文档内容
2023年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：3﹣5＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】先根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：3﹣5＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的减法法则，熟知：减去一个数，等于加上这个数的相
反数．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握好中心对称图形与轴对称
图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图
形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（ ）A．36° B．46° C．72° D．82°
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝108°，再由平行线的性质可求得∠A＝72°，∠B
＝∠2，结合已知条件可求得∠B，即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠1＝108°，
∴∠3＝∠1＝108°，
∵l∥AB，
∴∠3+∠A＝180°，∠2＝∠B，
∴∠A＝180°﹣∠3＝72°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝36°，
∴∠2＝36°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，
内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4．（3分）计算： ＝（ ）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝6×（﹣ ）x1+3y2+3＝﹣3x4y5．
故选：B．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过
哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵a＜0，∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，
利用正比例函数和一次函数的性质解答．
6．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与
CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，
根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC＝ ×6＝3，
∴△DEF∽BMF，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴BM＝ ，
CM＝BC+BM＝ ．
故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角
形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．（3分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面
看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图． 是 O的一部分，D是 的中点，连
⊙
接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则 O的
半径OA为（ ） ⊙
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【分析】首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC＝BC＝ AB＝12cm，再设 O的
半径OA为Rcm，则OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2⊙＝122+
（R﹣8）2，求出R即可．
【解答】解：∵ 是 O的一部分，D是 的中点，AB＝24cm，
⊙
∴OD⊥AB，AC＝BC＝ AB＝12cm．
设 O的半径OA为Rcm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm．
在⊙Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°，
∴OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝122+（R﹣8）2，
∴R＝13，即 O的半径OA为13cm．
故⊙选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设 O的半径OA为Rcm，列出关于
R的方程是解题的关键． ⊙
8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点
（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
【分析】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，
得出m＝3，再利用公式法求出二次函数最值．
【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m，
解得：m ＝3，m ＝﹣2，
1 2
∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函数有最小值为： ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出 m的值是解题
关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在数轴上，点A表示 ，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距
离相等．则点B表示的数是 ﹣ ．
【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案．
【解答】解：由题意得：点B表示的数是﹣ ．
故答案为： ．【点评】此题考查了数轴，绝对值，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
10．（3分）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为
2+2 ．
【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三
角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，
GE，BG即可．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形 CEGF是矩形，
△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，
在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，
∴AE＝CE＝ AC＝ ，
同理BG＝ ，
∴AB＝AE+EG+BG＝2+2 ，
故答案为：2+2 ．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正
确解答的前提．
11．（3分）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为
62° ．【分析】连接BE，根据中心对称图形的定义得出点 E是菱形ABCD的两对角线的交点，
根据菱形的性质得出AE⊥BE，∠ABE＝ ∠ABC＝28°，那么∠BAE＝90°﹣∠ABE＝
62°．
【解答】解：如图，连接BE，
∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°，
∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，
∴AE⊥BE，∠ABE＝ ∠ABC＝28°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．
故答案为：62°．
【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，
掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．
12．（3分）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在
x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的
图象上，则这个反比例函数的表达式是 y ＝ ．
【分析】根据矩形的性质得到OC＝AB＝3，根据正方形的性质得到CD＝CF＝EF，设
CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），设反比例函数的表达式为y＝，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴设CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
设反比例函数的表达式为y＝ ，
∴3×2m＝（3+m）•m，
解得m＝3或m＝0（不合题意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴这个反比例函数的表达式是y＝ ，
故答案为：y＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特
征：反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵
坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、
N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 2 ．
【分析】由题意知△CDE是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线
CD上，连接PN'，PN＝PN'，PM+PN＝4．即PM+PN'＝4，BC＝4，BM＝BN，所以此
时M、P、N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处，PM＝PN'＝2，PC＝2 ．
【解答】解：∵DE＝AB＝CD＝3，
∴△CDE是等腰直角三角形，
作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线CD上，连接PN'，如图：
∵PM+PN＝4．
∴PM+PN'＝4＝BC，即MN'＝4，
此时M、P、N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处，
∴PM＝PN'＝2，
∴PC＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式： x．
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解： x，
去分母，得3x﹣5＞4x，移项，得3x﹣4x＞5，
合并同类项，得﹣x＞5，
不等式的两边都除以﹣1，得x＜﹣5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的
关键．
15．（5分）计算： ．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分
别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣5 ﹣7+|﹣8|
＝
＝﹣5 +1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
16．（5分）化简：（ ） ．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（ ）
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（5分）如图．已知角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点
P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P
点满足条件．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形
的性质．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延
长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得
结论．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是
1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中
随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的
这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出
的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字
之积是偶数的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ＝ ，
故答案为： ；
（2）树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
20．（5分）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．
