文档内容
第 41 讲 法拉第电磁感应定律的应用二
学习目标
明 确目标 确定方向
1. 电磁感应的动力学问题
2. 电磁感应的能量问题
3. 电磁感应的动量问题
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
重难点辨析
一动力学分析问题
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大或最小的条
件。具体思路如下：
二电磁感应能量问题分析
(1)能量转化
――→――→
(2)求解焦耳热Q的三种方法
2．电能求解的三种思路
(1)利用克服安培力求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
(2)利用能量守恒或功能关系求解；
(3)利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来计算。
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律列式求解。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素养
多选【例1】．如图所示，平行金属导轨与水平面成 角，用导线与固定电阻 和 相连，匀强磁场垂直
穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为m，两导轨间距为l，导体棒的电阻与固定电阻 和 的阻值相
等，都等于R，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为 ，导体棒αb沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，
有（ ）
A．棒中感应电流的方向由a到b B．棒所受安培力的大小为
C．棒两端的电压为 D．棒中的感应电流大小为
【答案】AC
【详解】A．根据右手定则判断得知，棒中感应电流的方向由a到b，故A正确；
BD．ab棒产生的感应电动势为
整个电路的总电阻为
根据闭合电路欧姆定律得，通过ab棒的感应电流大小
棒所受安培力的大小为
故BD错误；C．棒两端的电压为
故C正确。
故选AC。
多选【例2】．如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道
间距为d、轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中。质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a
静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上。现给金属棒a一水平向右的
初速度v，经过一段时间两金属棒达到稳定状态。已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接
0
触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒b稳定时的速度大小为
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为
D．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
【答案】BD
【详解】A．稳定时回路磁通量不变，需要b的速度 是a的速度 的2倍，取向右为正方向，对a、b棒
分别列动量定理方程：
解得
即b稳定时的速度为 ，故A错误；
B．对a,由动量定理即
解得整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为
故B正确
C．由电荷量的计算公式有
其中 ，解得整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为
故C错误
D．根据能量守恒定律
其中 ，解得整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为
故D正确
故选BD。
【例3】．如图所示，P、Q、M、N为四个互相平行的竖直分界面，间距均为d=1m，P、Q之间充满竖直
向上的匀强磁场，M、N之间充满竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B=1T。在分界面P的左侧
