文档内容
第 24 讲 动能和动能定理的应用
学习目标
明 确目标 确定方向
1.掌握动能的概念，会求动能的变化量.
2.掌握动能定理，并能在实际问题中熟练应用．
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一．动能
1．定义：物体由于运动而具有的能．
2．公式：E＝mv2，v为瞬时速度，动能是状态量．
k
3．单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2.
4．矢标性：动能是标量，只有正值．
5．动能的变化量：ΔE＝E－E＝mv－mv.
k k2 k1
二．动能定理
1．内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化．
2．表达式：W＝ΔE＝mv－mv.
k
3．物理意义：合外力的功是动能变化的量度．
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．
第二部分重难点辨析
一．应用动能定理的注意事项
1动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
2应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程的草图，借
助草图理解物理过程之间的关系。
3当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，
也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。
4列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以确
定。
二、动能定理的图像问题--四类图像所围面积的含义
vt图 由公式x＝vt可知，vt图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移
at图 由公式Δv＝at可知，at图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量
Fx图 由公式W＝Fx可知，Fx图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功
Pt图 由公式W＝Pt可知，Pt图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】．一辆新能源汽车在平直高速公路上开启高速导航辅助驾驶功能，使汽车以 匀速行驶，行驶中
保持最大输出功率 不变，当发现前方有施工限速时，自动系统立即减小输出功率到 并保持不变，经过
t时间汽车速度恰好达到限速值，并以此速度匀速运动。已知汽车质量为m，不计功率减小的时间，汽车行
驶中阻力不变，汽车在减速过程的位移大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由于汽车以 匀速行驶，行驶中保持最大输出功率 不变，则有
经过t时间汽车速度恰好达到限速值，并以此速度匀速运动，则有
在此过程有
解得
【例2】．某科技小组制作的轨道如图所示，它由水平轨道和在竖直平面内的很多个光滑圆形轨道组成。
滑块的质量为m=0.1kg，滑块与第一个圆轨道最低点及相邻圆轨道最低点之间距离均为L=6m，圆轨道的
半径分别为R、R、R…（图中只画了三个轨道，滑块可视为质点），滑块与水平轨道间的动摩擦因数为
1 2 3μ=0.1，开始时，滑块以初速度v=10m/s向右运动，滑块均恰好能在每个竖直轨道内做完整的圆周运动，g
0
取10m/s2，求∶
（1）滑块运动到第一圆轨道最低点时对轨道的压力为多大；
（2）滑块总共经过几个圆轨道。
【答案】（1） 6N；（2） 8
【详解】（1）设滑块运动到第一圆轨道最低点时的速度为v1，根据动能定理得
，
根据牛顿第二定律有
，
小球恰好做圆周运动，在最高点
，
从最低点运动到最高点根据动能定理有
，
联立解得
FN=6N
根据牛顿第三定律，滑块运动到第一圆轨道最低点时对轨道的压力为6N。
（2）设在水平轨道上运动的总距离为x，根据能量守恒有：
解得
x=50mn只能取整数，故
n=8
【例题3】如图所示，AB、CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部B、C分别与一个光滑的圆弧面的两
端相切，圆弧圆心角为120°，半径R为2.0 m，一个物体在离弧底E高度为h＝3.0 m处，以初速度v＝4.0