已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔
记本的单价．
【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，根据买了一种大笔记本4个和一种
小笔记本6个，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）
元，
∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出
方程解决问题．
21．（6分）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不
可到达）的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子
长为DF，测得DF＝2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角 为
26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，点F、D、Bα在
同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高 AB．（参考数据：
sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，然
后设EH＝FB＝xm，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而求出
AB的长，再根据垂直定义可得∠CDF＝∠ABF＝90°，从而证明A字模型相似三角形
△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性质可得AB＝ x，从而列出关于x的方程，
进行计算即可解答．【解答】解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，
由题意得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，
设EH＝FB＝xm，
在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，
∴AH＝EH•tan26.6°≈0.5x（m），
∴AB＝AH+BH＝（0.5x+1.6）m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF＝∠ABF＝90°，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝ x，
∴ x＝0.5x+1.6，
解得：x＝6.4，
∴AB＝ x＝4.8（m），
∴该景观灯的高AB约为4.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，平行投
影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（7分）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上 1.3m处的直
径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸
径x（m）的一次函数．已知这种树的胸径为 0.2m时，树高为20m；这种铜的胸径为
0.28m时，树高为22m．（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法解答即可；
（2）把x＝0.3代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
根据题意，得 ，
解之，得 ，
∴y＝25x+15；
（2）当x＝0.3m时，y＝25×0.3+15＝22.5（m）．
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是
解决问题的关键．
23．（7分）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场“中随机抽取了20棵西红柿植株，
并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，
47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，
绘制了统计图表：
分组 频数 组内小西红柿的总个数
25≤x＜35 1 28
35≤x＜45 n 154
45≤x＜55 9 452
55≤x＜65 6 366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 5 4 ；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300樱西红枝植株上小西
缸柿的总个数．【分析】（1）用总数减去其它三组的频数可得n的值，进而补全频数分布直方图，然
后根据众数的定义解答即可；
（2）根据算术平均数的计算公式解答即可；
（3）用300乘（2）的结论可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，n＝20﹣1﹣9﹣6＝4，
补全频数分布直方图如下
这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54．
故答案为：54；
（2） ．
∴这20个数据的平均数是50；
（3）所求总个数：50×300＝15000（个）．
∴估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数以及加
权平均数，解决此题的关键是明确频率＝频数÷总数．
24．（8分）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交 O于点
D，并与CA的延长线交于点E，⊙作BF⊥AC，垂足为M，交 O于点F． ⊙
⊙（1）求证：BD＝BC；
（2）若 O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
⊙
【分析】（1）如图，连接 DC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得
∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到CD为 O的直径，求得CD＝2r＝6．根据勾股定理得
⊙
到EC＝ ＝ ＝3 ，根据相似三角形的判定和性质定理即
可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接DC，
则∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵BD⊥BC，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC．
∴BD＝BC；
（2）解：如图，∵∠DBC＝90°，
∴CD为 O的直径，
∴CD＝2⊙r＝6．
∴BC＝CD•sin ＝3 ，
∴EC＝ ＝ ＝3 ，
∵BF⊥AC，
∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，
∴△BCM∽△ECB．
∴ ，∴BM＝ ＝ ＝2 ，CM＝ ，
连接CF，则∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝ ，
∴BF＝BM+MF＝2 + ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的
跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价
出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 ON＝12m，拱高 PE＝4m．其中，点 N 在 x 轴上，
PE⊥ON，OE＝EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，
P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案
一中，矩形框架ABCD的面积记为S ，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，
1
矩形框架A'B'C′D'的面积记为S ，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华
2
已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时， ，请你根据以上提供的相关信息，
解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S 并比较S ，S 的大小．
1 1 2【分析】（1）由题意知抛物线的顶点P（6，4），设顶点式用待定系数法可得方案一
中抛物线的函数表达式为y＝﹣ x2+ x；
（2）令y＝3可得x＝3或x＝9，故BC＝6（m），S ＝AB•BC＝18（m2）；再比较S ，
1 1
S 的大小即可．
2
【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣6）2+4＝﹣ x2+ x；
∴方案一中抛物线的函数表达式为y＝﹣ x2+ x；
（2）在y＝﹣ x2+ x中，令y＝3得：3＝﹣ x2+ x；
解得x＝3或x＝9，
∴BC＝9﹣3＝6（m），
∴S ＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；
1
∵18＞12 ，
∴S ＞S ．
1 2
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
26．（10分）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若 O的
半径为4，点P在 O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值； ⊙
⊙（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 B处，
点 E 处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝
10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域
内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道 O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，
与 O交于点N．连接BN，点P在 O上，⊙连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要
修的⊙三条道路，要在所修迅路BN、⊙EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求
此时环道 O的圆心O到AB的距离OM的长．
⊙
【分析】（1）连接 OP，OM，过点 O 作 OM'⊥AB，垂足为 M'，则 PM≥OM﹣
4≥OM'﹣4，由直角三角形的性质得出OM'＝AM'•tan30°＝4 ，则可得出答案；
（2）分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
证出四边形BB'ON是平行四边形．由平行四边形的性质得出BN＝B′O．当点O在B'E
上时，BN+PE 取得最小值．作 O'，使圆心 O'在 B'E 上，半径 r＝30（m），作
O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交⊙于点H．证明△B'O'H∽△B'EA'，由相似三角形的性
质得出 ，求出O'H的长可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，则 OP+PM≥OM．
∵ O半径为4，
∴⊙PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，
∵OA＝OB．∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OM'＝AM'•tan30°＝12tan30°＝4 ，
∴PM≥OM'﹣4＝4 ﹣4，
∴线段PM的最小值为4 ﹣4；
（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），
连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN＝B′O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E﹣r，
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作 O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），
作⊙O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，∴ ，
∵ O'在矩形AFDE区域内（含边界），
∴⊙当 O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）．
此时⊙，O′H也最短．
∵M'N'＝O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H＝ ＝4017.91（m），
∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m），
∴此时环道 O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．
【点评】本⊙题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
发布日期：2023/6/27 17:15:24；用户：180******92；邮箱：2D8E7E206834F7646FF35E9C4B6D5E6A@huawei.jyeoo.com；学号：48271004
