第25讲重力势能和机械能守恒定律-2024届高中物理一轮复习提升素养导学案（全国通用）解析版_4.2025物理总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

第 25 讲 重力势能 机械能守恒定律 学习目标 明 确目标 确定方向 1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算. 2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒. 3.掌握机械能守恒定律的简单应用． 【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础 第一部分基础知识梳理 一．重力做功与重力势能 1．重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关． 2．重力势能 (1)公式：E＝mgh. p (2)特性：系统性：重力势能是物体和地球共有的． 相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无 关． 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加． (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即W＝E－E＝－ΔE. G p1 p2 p 二．机械能守恒定律 1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能． 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变． (2)条件：只有重力或弹力做功．或者机械能与其它能之间没有相互转化 (3)守恒表达式： 表达式 物理意义 守恒观 系统初状态机械能的总和与末状态机 E ＋E ＝E ′＋E ′ k p k p 点 械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统 转化观 ΔE ＝－ΔE 减少(或增加)的重力势能等于系统增加 k p 点 (或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分 转移观 ΔE A增 ＝ΔE B减 物体机械能的增加量与B部分物体机 点 械能的减少量相等第二部分重难点辨析 1．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 (3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守 恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。 2 ．机械能守恒的判断方法 （1）用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或 重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。 （2）用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守 恒。 （3）用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转 化，则物体或系统机械能守恒。 4．对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力 做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。 【 典例分析 】 精 选例题 提高素 养 [例1]．质量为 的物体（可视为质点），位于距离地面高度为 的平台边缘，如图所示。某时刻物体以水 平初速度从平台边缘飞出，选取飞出点为坐标原点，已知重力加速度为 ，忽略空气阻力和平台的摩擦， 在运动过程中的任意位置，关于其动能 和重力做的功 与水平位移 的关系，以下图像描述正确的是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】AB．根据平抛运动的规律，在水平方向有 在竖直方向有 由以上各式得速度为 动能为 可知动能 与水平位移 的关系是一条抛物线，A错误，B正确； CD．重力做的功为 可知重力做的功W与水平位移x的关系是一条过原点的抛物线，CD错误。 故选B。 【例题2】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中 液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为 ( )A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解 得：v＝ 。 【例3】多选14．如图（a）所示，一根质量为M、长度为L的均匀柔软细绳置于光滑水平桌面上，绳子右 端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边下滑。当绳下落的长度为x 时，加速度大小为a，绳转折处O点的张力大小为T，桌面剩余绳的动能为 、动量为p，如图（b）所 示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说法正确的是（ ） A．当 时，张力T有最大值 B．当 时，动量P有最大值 C．当 时，加速度a有最大值 D．当 时，动能 有最大值【例3】【答案】BD 【详解】AC．绳子下落长度为 时，对整条绳，由牛顿第二定律有 解得绳上各点的加速度大小为 对桌面上的绳子，由牛顿第二定律有 解得 可知，当 时，加速度 有最大值，当 时，张力 有最大值，故AC错误； B．