文档内容
第 26 讲 机械能守恒定律的综合应用和功能关系
学习目标
明 确目标 确定方向
1.多个物体的机械能守恒定律
2理解功能关系
3综合应用机械能守恒定律和功能关系解决复杂实际问题
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、功能关系
1．功和能关系：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
2．几种常见的功能关系
（1）重力做功等于重力势能的减少量，W＝－ΔE 正功重力势能减少 ，功重力势能增加
G
（2）弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量W ＝－ΔE正功弹性势能减少，负功弹性势能增加
弹 p
（3）电场力做功等于电势能减少量。W ＝－ΔE 正功电势能减少，负功电势能增加
电 p，
（4）合力做功等于动能的变化量。W ＝ΔE 正功动能增加，负功动能减少
合 k，
（5）重力以外的其他力做功等于机械能的变化量。W ＝ΔE正功机械能增加负功机械能减少
其
(6)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Fx ＝Q。
f 相对
(7)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W ＝E 。
克安 电
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一
个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：ΔE ＝ Δ E 。
减 增
(1)若只有两种形式的能量相互转化，则这两种形式的能量之和保持不变。如动能和电势能相互转
化，则E＋E ＝C。
k p电
(2)自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再重新利用，即能源品质降低，所以要节约能
源。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，
，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ）A． B． C． D．
【例2】多选．如图所示，长度为 的轻杆上等距离固定质量均为 的 个小球，轻杆一端连接转动点
O，将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为 ，则从释放到
轻杆摆至竖直位置的过程中是（ ）
A． 时，轻杆对小球不做功
B． 时，轻杆对第1个小球做功为
C． 时，轻杆对第7个小球不做功
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
【例3】如图甲所示，在光滑水平面上有 三个小球， 两球分别用两根相同的水平轻杆通过
光滑铰链与 球连接，两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连。固定住
球，释放弹簧，球与弹簧分离瞬间杆中弹力大小 。已知 两球的质量均为 球的质量为 ，
杆长为 ，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求弹簧释放时的弹性势能；
（2）若 球不固定，求释放弹簧后 球的最大位移；
（3）若 球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为 时（如图乙）， 球和 球的速度大小。【例4】如甲图所示为安装在公路上强制过往车辆减速的减速带，现有一水平道路上连续安装有10个减速
带（图乙中末完全画出），相邻减速带间的距离均为 （每个减速带宽度远小于 ，可忽略不计）；现有一
质量为 的电动小车（可视为质点）从第1减速带前某处以恒定功率 启动，到达第1减速带前已达到最
大行驶速度 。已知小车每次通过减速带时所损失的机械能与其行驶速度相关，测量发现，小车在通过第
5个减速带后，通过相邻两减速带间的时间均为 。通过第10个减速带时立即关闭电门无动力滑行，小车
在水平路面上继续滑行距离 后停下。已知小车与路面间的阻力大小恒定，空气阻力不计。
（1）求小车与路面间的阻力 的大小；
（2）求小车通过第5个减速带后，通过每一个减速带时所损失的机械能；
（3）若小车通过前5个减速带时损失的总机械能是其通过后5个减速带时所损失总机械能的1.6倍，求小
车从第1个减速带运动至第5个减速带所用的时间 。【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．如图甲，倾角为 的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O
点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如
图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在 处，滑块的机械能最大
C．在 和 两段过程中， 图线斜率的绝对值均等于
D．在 和 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
2．如图甲所示，质量为m长木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小铅块以水平速度v 滑上木板的左
0
端，恰能滑至木板右端与木板相对静止。如图乙所示，将木板分成质量分别为m、m 的1、2两部分，铅
1 2
块的初速度不变，铅块与木板间的动摩擦因数为μ。则（ ）
A．当m=m 时，铅块在木板1上滑行时，两板间的作用力为μmg
1 2
B．当m=m 时，铅块能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
1 2
C．当m>m 时，铅块可能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
1 2
D．铅块在木板上滑行的整个过程中，图甲情境中产生的内能一定比图乙的大多选3．如图所示，有一条柔软的质量为 、长为 的均匀链条，开始时链条的 长在水平桌面上，而
长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（ ）
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
多选4．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和 的小球A和B。A、B两球之间
用一长为 的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两
球由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒
B．B球到达最低点时的速度大小为
C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功
D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心
多选5．如图所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧。开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，
b未落地，不计滑轮质量和一切阻力，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．b物体的加速度大小为
