文档内容
第 23 讲 功和功率
学习目标
明 确目标 确定方向
1. 功的理解和计算
2. 区分瞬时功率和平均功率
3. 机车启动
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一．功
1定义：力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式：W＝Flcos_α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间的夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负
（1）α<90°力对物体做正功
（2）α>90°力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
（3）α＝90°力对物体不做功
二．功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
第二部分重难点辨析
一．功的计算
1．恒力做功的计算方法：直接用W＝Flcos α计算
2．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
3．变力做功常用方法
(1)应用动能定理求解．
(2)机车类问题中用P·t求解，其中变力的功率P不变．(3)常用方法还有转换法、微元法、图象法、平均力法等．
二、机车启动问题
1、 以恒定功率启动
(1)运动过程分析
(2)运动过程的速度—时间图象 如图所示。
2、 以恒定加速度启动
(1)运动过程分析
(2)运动过程的速度—时间图象如图所示。
3．两种启动方式的比较
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动Pt图和vt图
OA
过程 v↑⇒F＝↓ a＝不变⇒F不变
段
分析 ⇒a＝↓ ⇒P＝Fv↑直到P
额
＝Fv
1
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
OA
运动 加速度减小的加速直线
段 匀加速直线运动，维持时间t＝
0
性质 运动
过程 F＝F 阻⇒a＝0 v↑⇒F＝↓
AB
分析 ⇒v
m
＝ ⇒a＝↓
段
运动
以v匀速直线运动 加速度减小的加速运动
m
性质
F＝F 阻⇒a＝0⇒
BC段 无
以v＝匀速运动
m
【 典例分析 】 精 选例题 提高素养
多选【例1】．武汉轨道交通5号线是武汉第一条采用全自动驾驶模式运行的地铁线路，是连接武昌区至
青山区的主要交通干线之一，2021年12月26日上午9时56分开通运营。一名乘客上车后，在列车开动前
从车的后端加速向前端跑动，设此时人受的摩擦力为 ，车厢受到的摩擦力为 ；列车开动后，在一段
平直轨道运行时，他站在列车最前方欣赏隧道内风景，对车厢壁施加水平推力F。下列说法正确的是（
）A． 、 均不做功
B．当车减速前进时，人对车做的总功为正功
C．当车加速前进时，人对车做的总功为正功
D．当车匀速前进时，人对车做的总功为正功
【答案】AB
【详解】A． 、 作用点的位移均为零，所以均不做功，故A正确；
BCD．当车减速前进时，人所受合外力向后，车厢对人的作用力向后，根据牛顿第三定律可知人对车厢的
作用力向前，与速度方向相同，对车做的总功为正功；当车加速前进时，人所受合外力向前，车厢对人的
作用力向前，则人对车厢的作用力向后，与速度方向相反，对车做的总功为负功；当车匀速前进时，人所
受合外力为零，车厢对人的作用力在水平方向分量为零，人对车厢的作用力的水平分量也为零，对车做的
总功为零，故B正确，CD错误。
故选AB。
【例2】．如图所示，建筑工地常使用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，设定某打桩机每次打击过程对
圆柱体做功相同，圆柱体所受泥土阻力f与进入泥土深度h成正比（即 ，k为常量），圆柱体自重
及空气阻力可忽略不计，打桩机第一次打击过程使圆柱体进入泥土深度为 ，则打桩机第n次打击过程使
圆柱体进入泥土深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，阻力f与深度h成正比，其 图像，如图所示对于力—位移图像来说，其图像与坐标轴围成的面积等于力所做的功，每次打桩机对圆柱体做的功相同，