绳子从开始运动到绳子下落长度 的过程中，由机械能守恒定律可得 解得 则动量为 可知，当 时，动量 有最大值，故B正确； D．桌面剩余绳子的动能为 对 求导可得，当 时，动能 有最大值，故D正确。 故选BD。【例4】．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙。一质量为m 的小球从轨道的最低点以初速度v 向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R，不计空气 0 阻力，重力加速度为g。设小球过最低点时重力势能为零，下列说法正确的是（ ） A．若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为 mgR B．若小球运动到最高点时速度为0，则小球运动过程中机械能守恒 C．若使小球始终做完整的圆周运动，则v 一定不小于 0 D．若小球第一次运动到最高点时速度大小为0，则v=2 0 【答案】C 【详解】AC．若使小球始终做完整的圆周运动，则小球在运动过程中始终不能受到摩擦力，即在最高点时 恰好由重力提供向心力，设其在做高点时的速度为 ，在最高点由牛顿第二定律有 从最低点到最高点由机械能守恒定律可得 联立解得 可知，若使小球始终做完整的圆周运动，则v0一定不小于 ，显然，若初速度大于或等于 ，小球 在运动过程中机械能守恒，且机械能的最小值为 若初速度小于 ，小球在运动过程中一定与内圆接触，机械能不断减小，经过足够长的时间，小球最终 在与圆心等高的两侧运动，此后机械能守恒，最大为因此小球最终的机械能不可能为 ，故C正确，A错误； B．若小球运动到最高点时速度为0，则小球运动过程中一定与内圆接触，受到摩擦力作用，要克服摩擦力 做功，小球的机械能一定不守恒，故B错误； D．若内圆光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，机械能守恒，若小球到达最高点时的速度为 0，由机械能 守恒定律可得 解得小球在最低点的速度为 由于实际上内圆粗糙，小球在运动过程中要克服摩擦力做功，则小球在最低点时的速度一定大于 ， 故D错误。 故选C。 【巩固练习】 举 一反三 提高能 力 1．广西壮族“三月三”是壮族人民的传统节日，该节日民族活动很丰富，其中抛绣球是男女青年最喜欢 的项目。假设某一青年女子在楼上将绣球水平抛出，抛出点离地4.5m，绣球质量0.6kg，在离地2.0m处被 一男青年抢到。重力加速度取10m/s2，在绣球被抛出至被抢到的过程中，下列说法正确的是（ ） A．重力做功15J B．重力势能增加了15J C．若以抛出点为参考平面，绣球被抢到时的重力势能为－27J D．若以地面为参考平面时，上述过程中绣球重力势能的变化量最大 【答案】A 【详解】A．重力做功为 A正确； B．重力做正功，重力势能减小，故重力势能减少了 ，B错误； C．若以抛出点为参考平面，绣球被抢到时的重力势能为C错误； D．重力势能的变化与重力做功对应，与参考平面的选取无关，D错误。 故选A。 2．如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，一端固定，另一端用力缓慢把它由原长拉长Δl，弹簧弹力做功的 绝对值为W；继续用力缓慢把它再拉长Δl（弹簧处于弹性限度内），弹簧弹力做功的绝对值为W，下列 1 2 说法正确的是（ ） A．W=W 1 2 B．WW 1 2 D．无法确定 【答案】B 【详解】ABCD．由功能关系可知 可知 ，故B正确，ACD错误。 故选B。 3．在一轻弹簧下挂一重物，将它从位置 处放开，它将迅速下降，直至位置 后再返回（如甲图所 示）。若我们用手托着该重物使它缓缓下降，最终它在达到位置 后就不再运动了（如乙图所示）。记弹 簧的弹性势能为 、物体和地球的重力势能为 、物体的动能为 ，弹簧始终处于弹性限度内，关于两 次实验，下列说法正确的是（ ）A．甲图里重物从 到 的过程中， 持续减小 B．乙图里重物从 到 的过程中， 持续增大 C．甲图里重物从 到 的过程中， 保持不变 D．乙图里重物从 到 的过程中， 保持不变 【答案】C 【详解】A．由题意可知，甲图里重物在达到位置 处，弹簧的弹力与重物的重力大小相等，此时重物的 速度最大，则有在重物从 到 的过程中，弹力大于重力，重物做减速运动，动能减小，重物与弹簧组成 的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可知， 持续增大，A错误； B．乙图里重物从 到 的过程中，用手托着该重物使它缓缓下降，重物动能不变，可手对重物的支持力 对重物做负功，则系统的机械能减小，则有 持续减小，B错误； C．甲图里重物从 到 的过程中，重物与弹簧组成的系统机械能守恒，则有 保持不变，C正 确； D．乙图里重物从 到 的过程中，手对重物的支持力对重物做负功，因此系统的机械能减小，则有 减小，D错误。 故选C。5．能量概念的引入是科学前辈们追寻守恒量的一个重要的事例，用守恒量来表示物理世界变化的规律即 守恒定律具有重要意义，如图，物块在力F作用下，沿固定的斜面运动，下列说法正确的是（ ） A．若物块沿斜面匀速上滑，物块的机械能守恒 B．若物块沿斜面匀速下滑，物块的机械能守恒 C．若物块沿斜面加速上滑，物块的机械能减少 D．若物块沿斜面减速下滑，物块的机械能减少 【答案】D 【详解】A．若物块沿斜面匀速上滑，动能不变，重力势能增大，物块的机械能增大，故A错误； B．若物块沿斜面匀速下滑，动能不变，重力势能减小，物块的机械能减小，故B错误； C．若物块沿斜面加速上滑，动能增大，重力势能增大，物块的机械能增大，故C错误； D．若物块沿斜面减速下滑，动能减小，重力势能减小，物块的机械能减小，故D正确。 故选D。 6．如图甲所示，x轴的正方向竖直向下，其原点为O，一个钢球从x轴上的P点沿竖直方向抛出，之后钢 球落入粘性液体中，粘性液体底部坐标为 ；钢球在运动过程中机械能E随位置坐标x的变化规律如乙图 所示，图中 为直线， 为曲线．