文档内容
专题 07 功和能
常考考点 真题举例
动能定理求解多过程问题 2024·广东·高考真题
重力势能和动能定理 2024·全国·高考真题
功率的定义 2024·江西·高考真题
能量守恒定律和动能定理 2024·广西·高考真题
掌握功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小；掌握功率的概念，并会对功率进行分析和计算，会分析、解决机车启动的两类问题；
掌握重力势能和弹性势能的概念，知道重力、弹力做功与相应势能变化的关系；
掌握动能定理，会用动能定理分析和解决问题，能利用动能定理求变力做的功；
掌握机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容，会用机械能守恒定律解决问题；
掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题，特别是摩擦力的功能关系；
会用能量观点解决两种模型的综合问题。
核心考点01 功和功率
一、功.....................................................................................................................................................................3
二、功率.................................................................................................................................................................5
三、机车启动问题.................................................................................................................................................7
核心考点02 重力势能和弹性势能..............................................................................................................................9
一、重力做功.........................................................................................................................................................9
二、重力势能.........................................................................................................................................................9
三、弹性势能.......................................................................................................................................................11
核心考点03 动能定理................................................................................................................................................11
一、动能...............................................................................................................................................................11
二、动能定理.......................................................................................................................................................12
核心考点04 机械能守恒定律....................................................................................................................................15
一、机械能...........................................................................................................................................................16
二、机械能守恒定律..........................................................................................................................................16
核心考点05 功能关系和能量守恒定律...................................................................................................................20
一、功能关系.......................................................................................................................................................20
二、能量守恒定律...............................................................................................................................................22
二、两种模型的能量分析..................................................................................................................................23
核心考点 01 功和功率
一、功
1、定义
力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。2、公式
W＝ Fl cos α ，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移，该公式适用于恒力做功。
3、必要条件
①力；②物体在力的方向上发生的位移。
4、单位
在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。
5、性质
功是标量，但有正负。功的正负号不表示方向，也不表示功的多少，在比较功的多少时，只比较功的
绝对值，不看功的正负号。例如－5J的功要比2J的功多。
6、功的正负判断
夹角 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
力对物体做正 力对物体做负功，或者说
功的正负 力对物体不做功。
功。 物体克服这个力做了功。
力是物体运动的 力对物体既不起动力作 力是物体运动的阻力。
动力学角度
动力。 用，也不起阻力作用。
使物体的能量增 物体的能量不增加也不减 使物体的能量减少。
能量角度
加。 少。
7、对公式W＝Flcosα的理解
①公式中各量W、F、l都要取国际单位制单位。
②只适用于计算大小和方向均不变的恒力做的功，不适用于计算变力做的功。
③可以理解为力乘以在力的方向上的位移，即W＝F(lcosα)；也可以理解为位移乘以在位移方向上的
分力，即W＝(Fcosα)l。
④只与F、l、α三者有关，与物体的质量、运动状态、运动形式及是否受其他力等因素均无关。
⑤因为功是过程量，反映力在空间位移上的累积效果，对应一段位移或一段过程，所以用公式 W＝
Flcosα求力做的功时，一定要明确是哪个力在哪一段位移上(或在哪一个过程中)所做的功。
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功的计算方法：①各个
力分别对物体所做功的代数和；②几个力的合力对物体所做的功。
8、变力做功的求解方法
①微元法：物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，
这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。如下图所示，质量为m的
木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力所做的功为：W＝F·Δx ＋F·Δx ＋F·Δx ＋…＝F(Δx ＋Δx
f f 1 f 2 f 3 f 1 2
＋Δx ＋…)＝F·2πR
3 f
【注意】此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
②转换研究对象法：若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用 W＝Flcos α求解。如下图所
示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)。【注意】此法常常用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
③图像法：在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于
x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。如下图所示，水平拉力拉着一物体在水平面上
运动的位移为x，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x。
0 0
