你知道点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系吗？
点A在圆内，则OA < r；点B在圆上，OB = r；点C在圆外，OC > r
【问题三】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设⊙O的
半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
1）d__<__r <=> 点P 在⊙O内2）d__=__r <=> 点P＇在⊙O上
3）d__>__r <=> 点P＇＇在⊙O外
【问题四】通过今天的学习，你发现了什么？
1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系.
2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，
反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
3）圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；
圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.
典例分析
例1 ⊙O的半径为10cm，点A、点B、点C到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、点B、点C与
⊙O的位置关系是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点C在 圆外 .
【针对训练】
1.已知⊙O的面积为25π：
1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ；
2）若PO= 4 ，则点P在 圆内 ；
3）若PO= 5 ，则点P在圆上；
4）若点P不在圆外，则PO_____≤5_____．
2.设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，
则点P在____圆上______.
3.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相
等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、
F、G、H四棵树中需要被移除的为（ A ）
A．E、F、G B．F、G、H
C．G、H、E D．H、E、F
4.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
小明和小丽投出的铅球分别落在图中④、③内
5.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ❑√3 ，则点P在（ D ）A.在大圆内 B.在小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
例2 一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( B )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
【针对训练】
1.在同一平面内，在⊙O外有一个定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（ B ）
A．3 B．4 C．5 D．6
新知探究
【问题一】平面上有一点A ，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
【问题二】平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？圆心在哪里？
能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.
【问题三】平面上有三点A、B、C，经过已知点A、B 、C的圆有几个？圆心在哪里？
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.圆心在这两条垂直平分线的交点O的位置.
【提问一】通过预习，你能说出三角形的外接圆的概念吗？
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
【提问二】
1）如右图，⊙O叫做△ABC的__外接圆_， △ABC叫做⊙O的___内接三角形______.
2）一个三角形的外接圆有几个？一个
3）一个圆的内接三角形有几个？无数个
4）你知道三角形外心的性质吗？
它到三角形的三个顶点的距离相等
【试一试】请做出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？典例分析
例3 判断：
1)经过三点一定可以作圆.（ × ）
2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.（ √）
3)三角形的外心到三边的距离相等.（ × ）
4)等腰三角形的外心一定在这个三角形内.（ × ）
5)已知圆心和半径可以作一个圆. √
6)经过一个已知点A的圆能做无数个.（ √ ）
7)经过两个已知点A，B的圆能做两个.（ × ）
8)经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆.（ √ ）
例4 如图，已知 ⏜ ，试确定 ⏜ 所在的圆的圆心.
AB AB
A B
【针对训练】
1.如图，CD 所在的直线垂直平分线段AB，怎么用这样的工具找到圆形工件的圆心？2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 (5,2)，半径是 __2❑√5______
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、−2），则△ABC外
接圆的圆心坐标是( D )
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
探究新知
【问题一】经过同一条直线上的三个点A，B，C能做出一个圆吗？如何证明你的结论？
1）假设经过同一条直线上L上的A,B,C三点可以作一个圆.
2）设这个圆的圆心为P，那么点P 即在l1上，也在l2上，即点P为l 与l 的交点.（l1是线段AB的垂直
1 2
平分线，l2是线段BC的垂直平分线）
3）而l⊥l1， l⊥l2这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.
所以经过同一条直线上的三个点不能作圆.【问题二】简述反证法的一般步骤？
1）假设命题的结论不成立；
2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
典例分析
例5 已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ D ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【针对训练】
1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（ A ）
A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°
2.求证：等腰三角形的底角必为锐角．
【详解】证明：如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
假设等腰三角形的底角不是锐角，则为钝角或者直角，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCA
∵∠ABC，∠BCA为钝角或直角，
∴∠ABC+∠BCA≥180°这与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立，
∴等腰三角形的底角必为锐角．
3.用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A 60°，∠B 60°，∠C 60°，
则∠A+∠B+∠C＞ ．
这与 相矛盾．
∴ 不成立．
∴ ．
【答案】>，>，>，180°，内角和为180°，假设，求证的命题正确．
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l ∥l ，l ，l 都被l 所截．
1 2 1 2 3
求证：∠1+∠2=180°．
证明：假设∠1+∠2 180°，
∵l ∥l ，∴∠1 ∠3，
1 2
∵∠1+∠2≠180°
∴∠3+∠2 180°，这与 矛盾，
∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2=180°；
【答案】≠；=；≠；平角为180°；≠．
感受中考
1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以
点 A为圆心， r为半径作圆，当点C在⊙A内且点 B在⊙A外时，r的值可能是
（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任
意三个点，最多可画出圆的个数为（ D ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内角的
和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角
小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（ A ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=❑√2，
则⊙O的半径是 1 ．
5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，
D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O
的三角形都写出来 △ A DC 、△ A DB 、△ B DC ．