如图所示可得，每次围成的面积相同，根据边长比的平方等于面积比，有
整理得
故选D。
【例3】．在篮球课上，某同学先后两次投出同一个篮球，两次篮球均垂直打在篮板上，第二次打在篮板
上的位置略低一点，假设两次篮球出手位置相同，打到篮板前均未碰到篮圈，不计空气阻力，则（ ）
A．两次篮球打在篮板的速度大小相等
B．第二次篮球在空中上升的时间较长
C．两次投篮，该同学对篮球做的功可能相等
D．两次篮球被抛出后瞬间，篮球重力的功率相等
【答案】C
【详解】B．根据逆向思维，可以将篮球的运动看为逆方向的平抛运动，根据
解得由于第二次打在篮板上的位置略低一点，则其竖直高度小一点，即第二次篮球在空中上升的时间较短，B
错误；
A．篮球水平方向做匀速运动
根据
解得
根据上述可知，第二次篮球在空中上升的时间较短，则第二次篮球打在篮板的速度较大，A错误；
C．篮球出手时的速度
根据上述可知，第二次篮球在空中上升的时间较短，第二次篮球打在篮板的速度 较大，则两次篮球出手
时的速度可能大小相等，根据
可知，两次投篮，该同学对篮球做的功可能相等，C正确；
D．篮球被抛出后瞬间，篮球重力的功率大小为
根据上述，第二次篮球在空中上升的时间较短，则第二次篮球被抛出后瞬间，篮球重力的功率较小，D错
误。
故选C。
【例4】．动车组又称“动车组列车”，为现代火车的一种类型，由若干带动力的车辆（动车）和不带动
力的车辆（拖车）组成，列车在正常使用期限内以固定编组模式运行。某动拖比（动车与拖车的数量之
比）为 的动车组以速率 沿直线轨道匀速行驶，为了提速，将动拖比提高为 ，若提速前后每节动车
匀速行驶时的功率均为 ，动车组行驶中受到的阻力 与行驶速度的平方 成正比，则该动车组提速后的
最大速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】拖比（动车与拖车的数量之比）为 时
将动拖比提高为 时，设最大速度为 ，则有
联立解得
故C正确，ABD错误。
故选C。
【巩固练习】 举 一反三 提高能力
1．物体在大小为F与水平方向夹角为θ的拉力作用下沿水平向右发生了一段位移，位移大小为l，物体
与水平面间的摩擦力大小为f，设此过程拉力对物体做功为W，摩擦力对物体做功为W，合力对物体做功
1 2
为W ，下列说法正确的是（ ）
合
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．此过程拉力对物体做功为 ，A错误；
B．摩擦力对物体做的功为 ，B错误；
CD．合力的功为C错误，D正确。
故选D。
2．金山铁路上运行的CRH6F型动车组列车共8节车厢，通常采用4动4拖模式运行（其中4节是动力车
厢）。设列车运行过程中的阻力与其速率成正比，每节动车均以相等的额定功率运行，若列车在平直的轨
道上采用4动4拖模式匀速行驶的速率为v，某时刻改为采用1动7拖模式后，列车的速率v随时间t的变
0
化关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设每节动车的功率为P，每节车厢受阻力为f，若列车在平直的轨道上采用4动4拖模式匀速行驶
的速率为v0，则
4P=8fv0=8kv02
若某时刻改为采用1动7拖模式后，功率变为P，则根据P=Fv可知，此时牵引力小于阻力，动车组做减速
运动，随速度的减小，牵引力变大，根据
8f-F=8ma
可知，加速度减小，当加速度减为零时，则
P=8fv′=8kv′2
则
故选B。
3．为了更好适应市场需求，长安公司推出某新能源纯电版汽车，该电动汽车的质量为 、其电池每次充
满电后的总电能为 。某次汽车电池电能耗尽时，采用直流充电桩对汽车进行充电，充电的平均电
流为 、平均电压为 ，需要用时 才能将电池充满电。当汽车在平直道路上以 的额定输出
功率行驶，其最大车速为 ，重力加速度 取 ，假设汽车所受阻力与汽车的速率成正比。根据以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．当汽车电池电能耗尽后，直流充电桩对汽车的充电效率为92%
B．当汽车的输出功率减半，汽车在平直道路上行驶时的最大车速也会减半