有一边长为L=1.5m的正方形线框abcd，线框水平放置，ab边平行于分界面P，与界面P的距离也为
d=1m。线框以水平初速度v=4m/s飞出，当ab边刚好到达分界面Q时，线框的速度大小仍为v=4m/s。已
0 0
知线框由同种规格导线制成，总质量为m=1kg，总电阻为R=3Ω，重力加速度为g取10m/s2。求
（1）ab边刚好进入分界面P时，a、b两点间的电势差大小以及线框加速度的大小；
（2）ab边刚好到达分界面Q时，线框产生的焦耳热以及下落的距离；
（3）改变磁感应强度，若想线框最终能竖直下落，求磁感应强度的最小值。【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3
【详解】（1）导体棒切割磁感线
a点电势高于b点电势，则由串联电路电压的关系有
根据欧姆律
所受安培力
F安=BIL=3N
根据牛顿第二定律
解得
（2）ab边从分界面P运动到分界面Q，由法拉第电磁感应定律，电路中产生的感应电动势
根据欧姆定律
对线框abcd由动量定理得解得
又根据题意有
而竖直方向上有
所以下落的高度
由于动能没增加，所以根据能量守恒定律得
解得
（3）线框最终能竖直下落的临界条件为cd边运动到分界面N时水平速度为零，此时磁感应强度最小。从
开始进入磁场到最终出磁场过程中，线圈中有感应电流的阶段为：
①ab边切割，运动的水平距离为d
②cd边切割，运动的水平距离为
③ab边、cd边都切割，运动的水平距离为
④ab边切割，运动的水平距离
⑤cd边切割，运动的水平距离为d
一个边切割的总水平距离为 ，此过程中安培力的冲量为
两个边同时切割的总水平距离为 ，此过程中安培力的冲量为
对线框abcd水平方向全程应用动量定理得解得
【例4】．某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置
（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保
回路电流I恒定，方向如图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电
杆以上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小 （其中k为常
量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小 ，方
向与B 相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v 进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度
1 0
恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距 ，导电杆电阻为R。导电
杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程
中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。【答案】（1）3Mg； ；（2） ；（3） ； ；（4）
装置A可回收火箭的动能和重力势能；
【详解】（1）导体杆受安培力
方向向上，则导体杆向下运动的加速度
解得
a=-2g
导体杆运动的距离
（2）回路的电动势
其中
解得
（3）右手定则和欧姆定律可得：
可得
电源输出能量的功率在 时间内输出的能量对应 图像的面积，可得：
（4）装置A可回收火箭的动能和重力势能；从开始火箭从速度v0到平台速度减为零，则
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．如图甲所示是一种振动发电装置的示意图，一个半径 m、匝数 匝的线圈套在永久磁铁槽
中，槽中磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布（其右侧视图如图乙所示），线圈所在位置磁感应强度B的
大小均为 ，线圈的电阻 Ω，它的引出线接有 Ω的小灯泡L， 为理想交流电流
表。当线圈框架的P端在外力作用下沿轴线做往复运动，便有电流通过灯泡。若线圈往复运动的规律如图
丙所示（v取向右为正），则下列判断正确的是（ ）
A．电流表的示数为0.24A
B．0.015s时，灯泡L中电流的方向为从C→L→D
C．0.01s时，回路中消耗的总功率为0.24W
D．0.01s时，回路中的电流最大【答案】B
【详解】A．由 及 图像可知，线圈往复运动所产生的感应电流为正弦式交流电，则
电流的有效值