不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ） A．钢球从P点抛出时速度竖直向下 B．钢球进入液体后先加速后匀速运动 C．钢球在液体中下落时动能越来越小 D．钢球在液体中下落时所受阻力越来越大 【答案】D 【详解】A．钢球从x轴上的P点沿竖直方向抛出，由图可知从O到 ，机械能守恒，由于O是坐标原点，所以钢球抛出的速度竖直向上，故A错误； BCD．钢球进入液体后，阻力做功代表机械能变化，有 由图可知钢球在液体中下落时所受阻力越来越大； 则钢球进入液体后先加速，当 后，钢球做减速运动，钢球的动能先增大，后减小，故 BC错误，D正 确； 故选D。 7．如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂， ，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得 解得 故ABC错误，D正确。 故选D。 8．如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相 切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运 动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，动能的增量为（ ）A．2mgR B．3mgR C．4mgR D．5mgR 【答案】A 【详解】小球从 到 的过程，根据动能定理可得 结合 解得 小球从 点抛出后，竖直方向只受重力作用，之后上升到最高点时间为 则水平方向上的速度为 小球从a点开始运动到其轨迹最高点，动能的增量为 故选A。 9．如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，松手让小球由静止 开始下落，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，若小球能够通过C 点，不计空气阻力，那么OD的距离最少为（ ） A．0.5l B．0.6l C．0.7l D．0.8l 【答案】B【详解】要使OD的距离最小，则小球应从A点由静止开始向下运动，且恰能通过C点，设小球以D为圆 心做圆周运动的半径为r，在C点有 小球从A运动到C，根据机械能守恒定律 联立以上两式解得 则OD的最小距离为 故选B。 10．质量分别为m和2m的小球A和B分别悬挂在长为L和2L不伸长的绳的末端，将绳的另一端悬挂在等 高的天花板上，（以悬挂点为零势能面）。如图将小球拉直至水平位置，从静止释放，则当两球达到最低 点时（ ） A．速度一样大 B．动能一样大 C．所受的拉力一样大 D．加速度一样大 【答案】D 【详解】AB．根据机械能守恒定律可得 可得故AB错误； C．根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 故C错误； D．根据向心力得表达式得 可得 故D正确。 故选D。 多选11．如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平 段以恒定功率 、速度 匀速行 驶，在斜坡 段以恒定功率 、速度 匀速行驶。已知小车总质量为 ， ， 段的倾角为 ，重力加速度g取 ，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ） A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功 C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功 【答案】ABD 【详解】A．小车从M到N，依题意有 代入数据解得故A正确； B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为 则摩擦力做功为 则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确； C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为 故C错误； D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有 摩擦力做功为 联立解得 则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。 故选ABD。 多选12．如图所示，小陈去某商场购物，他先从一楼搭乘图甲所示的观光电梯到达六楼超市，再搭乘图乙 所示的自动人行道电梯到四楼，最后搭乘图丙所示的自动扶梯到五楼。已知图乙和图丙所示的电梯均匀速 运行，图乙的梯面倾斜程度处处相同，且小陈搭乘三种电梯的过程中都站在电梯上不动，则（ ） A．搭乘图甲所示电梯的过程中，合外力对小陈做功最大 B．搭乘图乙所示电梯的过程中，小陈的重力做功的功率不变 C．搭乘图乙所示电梯的过程中，摩擦力对小陈不做功D．搭乘图丙所示电梯的过程中，小陈的机械能增大 【答案】BD 【详解】A．图甲电梯运动过程中，人在电梯中的初速度与末速度均为0，图乙与图丙中电梯均做匀速运 动，则始末状态动能的变化量均为0，根据动能定理可知，三种搭乘电梯的过程中，合外力对小陈做的功 均为0，A错误； B．图乙的梯面倾斜程度处处相同，即电梯运动速度方向与竖直方向的夹角一定，根据 可知，搭乘图乙所示电梯的过程中，小陈的重力做功的功率不变，B正确； C．图乙中的梯面倾斜，匀速运动时，对人进行分析，人受到重力，垂直于倾斜梯面的支持力与沿梯面向 上的静摩擦力，可知，搭乘图乙所示电梯的过程中，摩擦力对小陈做负功，C错误； D．搭乘图丙所示电梯的过程中，匀速运动时，对人进行分析，人受到重力，电梯对人竖直向上的支持 力，人的速度沿斜向上方，则电梯对人做正功，小陈的机械能增大，D正确。 