C．若汽车以额定输出功率行驶，当车速为 时，汽车的加速度约为
D．若汽车以额定输出功率行驶，当车速为 时，汽车的加速度为
【答案】C
【详解】A．当汽车电池电能耗尽后，直流充电桩对汽车的充电效率为
故A错误；
B．由题意，汽车以最大速率行驶时所受的阻力大小为
汽车以最大速率行驶时的输出功率为
当汽车的输出功率减半时，汽车在平直道路上行驶时的最大车速会变为原来的 ，故B错误；
CD．若汽车以额定输出功率行驶，当车速为 时，汽车的加速度大小为
故C正确，D错误。
故选C。
4．如图所示，一小电动机用轻绳通过动滑轮将一重物由静止开始以2m／s2的加速度匀加速向上提起。已
知重物的质量为1kg，重力加速度g=10m／s2，不计滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦，运动过程中滑轮未碰
到天花板，小电动机的最大输出功率P=60W，则重物匀加速运动持续的时间和重物能获得的最大速度分别
为（ ）
A．2 s，10m/s B．2.5 s，6m/s C．2 s，6m/s D．2.5 s，12m/s【答案】B
【详解】重物由静止开始以2m／s2的加速度匀加速向上提起，由牛顿第二定律可得
2F−mg=ma
代入数据解得
F=6N
绳获得的最大速度
重物匀加速运动持续的时间，由速度时间公式可得
此后重物做加速度减小的加速运动，直到2F＇=mg时，绳子的最大速度为
重物运动的最大速度为
ACD错误，B正确。
故选B。
5．新能源汽车具有广阔的发展前景，主要优点是低能耗、轻污染。某新能源汽车生产厂家为了测试一款
新能源汽车的性能，司机驾驶该汽车以恒定的加速度由静止开始沿平直的公路行驶，达到发动机额定功率
后保持功率不变，最终匀速行驶。假设汽车所受的阻力不变，则汽车的速度v、加速度a、牵引力F、发动
机的功率P随时间t的变化规律正确的是（ ）
A． B．C． D．
5【答案】C
【详解】A．由题意可知汽车以恒定的加速度启动，则汽车先做匀加速直线运动，A错误；
BC．汽车的牵引力恒定不变，当汽车的功率等于额定功率时汽车的匀加速直线运动结束，此后汽车保持恒
定的功率不变，由 可知汽车的速度增大，汽车所受的牵引力减小，由牛顿第二定律有
故汽车的加速度逐渐减小，当汽车的加速度减为零，即牵引力等于阻力时，汽车的速度大小最大，此后汽
车开始匀速直线运动，B错误，C正确；
D．汽车做匀加速直线运动时
， ，
整理得
则该阶段P关于t的图像为一条过原点的倾斜直线，汽车的功率达到额定功率时，汽车的功率恒定不变，D
错误；
故选C。
6．我国新能源电动汽车越来越受到大众的喜爱。一款电动家用轿车在某次测试中先匀加速启动达到额定
功率后以额定功率继续加速运动。测得轿车由静止加速到30m/s时间仅为3s，则轿车在该段时间内
（ ）
A．牵引力不断增大 B．位移大于
C．平均速度为 D．匀加速阶段的加速度为
【答案】B
【详解】A．先匀加速启动，牵引力保持不变，然后牵引力减小，故A错误；
B．若汽车一直做匀加速运动位移为
在恒定加速度启动过程中 图像如图所示面积表示位移，故位移大于 ，故B正确；
C．位移大于 ，故平均速度大于 ，故C错误；
D．若一直匀加速，加速度为
故机车启动匀加速阶段加速度不等于 ，故D错误。
故选B。
7．福建平潭长江澳风力发电场如图所示，每台风力发电机的叶片转动时可形成半径为r的圆面，风向可视
为垂直于圆面。强风季节的风速为v，空气密度为 ，发电机将风的动能转化为电能，效率为 ，则（
）
A．发电机的电功率表达式为
B．若半径变为原来的2倍时，功率变为原来的4倍
C．若风速变为原来的2倍时，功率变为原来的4倍
D．若一年中强风时间延长到2倍，发电量增加到4倍
7【答案】B
【详解】A．在时间t内通过叶片的空气质量为m，有
发电机的电功率为A错误；
BC．根据前面分析可知若半径变为原来的2倍时，功率变为原来的4倍；风速变为原来的2倍时，功率变
为原来的8倍，B正确，C错误；
D．根据公式 ，可知若一年中强风时间延长到2倍，发电量增加到2倍，D错误。
故选B。
8．在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为 ，半径
为 ，转动一周为 ，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