故A错误；
C．0.01s时，回路中消耗的总功率为
故C错误；
D． 时， ，可知电动势为零，根据欧姆定律可知电流为零，故D错误；
B． 时，由右手定则可知，电流方向为 ，故B正确。
故选B。
2．如图所示的天平可用来测定磁感应强度B。天平的右臂下面挂有一个电阻为R的矩形线圈，线圈宽为
L，共N匝，线圈的下部悬在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面。当线圈中通有电流I时，在天平左、右两边
加上质量各为 、 的砝码，天平平衡。当电流反向（大小不变）时，右边再加上质量为m的砝码后，
天平重新平衡。若在此时剪断细线，矩形线圈将由静止下落，经一段时间，线圈的上边离开磁感应强度为
B的匀强磁场前瞬间的速度为v，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．B大小为
B．B大小为C．剪断细线后，线圈上边刚离开磁场前产生的感应电动势为
D．线圈离开磁场前瞬间，感应电流的电功率
【答案】B
【详解】AB．设线圈的质量为 ，根据受力平衡可得
解得
故A错误，B正确；
C．剪断细线后，线圈上边刚离开磁场前产生的感应电动势为
故C错误；
D．由闭合回路欧姆定律可得
感应电流的电功率为
故D错误。
故选B。
多选3．如图，相距 的水平虚线间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 。磁场上方
有一质量为 、电阻为 、边长为 的正方形线框 ，线框距磁场上边界 处由静止释放， 边刚进
入磁场时的速度与 边刚出磁场时的速度相等。线框向下运动的过程中，线框平面始终与磁场垂直且
边保持水平，已知重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ）A．线框 边刚要进入磁场时，线框的速度大小为
B．线框 边刚要出磁场时，线框的加速度大小为
C．线框进入磁场的过程中，安培力的冲量大小为
D．线框穿过磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为
【答案】AD
【详解】A．从释放到cd刚进磁场，有
解得
从cd刚进磁场到ab刚进磁场，有
从ab刚进磁场到cd刚出磁场，有
解得ab刚进磁场的速度
故A正确；
B．cd边刚进入磁场时的速度与cd边刚出磁场时的速度相等，由对称性可知ab边刚进、刚出磁场时的速度
v 也相同，ab边进磁场到cd边出磁场在重力作用下加速，则cd边进磁场到ab边进磁场为减速才能使cd
2
边刚进、刚出磁场速度相同；ab边刚出磁场时有
解得故B错误；
C．线框进入磁场的过程中，设向下为正，有
故C错误；
D．线框穿过磁场的过程中，由能量守恒
解得
故D正确。
故选AD。
多选4．如图所示， 和 是竖直放置的两根平行光滑金属导轨，导轨足够长， 间接定值电阻 ，
金属杆 保持与导轨垂直且接触良好。杆 由静止开始下落并计时，杆 两端的电压 、杆 所受安培
力的大小 随时间 变化的图像，以及通过杆 的电流 、杆 加速度的大小 随杆的速率 变化的图
像，合理的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】C．设杆长为L，杆下落过程中切割磁感线产生的感应电流大小为
故C错误；
D．根据牛顿第二定律有
即
故D正确；
B．杆所受安培力的大小为
杆下落过程中先做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度保持不变，所以安培力随速度先增大，
后不变，最终大小为mg，故B错误；
A．导体杆两端的电压为
速度先增大，后不变，所以U先增大，后不变，故A错误。
故选D。
多选5．2022年6月17日，我国在新一代战列舰上配备了电磁轨道炮，其原理可简化为如图所示（俯视
图）装置。两条平行的水平轨道被固定在水平面上，炮弹（安装于导体棒ab上）由静止向右做匀加速直线
运动，到达轨道最右端刚好达到预定发射速度v，储能装置储存的能量恰好释放完毕。已知轨道宽度为d，
长度为L，磁场方向竖直向下，炮弹和导体杆ab的总质量为m，运动过程中所受阻力为重力的k（ ）
倍，储能装置输出的电流为I，重力加速度为g，不计一切电阻、忽略电路的自感。下列说法正确的是（
）A．电流方向由b到a
B．磁感应强度的大小为
C．整个过程通过ab的电荷量为
D．储能装置刚开始储存的能量为
【答案】BD
【详解】A．导体杆ab向右做匀加速直线运动，受到的安培力向右，根据左手定则可知，流过导体杆的电
流方向由a到b，故A错误；