m/s沿斜面运动，若物体与两斜面间的动摩擦因数均为0.02，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共运动
的路程是多少？(g取10 m/s2)
【答案】280 m
【解析】两个斜面的下部B、C分别与光滑的圆弧面相切，圆心角为120°，所以可得出斜面的倾角为θ＝
60°，物体在斜面上所受到的滑动摩擦力为F＝μmgcos 60°＝0.02×mg＝0.01mg。
f
重力沿斜面的分力G′＝mgsin 60°＝mg＞F，所以物体不能停留在斜面上。
f
物体在斜面上滑动时，由于摩擦力做功，物体的机械能逐渐减小，物体滑到斜面上的高度逐渐降低，物体
最终将在B、C间做往复运动。设物体在斜面上运动的总路程为s，对全过程应用动能定理得mg[h－R(1－
cos 60°)]－μmgscos 60°＝0－mv2，解得s＝280 m。
【例4】．质量为m=0.1kg的可看成质点的小滑块由静止释放，下落h=0.8m后正好沿切线方向进入半径为
R=0.2m的 光滑圆弧。
（1）求滑块刚进入圆弧C点时的速度大小；
（2）如果小滑块运动到水平面上与A接近的B点时速度为 ，求滑块对水平面的压力；
（3）设水平面的动摩擦因数为 ，则小滑块停止运动时距A多远？【答案】（1）4m/s；（2）1N；（3）5m
【详解】（1）小物块由静止释放，做自由落体运动，根据
可得
（2）小物块从开始运动到圆弧最低点 的过程中，只有重力做功，则机械能守恒，根据机械能守恒定律
有
代入数据解得
由于
则小物块运动到B点时，处在水平面上，设地面对小物块的支持力为 ，根据平衡条件有
根据牛顿第三定律可知，滑块对水平面的压力为 。
（3）设小物块停下的位置距A点的距离为 ，根据动能定理有
代入数据解得
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．承德的转盘滑雪机为我国自主原创、世界首例的专利产品。一名运动员的某次训练过程中，转盘滑雪
机绕垂直于盘面的固定转轴以角速度 顺时针匀速转动，质量为 的运动员在盘面上离转轴
半径上滑行，滑行方向与转盘转动方向相反，在最低点的速度大小为 ，滑行半周到最高点的速
度大小为 ，该过程中，运动员所做的功为 ，已知盘面与水平面夹角为 ，g取 ，
， ，则该过程中运动员克服阻力做的功为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】运动员在最低点的对地速度为 ，在最高点的对地速度为 ，根据动能定理可得
又
解得
故选C。
2．体育课上，喜欢打篮球的李同学迅速跳起，在最高点时以一定的速度将质量为m的篮球抛出，如图所
示，篮球被抛出位置距离地面高度为h，距离篮球框的水平距离为x，篮筐距离地面的高度为H，当篮球竖
直速度刚好为零时，篮球刚好到达篮筐，然后篮球与球框碰撞，碰撞后速度大小变为碰前的0.5倍，不计
空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小李同学扔球时对篮球做的功为
B．小李同学扔球时对篮球做的功为C．篮球落地点距离篮筐的水平距离为
D．篮球从抛出到落地的时间为
【答案】A
【详解】AB．篮球在竖直速度刚好为零时落进篮筐，根据逆向思维，篮球做平抛运动，则
， ，
小李对篮球做的功
，
联立解得
故A正确，B错误；
C．篮球与篮筐碰撞后的速度大小为碰前的 ，碰后至落地的时间
所以篮球落地点距离篮筐的水平距离
故C错误；
D．篮球从抛出到落地的时间为 ，故D错误。
故选A。
3．如图所示，轨道MON动摩擦因数处处相同，其中ON水平，OM与ON在O处平滑过渡（物块经过O
速率不变），将一小物块从倾斜轨道上的M点由静止释放，滑至水平轨道上的N点停下。现调大斜面倾
角，把斜面调至图中虚线OJ位置，为使物块从斜轨上某处由静止释放后仍然在N点停下，则释放处应该
是（ ）A．J点 B．J点与K点之间某一点
C．K点 D．Q点
【答案】D
【详解】设物块初始位置到水平轨道的高度为h，物块初始位置到O点的水平距离为x，从M到N，根据
动能定理可得
即
当h增大时，x增大；h减小时，x减小。
故选D。
4．某跳台滑雪赛道简化为如图所示模型，AB为直道，BCD为半径为R的圆弧道，两滑道在B点平滑连
接，圆弧道与水平地面相切于C点，CD段圆弧所对的圆心角为θ=60°，不计一切摩擦，一个小球从直道上
离地面高为H处由静止释放，小球从D点飞出后上升到的最高点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球由A点运动到D点过程，由动能定理有