B．绳子拉力大小是mg
C．a、b高度差为h时，物块b的速度大小为
D．此过程物块a克服重力做功为mgh
多选6．如图所示，质量为 的物体P，穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑
轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体P相连，另一端与质量为 的物体Q相连。开始时物
体P在外力作用下静止于A点，杆上B点位于滑轮O正下方，绳处于伸直状态。已知 ，
，重力加速度g取 ，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻释放物体P，在物体P从
A滑到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体P的机械能增加，物体Q的机械能减少
B．物体P的速度先增加后减小
C．物体Q的重力势能减少20J
D．物体P运动的最大速度为4m/s多选7．如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物体A相连。物体A置于光滑固
定斜面上，斜面的倾角 。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜
面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧
的劲度系数为k，当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程
中，下列说法正确的是（ ）。
A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B．物体A到最高点时，A所受合力大小为
C．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大
D．物体A的最大速度为
多选8．如图所示，长度为L的轻杆两端分别固定质量为m的小球，杆的三等分点O处有光滑的水平转动
轴，O点更靠近1号小球。整个装置可以在竖直面内转动。将装置固定在杆恰好水平的位置由静止释放，
不计一切阻力，当杆到达竖直位置时（ ）
A．1号小球的速度大小是
B．2号小球的速度大小是
C．1号小球的机械能守恒D．从初始位置到杆到达竖直位置时，轻杆对2号小球做功为
多选9．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将质量 的小球从轻弹簧正上方由静止释
放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为y轴正方向，
取地面处为重力势能零点，在小球下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能 、小球的重力势能 随y
变化的关系图像分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度 ，已知弹簧的弹
性势能 （k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），下列说法正确的是（ ）
A．图乙中
B．小球刚接触弹簧时速度大小为
C．小球刚接触弹簧时速度大小为
D．当弹簧的压缩量为 时，小球有最大速度
多选10．如图所示，传送带以速度v匀速运动，将质量为m的物体无初速度地放在传送带上的A端，物体
被传送带送到B端。若A、B间的距离为L，物块与传送带之间的动摩擦因数为 ，则下列叙述可能正确的
是（ ）
A．传送带对物体做的功为B．传送带对物体做的功为
C．传送带克服摩擦力做的功为
D．在传送物体的过程中产生的热量为
11．如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内 的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，
M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢
珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到距O点距离为 的Q点。不计空气阻力，重力加速度
为g，则：
（1）小钢珠经过N点时的速度为多少；
（2）小钢珠到达N点时对上管壁的压力为多少；
（3）弹簧释放的弹性势能为多少。
12．质量均为m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在离P球 处有一个光滑固定轴O，OQ长为
，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求
（1）小球P和Q的速度大小分别为 和 ，求 ；
（2）小球P和Q的速度 和 的大小；13．如图所示，物体A和B用通过定滑轮的细绳相连，A物体的质量为1.36kg，B物体的质量为1kg。物体
A能沿竖直杆无摩擦滑动，杆与滑轮的水平距离为 。物体B放在倾角 的斜面上，物体B与
斜面的滑动摩擦系数 。开始时先托住物体A，使绳子的 段成水平，当放手后物体A从静止开始下
滑 时，（忽略其它阻力及滑轮，绳子的质量， ， ，g取 ，）试
求：
（1）放手瞬间A物体的加速度大小；
（2）此时物体A，物体B速率之比；
（3）此时物体B的速度大小。
14．如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道 为其竖直直径，
桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到
水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左
端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小
球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为 （x为弹簧
的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。15．如图，倾角为53°的足够长斜面固定在地面上，劲度系数为k、竖直放置的轻弹簧两端拴接着A、B物
块，跨过轻滑轮的轻绳拴接着A、C物块。开始时C在平行斜面方向的外力作用下处于静止状态，绳恰好绷
直且无张力。现撤去外力，C沿斜面向下运动。已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，忽略一切摩
擦，取sin53°=0.8。求：
（1）C处于静止状态时所加外力F的大小；
（2）当弹簧恢复原长时C的速度大小；
（3）此后的过程中，B受到地面支持力N的最小值。
16．如图，质量为 的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 的物体B相连，弹簧的劲度系数为
k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时
各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为 的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为 的物体D，仍从上述初始位
置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？（已知重力加速度为g。）