B．导体杆ab向右做匀加速直线运动，根据运动学公式可得
根据牛顿第二定律可得
又
联立解得磁感应强度的大小为
故B正确；
C．整个过程的运动时间为
整个过程通过ab的电荷量为故C错误；
D．由于不计一切电阻、忽略电路的自感，根据能量守恒可知，储能装置刚开始储存的能量为
故D正确。
故选BD。
多选6．如图所示，导体棒沿两平行金属导轨从图中位置以速度v向右匀速通过一正方形abcd磁场区域，
ac垂直于导轨且平行于导体棒，ac右侧的磁感应强度是左侧的2倍且方向相反，导轨和导体棒的电阻均不
计，下列关于导体棒中感应电流和所受安培力随时间变化的图像可能正确的是（规定电流从M经R到N为
正方向，安培力向左为正方向）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】AB．当导体棒从b点运动到ac的过程中，设到b点的距离为x，导体棒切割磁感线的有效长度为
解得
感应电动势为感应电流为
解得
感应电流的大小与时间成正比；根据楞次定律，感应电流的方向为正方向；安培力的大小为
解得
安培力F与时间t是二次函数，根据左手定则，安培力的方向为正方向；
同理可得，当导体棒从ac运动到d点的过程中，感应电流与时间仍然是一次函数，导体棒切割磁感线的有
效长度减小，感应电流减小，根据 ，磁感应强度变为原来的2倍，感应电流的最大值也变为原
来的2倍；根据楞次定律，感应电流的方向为负方向；A正确，B错误；
CD．同理可得，当导体棒从ac运动到d点的过程中，安培力F与时间t仍然是二次函数，根据左手定则，
安培力的方向为正方向；导体棒切割磁感线的有效长度减小，感应电流减小，安培力减小；根据
，磁感应强度变为原来的2倍，安培力的最大值变为原来的4倍，C正确，D错误。
故选AC。
多选7．如图所示，有两根和水平方向成 角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够
长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下。
经过足够长的时间，金属杆的速度趋近于一个最大速度 ，则（ ）A．如果B增大， 将变大 B．如果α变大， 将变大
C．如果R变大， 将变大 D．如果m变大， 将变大
【答案】BCD
【详解】当加速度为零时，速度最大，则有
又
解得
可知，如果B增大， 将变小；如果α变大， 将变大；如果R变大， 将变大；如果m变大， 将变
大。
故选BCD。
多选8．如图所示，两条足够长的光滑平行导轨MN， 水平放置，导轨间距为L=1m，电阻不计，两导
体棒a、b静置于导轨上，导体棒a的电阻不计，b棒的阻值为R=1Ω，单刀双掷开关1接电容为C=0.5F的
电容器上，初始状态，电容器不带电。电容器的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场 ，电容器左侧有垂
直纸面向外的匀强磁场 ，导体棒a通过细线跨过光滑滑轮与竖直悬挂的重物A相连，已知重物
A、两导体棒a、b三者的质量均为m=1kg。现将开关S置于1位置，释放重物A，同时开始计时，时断开开关S， 时将开关S置于2位置，导体棒b开始运动； 时刻两导体棒的加速度大
小相等。重力加速度 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 时刻导体棒a的速度为
B． 时刻导体棒a的速度为
C． 时刻导体棒a的加速度为
D． 时刻回路消耗的热功率为25W
【答案】AD
【详解】A．对导体棒a，根据牛顿第二定律
根据
，
联立解得
时刻导体棒a的速度
故A正确；
B．断开开关S后，不受安培力
时刻导体棒a的速度为故B错误；
CD．开关S置于2位置， 时刻导体棒a的加速度
导体棒b的加速度
解得
回路消耗的热功率为
故C错误D正确。
故选AD。
多选9．如图甲所示，一正方形单匝金属线框放在光滑水平面上，水平面内两条平行直线MN、QP间存在
垂直水平面的匀强磁场， 时，线框在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外
力F随时间t变化的图线如图乙实线所示，已知线框质量 ，电阻 ，则（ ）
A．磁场宽度为4m
B．匀强磁场的磁感应强度为1T
C．线框穿过QP的过程中产生的焦耳热等于4J
D．线框穿过MN的过程中通过导线内某一横截面的电荷量为0.5C
【答案】AD
【详解】A． 时刻，线框的加速度为第 末后直到第 末这段时间内，拉力 恒定为 ，此时线框在磁场中不受安培力，可知磁场宽度
为
故A正确；