8【答案】C
【详解】AB．驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过
程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作
用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长
所以拉力所做的功
故AB错误；
C．根据功率的定义得
故C正确；
D．线速度为故D错误。
故选C。
9．铁锹、斧头、锄头是常用农具，其长柄多为木制。为其安装木制手柄的过程基本一致，以斧头为例对
该过程进行简化：距地面一定高度，金属头在上，用手抓住手柄向下快速砸向地面，手柄碰到地面立即停
止运动，反复4次，金属头“砸入”手柄的总深度为d。已知金属头所受阻力与其进入手柄的深度成正
比，每次动作完全相同，全程认为斧头只有竖直方向运动。则第一次金属头“砸入”手柄的深度为
（ ）
A． B． C． D．
9【答案】A
【详解】金属头所受阻力与进入深度关系如图所示
由此可知，金属头砸入手柄的前一半深度与后一半深度过程中，阻力做功之比为 1:3，因每次动作完全相
同，可知金属头每次“砸入”手柄的初动能一致，则第一次“砸入”手柄的深度为 。
故选A。
10．人直接用F的力匀速提升重物，所做的功是W；若人使用滑轮匀速提升该重物到同一高度，人的拉力
1 1
为F，所做的功是W。则下列说法正确的是（ ）
2 2
A．F一定大于F
1 2
B．F一定小于F
1 2
C．W一定大于W
2 1
D．只有F大于F，W才大于W
2 1 2 1
10【答案】C
【详解】AB．用F1直接匀速提升重物时，有当使用滑轮匀速提升该重物时，由于不确定该滑轮为动滑轮还是定滑轮，所以无法判断拉力F2与物体重力
的大小关系。即无法确定F1和F2之间的大小关系。故AB错误。
CD．用F1直接匀速提升重物时，拉力做功为
用拉力F2提升重物时，拉力还需要克服摩擦力等做功，所以拉力做功为总功，即有
所以
故C正确，D错误。
故选C。
11．如图所示为某款磁吸式车载手机支架，手机支架本身具有磁性，在手机背面贴上贴片后，手机放在支
架上后便会被牢牢吸住，两者始终保持相对静止，给司机带来很大方便。若手机面向司机按如图所示角度
放置，汽车在水平路面上（ ）
A．静止时，手机受到三个力的作用
B．沿直线加速前进时，支架对手机的力的方向竖直向上
C．沿直线匀减速前进时，手机受到的合力不断减小
D．沿直线匀速前进时，摩擦力对手机做正功，支持力对手机做负功
11【答案】D
【详解】A．如图甲所示，汽车在水平路面上处于静止状态，手机受力平衡，受到重力 mg、支架的支持力
N、摩擦力f以及磁片的吸引力F四个力的作用，故A错误；
B．如图乙所示，汽车在水平路面上沿直线加速前进时，支架对手机的力 和手机的重力mg的合力 指
向前进的水平方向，故支架对手机的力 不可能竖直向上，故B错误；C．汽车做匀减速直线运动时，手机的加速度为一定值，故其合力 也为定值，故C错误；
D．如图丙所示，汽车做匀速直线前进时，摩擦力方向与位移方向夹角为锐角，故摩擦力对手机做正功，
支持力方向与位移方向夹角为钝角，故支持力对手机做负功，故D正确。
故选D。
12．如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为
，水的密度为 ，重力加速度为 ，不考虑水面高度的变化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设浸入的深度为x，则浮力的大小为
可见浮力与进入水中的位移成正比。则克服浮力做的功为
故选B。
多选13．2021年3月28日，洛阳地铁1号线正式通车，千年古都进入“地铁时代”。假设一列地铁列车
的质量为m=200t，牵引电机的额定总功率为P = 2000kW，该列车在平直的轨道上启动过程中的速度-时间
图像如图所示，0~t时间内的图像为倾斜直线，t~ t时间内的图像为曲线，t时刻之后的图像为水平直
1 1 2 2线。若这列地铁运动过程中所受阻力大小恒定，t时刻的速度v= 10 m/s， t时刻的速度v= 20m/s，t~
1 1 2 2 1