小球飞出D后做斜抛运动，到达最高点的速度
小球由A点运动到斜抛的最高的过程，由动能定理有解得
A正确，BCD错误。
故选A。
5．一足够长的长木板倾斜固定，一可视为质点的滑块由长木板的底端以初速度 冲上长木板，经过一段
时间返回底端，整个过程中损失的动能为初动能的一半。如果滑块冲上长木板瞬间的速度大小为 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．两次滑块在长木板上运动的时间之比为
B．两次滑块克服摩擦力做功之比为
C．两次返回长木板底端的速度之比为
D．第二次返回斜面底端的动能为初动能的
【答案】A
【详解】A．由题意可知，两次沿滑块沿长木板向上运动和向下运动的加速度大小均相同，由公式
可知两次沿长木板向上滑动的最大距离为 ；由公式 可知两次滑块上滑的时间之比为 ，又由公
式 可知两次滑块下滑的时间之比为1：2，则两次滑块在长木板上运动的时间之比为 ，A正确；
B．滑块在长木板上克服摩擦力做的功为
则两次滑块克服摩擦力做功之比为 ，B错误；
CD．滑块在长木板上运动的过程中，初速度为 时，由动能定理得
初速度为 时，滑块的初动能为 ﹐由动能定理得又
返回长木板底端时的动能为
则两次返回长木板底端的动能之比为 ，速度之比为 ，CD错误。
故选A。
多选6．某工厂因为要运送大量货物而建有很多不同样式的斜面，现将其理想化成如图甲和图乙的模型。
图甲由三条高度相同的斜面和一条水平面组成，图乙由三条高度不相同的斜面和一条水平面组成，假设物
体与所有接触面的动摩擦因数都相同。物体分别从图甲和图乙中不同斜面最高点静止释放，且都能沿斜面
下滑。水平面足够长，下列说法中正确的有（ ）
A．图甲中物体最后停下来的位置不同
B．图甲中物体最后停下来的位置相同
C．图乙中物体最后停下来的位置不同
D．图乙中物体最后停下来的位置相同
【答案】BC
【详解】AB．图甲中令斜面倾角为 ，斜面高于长分别为h、L，物体在水平面上运行的长度为x1，停止运
动的位置距离释放点的水平距离为x甲，则有
解得
可知，图甲中物体最后停下来的位置相同，A错误，B正确；
CD．根据上述，由于物体释放点的高度不同，则图乙中物体最后停下来的位置不同，C正确，D错误。
故选BC。
多选7．某同学利用如图甲所示的装置，探究滑块a上升的最大高度，忽略一切阻力及滑轮和细绳的质
量。起初物块a放在地面上，物块b距地面的高度为h，细绳恰好绷直，现静止释放物块b，物块b碰地后不再反弹，测出物块a上升的最大高度H，每次释放物块b时，确保物块a在地面上，改变细绳长度及物
块b距地面的高度h，寻找多组（H，h），然后做出 的图像（如图乙所示），测得图像的斜率为k，
已知物块a、b的质量分别为 、 。则（ ）
A．物块a、b的质量之比
B．物块a、b的质量之比
C． 图像的斜率k的取值范围是
D． 图像的斜率k的取值范围是
【答案】BC
【详解】AB．物块 的上升过程分为两个阶段，第一阶段为在物块 释放后，在绳子拉力的作用下加速上
升，与此同时物块 加速下降，速率与物块 相同，第二个阶段为物块 落地后，物块 在自生重力的作用
下减速上升直至最高点。则第一阶段对整体由动能定理有
第二阶段对物块 由动能定理有
联立以上两式可得
结合图像可得可知
故A错误，B正确；
CD．要将物块 拉起，则有
对物块 ，则有
可得
因此有
即
故C正确，D错误。
故选BC。
多选8．如图所示，质量为m的物块从斜面上h高处由静止下滑，恰好停在水平面上的C点。已知斜面及
水平地面与物块间的动摩擦因数处处相同，不计物块经过B点处的能量损失，现使物块返回A点，第一种
方式是在C点给物块一个初速度 ，物块恰好能到达A点；第二种方式是给物块施加一方向始终平行于接
触面的拉力F，使物块缓慢运动到A点，拉力F做功为 。若将斜面 换作半径为h、与水平地面相切
于B点的四分之一圆弧轨道，物块从圆弧轨道顶点A静止下滑也恰停在C点，仍由以上两种方式使物块返
回A点时，初速度与外力F做功分别为 、 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】AB
【详解】A．由能量守恒定律知，从A到C摩擦力做功为
当 间是斜面时，第一种方式时由动能定理有
由于从A到C与从C到A物块在经过每一个相同位置时摩擦力相同，有
解得
A正确；
B．第二种方式有
同理 ，可得
B正确；
C．当 间是圆弧面时，对第一种方式，从B到C与从C到B摩擦力做功仍相同，但在圆弧面上从A下滑
与从B上滑到距A为 的同一点时，由于下滑时
上滑时
可见经过同一点时速度 ，则在下滑过程中物块经过圆弧面上每一点时所需向心力小、压力小、摩擦