B．设线框的边长为 ，则进磁场的过程，从 内的位移为
当线框全部进入磁场前的瞬间有
其中
联立解得
故B错误；
C．设线框穿过QP的初末速度分别为 、 ，线圈全程做匀加速直线运动，则
由动能定理有
而可得
即线框穿过OP的过程中产生的焦耳热大于4J，故C错误；
D．线框穿过MN的过程中通过导线内某一横截面的电荷量为
故D正确。
故选AD。
10．如图所示，与水平方向成夹角 的两平行金属导轨BC、B'C'，左端连接水平金属轨道 ，
右端用绝缘圆弧连接水平金属导轨CD、C'D'，并在轨道上放置静止的金属导体棒b。在水平轨道末端安装
绝缘的无摩擦固定转轴开关，导体棒b经过 两点（无能量损失），进入半径 与水平面垂直的
半圆形导轨。转轴开关会顺时针转动 以挡住后面的金属棒。 两点略高于 ，可无碰撞通过。半圆
形导轨与足够长的水平金属导轨HG、 平滑连接，末端连接 的电容器。已知轨道间距为
， a、b棒质量均为1kg，a电阻为 ，b电阻不计，BC、B'C'平面，CD、C'D'平面，HG、H'G' 平面
内均有垂直于该平面的磁场B=1T，不计一切摩擦，导轨电阻不计， g＝10m/s2。现将导体棒a自BB'静止
释放，运动至CC'前已匀速。求：
（1）导体棒a匀速下滑时速度；
（2）CD、C'D'水平金属导轨足够长，要求a、b棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰撞，则b初始位
置至少应离CC'多远；
（3）b过DD'后，转轴开关将a挡住，则b在轨道HG、H'G' 滑行的最终速度。【答案】（1）12m/s；（2）12m；（3）6m/s
【详解】（1）对a匀速运动时受力分析，根据共点力平衡，有
解得
根据闭合电路欧姆定律，有
又
E=Bdv1
可得
v1＝12m/s
（2）a滑上CD、C′D′后与b动量守恒，规定向右为正方向，则
解得
对b根据动量定理，有
又因为电荷量与平均电流的关系，有可得
则b初始位置至少应离CC′12m。
（3）b进入圆轨道时，因为
故b沿轨道做圆周运动至GG′，由
可得
v3＝12m/s
对b分析，此过程根据动量定理有，
又因为电容器储存的电量
且
U=Bdv
可得b在轨道HG、H'G' 滑行的最终速度
代入数据有
v＝6m/s
11．如图甲所示，一对足够长的平行金属导轨固定在水平面内，左端接有 电阻，装置在 的竖
直向下的磁场中。质量 、电阻 的导体棒 在外力作用下沿光滑导轨向右做初速为零、加
速度 的匀加速直线运动，导体棒 的长度与金属导轨的宽度相等，皆为 ，金属导轨电阻
不计。求：
（1）当导体棒的速度达到5m/s时， 之间的电势差 ；
（2）当导体棒的速度达到5m/s时，外力做功的瞬时功率P；
（3）写出安培力随时间变化的表达式，并在乙图中画出 内 图线；（4）导体棒在运动的最初10s内，通过电阻R的电量q。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ；（4）
【详解】导体棒ab切割磁感线，其等效电路如图
（1）当导体棒的速度达到5m/s时，其感应电动势
金属棒ab之间的电势差
（2）由闭合电路欧姆定律有导体棒所受的安培力
导体棒匀加速运动，由牛顿第二定律
外力做功的瞬时功率
（3）导体棒所受安培力
得
其函数表达式为
图像如图所示
（4）由
可得导体棒中电流随时间均匀变化，得最初10s通过电阻R的电量
12．如图所示，在倾角为 的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场区域I、II，两个区域磁场方向相反且
都垂直于斜面，磁感应强度大小均为 ，MN、PQ、EF为两磁场区域的理想边界，两个区域的宽度
MP和PE均为 。一个质量为 、电阻 、边长也为 的正方形导线框，从磁场区
域上方某处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚进入磁场区域I时，线框恰好做匀速运动；当ab边下滑到
磁场区域II的中间位置时，线框又恰好做匀速运动， 。求：
（1）ab边刚进入磁场区域I时的速度 ；
（2）当ab边刚进入磁场区域II时，线框加速度的大小与方向；
（3）线框穿过磁场I过程中产生的热量Q。
【答案】（1）4m/s；（2） ，方向沿斜面向上；（3）
【详解】（1）ab边刚进入磁场区域I时
解得
v1=4m/s
（2）当ab边刚进入磁场区域II时，ab和cd同时切割磁感线对线框
解得
方向沿斜面向上。
（3）ab边在磁场区域II中，线框匀速时速度为v2
解得
线框穿过磁场I过程，由能量守恒得
解得