t这段时间内列车通过的位移为1200m，t时刻牵引电机的功率达到额定功率且保持不变。则下列判断正
2 1
确的是（ ）
A．t= 20s
1
B．t= 90s
2
C．列车运动过程中所受的阻力大小为1.0×105N
D．列车启动过程中的最大加速度为1m/s2
【答案】AC
【详解】C．t2时刻之后，列车开始做匀速运动，此时阻力与牵引力大小相等，可得列车运动过程中所受
的阻力大小为
故C正确；
D．t1时刻列车牵引力大小为
根据牛顿第二定律可得列车启动过程中的最大加速度为
故D错误；
A．由运动学公式可得故A正确；
B．对t1~t2时间内的列车根据动能定理可得
解得t2=95s，故B错误。
故选AC。
多选14．动车由若干带动力的车厢和不带动力的车厢组成，一列质量为m的动车共有10节车厢，其中3节
车厢提供动力，每节动力车厢提供的功率均相等。这列动车以恒定的功率P在平直轨道上匀速行驶，某一
时刻，其中的一节动力车厢失去动力，已知该车阻力f保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．其中的一节动力车厢失去动力的瞬间动车开始做减速运动
B．其中的一节动力车厢失去动力后匀速运行的最大速度为
C．其中的一节动力车厢失去动力的瞬间动车的牵引力会立即减小
D．其中的一节动力车厢失去动力的瞬间动车的速度会立即减小
【答案】AC
【详解】ACD．动车有3节车厢提供动力，每节动力车厢提供的功率均相等，动车以恒定的功率 P在平直轨
道上匀速行驶时，则每节动力车厢提供 的功率，动力与阻力相等，当其中的一节动力车厢失去动力的
瞬间，动力瞬间减小为原来的 ，动车的恒定功率瞬间减为 ，速度不能突变，阻力f保持不变，则动力
小于阻力，动车开始减速，故A、C正确，D错误；
B．当其中的一节动力车厢失去动力后，动车的恒定功率为 ，当动车再次匀速运动时，动力等于阻力，
由公式
可知：其中的一节动力车厢失去动力后匀速运行的最大速度为
故B错误。
故选AC。
多选15．在跳远比赛中，某运动员先后两次从同一地点起跳，运动轨迹分别如图中①、②所示，若不考虑空气阻力的影响，该运动员可视为质点，则对该运动员先后两次运动，下列说法正确的是（ ）
A．在空中的运动时间第一次大于第二次
B．起跳过程中做的功第一次大于第二次
C．着地时重力的瞬时功率第一次大于第二次
D．运动过程中重力的平均功率第一次大于第二次
【答案】AC
【详解】A．运动时间由竖直方向的最大高度决定，第一次的高度大于第二次，则该运动员在空中运动的
时间第一次大于第二次，故A正确；
B．第一次的水平位移大于第二次的水平位移，但两次运动对应的水平速度大小无法确定，则无法确定两
种情况下起跳速度的大小，根据功能关系，也就无法确定前后两次起跳运动员做功的多少，故B错误；
C．着地时重力的瞬时功率，只与着地瞬间竖直方向的瞬时速度大小有关，而着地瞬间竖直速度第一次大
于第二次，则着地时重力的瞬时功率第一次大于第二次，故C正确；
D．整个运动过程中，重力做功为零，两次重力做功的平均功率都为零，则D错误。
故选AC。
多选16．如题图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成。如题图乙为提
水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m=2kg的水，辘轳绕绳轮轴半径为r=0.1m，水斗的质量为
0.5kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化
规律如题图丙所示，g取 ，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为v=0.4t
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P=10t
C．0~10s内水斗上升的高度为4m
D．0~10s内井绳拉力所做的功为520J
【答案】AD【详解】A．根据图像可知，水斗速度
A正确；
B．井绳拉力瞬时功率为
又由于
根据上述有
则有
P=10.4t
B错误；
C．根据图像可知，0~10s内水斗上升的高度为
C错误；
D．根据上述
P=10.4t
0~10s内井绳拉力所做的功为
D正确。
故选AD。