力小，则下滑过程中在圆弧面上克服摩擦力所做功小于上滑过程中克服摩擦力做的功，故 ，而对
从C到A的过程有可得
C错误；
D．同理对第二种方式，上滑时速度近似为零，在圆弧面上同一点摩擦力小于下滑时的摩擦力，则上滑过
程中克服摩擦力所做功 ，而从C到A有
所以有
D错误。
故选AB。
多选9．如图所示，某质量为 的工件静止于粗糙水平面上的 点，机械手臂可在 、 之间对工件施加
恒力 。最终工件停止于 点， 、 间的距离为 ， 大小恒定，与水平面间的夹角 可调
。当 时， 、 之间的距离为 ，调整 ，可使 、 间的距离最大为 。若重力加速度为 ，工
件与水平面间的滑动摩擦因数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】当 时，由题意，根据动能定理可得
当B、C间距离最大时，同理，根据动能定理可得两式联立解得
，
故选BC。
多选10．如图，水平面上间距为L的A、B两点处固定有两竖直弹性挡板，在距离A处挡板 处有一质量
为m的小球P，某时刻小球P获得一水平向右的瞬时冲量I，小球向右运动将与B处挡板碰撞，设小球每次
与两挡板碰撞都没有机械能损失，最终小球停在出发点。水平面上粗糙程度处处相同，则小球受到的摩擦
力大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】根据动量定理可得小球的初速度为
由动能定理有
结合题意有
联立解得
故AC错误；BD正确。
故选BD。
多选11．如图所示，水平轨道AB与固定在竖直平面内的半圆形轨道BC相连，小滑块静止放在A点，某
时刻给小滑块施加一个水平向右的拉力F，当小滑块运动到水平轨道末端B时撤去拉力F，小滑块沿圆弧
轨道运动到最高点C后做平抛运动，在水平轨道上的落点位于A，B之间。已知A，B之间的距离是圆弧半径的3倍，所有摩擦忽略不计，则拉力F与小滑块的重力之比可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】小滑块能通过C点，则有
即
由C点离开半圆形轨道后落在A、B之间，有
x=vCt<3R
联立解得
则
对小滑块从A点到C点应用动能定理
联立解得
故BD正确，AC错误。
故选BD。12．如图所示，固定的光滑半圆柱面ABCD与粗糙矩形水平桌面OABP相切于AB边，半圆柱面的圆弧半
径R=0.4m，OA的长为L=2m。小物块从O点开始以某一大小不变的初速度v 沿水平面运动，初速度方向
0
与OA方向之间的夹角为θ。若θ=0°，小物块恰好经过半圆弧轨道的最高点。已知小物块与水平桌面间的
滑动摩擦因数μ=0.1，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）初速度v 的大小；
0
（2）若小物块沿半圆弧运动的最大高度为h=0.4m，求夹角θ的余弦值。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小物块恰好经过半圆弧轨道的最高点，则
从O点到最高点，由动能定理可得
联合解得
（2）小物块沿半圆弧运动的最大高度为
h=0.4m=R
此时小物块仅有沿AB方向的水平速度 ，竖直方向速度为零，设小物块在圆弧轨道最低端时的速度为
，则
从圆弧轨道最低端到最大高度过程由动能定理可得从O点到圆弧轨道最低端过程由动能定理可得
联合解得
13．某滑雪场的滑道可抽象为如图的模型，倾角为53°的倾斜直滑道AB、水平直滑道CD与光滑竖直圆弧
滑道BC相切，斜面DE的倾角为37°。O 为圆弧滑道BC的圆心，圆弧半径R＝10m，C点为圆弧滑道的最
1
低点，半径OB与OC的夹角为53°。滑雪板与CD段直滑道间的动摩擦因数为μ＝0.2。一运动员从最高处
1 1
A点由静止沿斜面AB滑下，经圆弧滑道BC滑到最低点C的速度为 m/s，然后经直滑道CD冲出。已
知运动员和滑雪板的总质量m＝60kg，A、B两点的高度差h＝12m，D、E两点的高度差h＝2m，直滑道
1 2
CD长度L＝71m。（g＝10m/s2，sin53°＝08，cos53°＝06）求：
（1）运动员滑到C点时对滑道的压力；
（2）滑雪板与AB段直滑道间的动摩擦因数；
（3）运动员从D点滑出后，着落点距离D点的水平距离。
【答案】（1） ，方向竖直向下；（2） ；（3）
【详解】(1)由
得
由牛顿第三定律得方向竖直向下
(2)由
得
(3)由动能定理
得
则
得
因
则
14．如图所示轨道内，足够长的斜面与圆弧面光滑，水平地面各处粗糙程度相同，圆弧半径为R，水平面