故选BD。 多选13．如图所示，有一条柔软的质量为 、长为 的均匀链条，开始时链条的 长在水平桌面上，而 长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（ ） A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 【答案】BD 【详解】AB．若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒可得解得链条刚离开桌面时的速度为 B正确，A错误； CD．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外 链条增加的重力势能，则有 D正确，C错误。 故选BD。 多选14．如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属凹槽制成，b轨道由 金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分别将金属小球A和B （直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用 和 表示，两小球均可视为质点，下 列说法中正确的是（ ） A．若 ，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点 B．若 ，两小球沿轨道上升的最大高度均为R C．适当调整 和 ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， 的最小值为 ，B小球在 的任何高度释放均可 【答案】BD 【详解】AD．B轨道是双轨模型，到达最高点的最小速度为零。即若 时，B球能沿轨道运动到最高 点；若A小球恰好运动到最高点，则有解得 可知，若小球A能够到达最高点，需要 选项A错误，D正确； B．若 ，根据机械能守恒定律可知，两小球沿轨道上升的最大高度均为R，不超过过圆心的水平 线，选项B正确； C．B小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口，则有 对B球有 解得 对A球，从最高点射出时最小速度为 此时根据 解得 则无论如何调节hA都不可能使A小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，选项C错误； 故选BD。15．如图，一足够长的光滑细杆与水平面成θ角固定放置，杆上套有一质量为m的小球。对小球施加一沿 杆向上的恒定拉力，使其从杆底端O点由静止起匀加速上升。以O点所在水平面为重力零势能面，在此过 程中小球的动能与重力势能始终相等。小球上升到某位置时撤去拉力，此前拉力共做功W。（重力加速度 为g） （1）求撤去拉力前，小球的加速度a； （2）求拉力大小F； （3）通过计算证明：撤去拉力后，小球在继续上升的过程中机械能守恒。 （4）求小球动能为 W时的重力势能E。 p 【答案】（1）a=gsinθ，沿斜面向上；（2）F=2mg·sinθ；（3）见解析；（4） 【详解】（1）设小球沿杆向上移动距离为x，因 Ek=Ep 即 解得 v2=2gxsinθ 结合匀变速公式可以得到加速度 a=gsinθ，沿斜面向上 （2）小球受到三个力的作用，如图由牛顿第二定律可得 F-mg·sinθ=ma 解得 F=2mg·sinθ （3）设撤去拉力时小球的速度为v1，小球沿杆已经上升距离s1，则此时机械能 撤去拉力后，牛顿第二定律 -mg·sinθ=ma′ 解得 a′=-gsinθ，沿斜面向下 此后，小球继续沿杆上升任意距离s时的速度 动能 机械能总量 由于距离s任意，所以，撤去拉力后，小球在任意位置的机械能总量都保持不变，该过程中，杆对小球的 弹力与运动方向垂直，不做功，仅有重力做功。由此可以得出结论：撤去拉力后，小球在继续上升的过程 中，只有重力做功，机械能守恒。 （4）撤去拉力前，动能和重力势能始终相等，故 撤去拉力时小球获得机械能为W。撤去拉力后，机械能守恒 16．如图所示，一个可视为质点、质量m=0.5kg的小球从粗糙斜面顶端A处静止滚下，到达斜面底端B 处，斜面底端离地面高度h=1m，斜面倾角 ，长度 ，小球与斜面间动摩擦因数 ，小球 从斜面底端抛出后恰能沿切线方向从C点进入光滑圆弧形轨道，圆弧形轨道固定在水平地面上，半径为R，R未知， ，小球在运动过程中的空气阻力忽略不计，取g=10m/s2。求： （1）小球到达斜面底端B点的速度大小； （2）圆弧形轨道末端C点到B点的水平距离x； （3）小球对圆弧形轨道最低点D的压力大小。（结果可用根号表示） 【答案】（1） ；（2）0.4m；（3） 【详解】（1）从A到B有 解得 （2）由斜抛运动规律 解得 （3）由几何关系由运动学公式 由动能定理 由牛顿第二定律 由牛顿第三定律 解得 17．很多商场的门前都放置一台儿童游乐玩具——弹珠枪。如图所示，ABCD是一个正方形光滑平台，边 长为l，与水平面的倾角为 ，弹珠由弹珠枪击打，弹珠沿着AB边经过平台拐角边半径为R的四分之一的 圆弧轨道，最后离开圆弧轨道在斜面内运动。重力加速度为g。 （1）若弹珠经过Q点后恰好经过D点，则弹珠经过D点时的速度大小是多少？ （2）若要求弹珠能从圆弧轨道的顶点Q滑出到达D点，则圆弧轨道半径的取值范围是多少？ 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）由题意可知，弹珠在斜面上自由运动时所受的合力为所以弹珠从Q点到D点做类平抛运动的加速度为 由平抛运动规律可以得到 联立解得 由动能定理，得 整理得到 （2）弹珠沿 圆弧轨道做圆周运动，由题意，弹珠能从圆弧轨道的顶点 Q滑出到达D点。则在Q点，对 其受力分析，可得 整理得 解得 （舍去）， 所以弹珠能从圆弧轨道的顶点Q滑出到达D点，圆弧轨道半径的取值范围为