长度 ，现将一质量为m的金属滑块从距水平面高 处的P点沿斜面由静止释放，运动到斜面
底端无能量损失，滑块滑至圆弧最高点Q时对轨道的压力大小恰好等于滑块重力， ，求：
（1）金属滑块与水平地面的动摩擦因数μ；
（2）欲使滑块滑至圆弧最高点平抛后不落在斜面上，释放高度的取值范围.【答案】（1）0.25；（2）
【详解】（1）对滑块，在Q点，重力和轨道对滑块的压力提供向心力，有
对滑块，从P到Q，根据动能定理得
联立两式得
（2）当滑块恰好能运动到Q点时，释放高度最小，设为 ，恰到Q时的速度设为 ，对滑块，在Q点，
重力提供向心力
从释放到Q点，根据动能定理得
联立两式得
当滑块恰好能抛到M点时，释放高度最大，设为 ，到Q点时的速度设为 ，滑块由Q点平抛到M点，
水平方向
竖直方向
从释放到Q点，根据动能定理得联立求得
故释放的高度范围为
15．某兴趣小组设计了一个游戏装置，其简化模型如图所示，斜面轨道AB长L=2m，倾角 37°，与小球
间动摩擦因数 =0.5，BC为光滑水平轨道，CDEFG轨道竖直放置，由4个半径R=0.2m的四分之一光滑圆
弧轨道组成，D点与F点为竖直连接点，当小球在圆弧轨道上运动时，轨道与小球间存在沿半径方向（指
向圆心）、大小为F=4N的特殊引力。上述各部分轨道平滑连接，连接处无能量损失，一质量为m=0.1kg
的小球从斜面项端A点以一定的初速度沿斜面滑下，不计空气阻力。
（1）若小球以v=2m/s的初速度从A点滑下时；
①求小球到达斜面底端B点的速度v；
②求小球刚过D点瞬间对轨道的压力F ；
N
（2）要使小球能沿轨道运动，且能够到达圆弧轨道最高点E，求小球在A点初速度v的取值范围。
【答案】（1）① ；② ；（2）
【详解】（1）①从A点到B点，由动能定理得
解得
②B点到D点，由动能定理得
解得设小球在D点受到轨道给它的弹力 ,由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律得，小球刚过D点瞬间对轨道的压力
（2）从A点到E点，由动能定理得，由动能定理得
解得
能够到达圆弧轨道最高点E最小速度为零。为了保证小球不脱离轨道，在D点轨道对小球弹力大于等于
零。由（1）②可知，在D点 时，A点速度为v=2m/s。
要使小球能沿轨道运动，且能够到达圆弧轨道最高点E，小球在A点初速度vA的取值范围
16．2022年第24届冬奥会在北京举行，其中冰壶比赛是冬奥会运动项目之一，运动员从起滑架处推着冰
壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶滑出，现将冰壶的运动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动，比赛场
地如图所示，已知投掷线与O点间的距离为L=30m，冰壶质量为m=20kg，与冰面间的动摩擦因数为
μ=0.02，运动员水平恒定推力为F=19N，重力加速度g=10m/s2，忽略冰壶大小的影响。
（1）若冰壶能恰好到达圆垒中心O处，求在投掷线AB处投出的速度v 及推力作用的时间t；
0 1
（2）在冰壶滑行的前方用毛刷擦冰面，可使冰壶与冰面间的动摩擦因数变为原来的90%，若要求冰壶投出
后，以v=0.3m/s的速度与对方位于圆垒中心O处的另一冰壶发生正碰，求应该用毛刷在冰壶滑行前方擦的
冰面长度s。【答案】（1） ， ；（2）2.25m
【详解】（1）设开始时冰壶的加速度大小为a1，从投掷线AB处投出后冰壶的加速度大小为a2，则有
μmg=ma2，
解得
开始时冰壶的受力如图所示
根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
v0=a1t1
解得
（2）设冰壶滑过擦过的冰面长度为s，根据动能定理有
代入数据解得
s=2.25m
17．如图所示，将一根细圆管道弯成 圆弧形状并竖直固定放置，一个可视为质点的小球从管口A的正上
方高h处自由下落，小球半径略小于管道内径，小球刚好能从管口A处无碰撞进入管道，B为管道最上
端，已知小球在管道内做圆周运动的轨道半径为R，小球质量为m，重力加速度为g。
（1）若管道内壁光滑，小球恰能到达B处，高度h应为多少?
（2）若管道内壁粗糙，让小球从A点正上方 处自由下落，已知小球从A运动到B的过程中摩擦力做功 ，请求出小球到达B处时对管道的弹力 的大小和方向。
【答案】（1）R；（2）mg，方向竖直向上
【详解】（1）小球恰能到达B处，则到B时的速度
由机械能守恒得
（2）从释放到B点，由动能定理有
联立解得
在B点，由向心力表达式
根据牛顿第三定律可知小球对管道B点作用力大小为mg，方向竖直向上。