【注意】此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
④力的平均值法：求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀
变化时，可先求该变力对位移的平均值＝，F 、F 分别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝Flcos α
1 2
求此力所做的功。如下图所示，当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝
·Δx。
【注意】此法只适用于物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力是均匀变化的。
⑤动能定理法：使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。如下图所示，用力F
把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W，则有：W－mgL(1－cos θ)＝0，得W＝mgL(1－cos θ)。
F F F
【注意】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。
9、各种力做功特点
重力 做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关
弹力(弹簧) 做功只与弹簧的劲度系数和形变量有关
滑动摩擦力做功与路径有关，可以做正功、负
摩擦力
功，也可以不做功
一对滑动摩擦力 做功代数和小于零
一对静摩擦力 做功代数和为零
作用力和反作用力可以做功，也可以不做功，做
一对相互作用力
功代数和可以大于零、小于零，也可以等于零
合力 合力如果是恒力，可以根据功的定义式求解
重力及弹簧弹力以外的其 重力及弹簧弹力以外的其他力所做的功将改变系
他力 统的机械能
电场力 与路径无关，由初、末位置的电势差决定
洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向安培力 可以做功，也可以不做功
感应电流在磁场中受到的
做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运动
安培力
分子力 可以做正功，也可以做负功
核力 核力破坏时将释放巨大的能量
二、功率
1、定义
功与完成这些功所用时间的比值。
2、物理意义
描述做功的快慢的物理量。
3、定义式
P＝ ，该式适用于计算恒力的 平均 功率。
4、单位
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W。
5、性质
标量。
6、计算式
P＝ F v cos α ，该式适用于计算平均功率（速度为平均速度）和瞬时功率（速度为瞬时速度）。F可为
恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
【注意】要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应
明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状
态)的功率。
7、公式P＝ 和P＝Fv的比较
公式 P＝ P＝Fv
功率的计算式，仅适用于F与v
功率的定义式，适用于任何情况
同向的情况，若两者方向不
下功率的计算，一般用来求平均
同，则P＝＝＝Fvcosα；
适用条件 功率；
v为平均速度时功率为平均功
当时间t→0时，可由定义式确定
率，v为瞬时速度时功率为瞬
瞬时功率。
时功率。
联系 公式P＝Fv是P＝的推论；功率P的大小与W、t无关。
8、瞬时功率和平均功率的计算
利用公式P＝Fvcosα，其中v为瞬时速度；利用公式P＝Fv ，其中v 为物体的速度在力F方向上的分
F F
速度；利用公式P＝Fv，其中F 为物体受的外力在速度v方向上的分力。
v v
平均功率的计算：利用P＝；利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
【注意】①要弄清楚是平均功率还是瞬时功率；②平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明
确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；③瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的
分力求解。
篮球是中学生喜欢的运动，如图所示，小明从同一高度的A、B两点先后将篮球抛出，篮球恰好都能垂
直打在篮板上的P点，不计空气助力，上述两个过程中篮球从A点（ ）
A．抛出后在空中的运动时间与从B点抛出时相等 B．抛出后速度的变化量大
C．抛出时小明对球做的功多 D．抛出后克服重力做功的功率先增大后减小
【答案】A
【详解】AB．将篮球看成反向平抛运动，篮球在竖直方向下降的高度相同，根据竖直方向上的位移一
时间公式得 ，解得运动时间为 ，所以两次在空中运动的时间相等，抛出后速度的变化
量都等于gt，即 ，故A正确，B错误；
C．由图可知从A点投出的篮球比从B点投出的篮球的水平位移小，根据水平方向上的运动学公式得
，所以有 ，即从A点投出的篮球在水平方向的分速度小于在B点在水平方向的分速度，
可得被抛出的速度大小为 ，结合 ，可得 ，即从A点投出的篮球的速度小，
动能小，小明对篮球所做的功更少，故C项错误；
D．克服重力做功的功率为 ，可知随着竖直方向的速度逐渐变小，克服重力做功的功率逐渐变
小，故D项错误。
三、机车启动问题
1、以恒定功率启动
启动过程如下：
功率-时间图像和速度-时间图像如下：
2、以恒定牵引力启动
启动过程如下：功率-时间图像和速度-时间图像如下：
【注意】①机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的
变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。
②在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时
达到最大运行速度，即P＝Fv。
f m
③恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动
机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt
计算(因为功率P是变化的)。
⑤无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度。
⑥机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大。
同一赛车分别在干燥路面及湿滑路面以恒定加速度 和 启动达到最大速度。已知 ，
赛车两次启动过程中阻力大小相等且不变，能达到的额定功率相同。则赛车的速度 随时间 变化的图
像正确的是（图中 、 为直线）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对赛车由牛顿第二定律可得 ，则有 ，由于 ，则有
，设赛车在干燥路面做匀加速运动达到的最大速度为 ，在湿滑路面做匀加速
运动达到的最大速度为 ，则有 ，可知 ，在干燥路面及湿
滑路面赛车的额定功率相同，当牵引力大小等于阻力时则有 ，可知赛车在干燥路
面及湿滑路面达到的最大速度相等。
核心考点 2 重力势能和弹性势能
一、重力做功1、定义
重力所做的功W ＝ mg Δ h ，Δh指初位置与末位置的高度差。
G
2、特点
只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关。
3、推广
重力做功的特点可推广到任一恒力做功。
4、恒力做功的特点是
与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。物体由
A位置运动到B位置，如图所示，A、B两位置的高度分别为h 、h ，物体的质量为m，无论从A到B路径如
1 2
何，重力做的功均为： ＝mgh＝mg(h -h)＝mgh -mgh ，可见重力做功与路径无关。
1 2 1 2
二、重力势能
1、定义
物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。
2、大小
物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。
3、表达式
E＝mgh，h是物体重心到参考平面的高度。
p
4、单位
在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为J。
5、重力做功和重力势能变化的关系
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．关系式：W ＝E －E 。
G p1 p2
【注意】物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考平面而言的。物体的重力势能可以取正、
零、负值，其正负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。
6、重力势能的性质
性质 内容
E ＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．选择不同的参考
p
相对性
平面，物体重力势能的数值是不同的，但重力势能的差值相同。
当一个物体由一个位置运动到另一个位置时，重力势能之差是一定
绝对性 的，与参考平面的选取无关，实际问题中我们更关注的是重力势能
的变化量。
所谓物体的重力势能，实际上是地球和物体组成的系统所共有的，
系统性
并非物体单独所有，通常所说的物体具有多少重力势能，实际上是一种简略的说法而已。
重力势能为标量，其正负表示重力势能的大小．物体在参考平面上
标矢性 方时，物体的高度为正值，重力势能为正值；在参考平面下方时，
物体的高度为负值，重力势能为负值。
参考平面的选择是任意的，视处理问题的方便而定，一般选择地面
任意性
或物体运动时所达到的最低点为零势能面。
7、重力做功与重力势能变化的关系
因果关系 重力做功是物体重力势能变化的原因，与其他因素无关。
重力所做的正功等于物体重力势能的减小量，W ＝mgh －mgh ＝
G 1 2
数量关系
E －E ＝－(E －E )＝－ΔE。
p1 p2 p2 p1 p
当物体由高处运动到低处时，重力做正功时，重力势能减小，减小
的重力势能等于重力做的功。
相互关系
当物体由低处运动到高处时，重力做负功时，重力势能增大，增大
的重力势能等于克服重力做的功。
8、重力做功与重力势能的比较
概念
重力做功 重力势能
比较项目
由于物体与地球的相互作用，且
物理意义 重力对物体所做的功
由它们之间的相对位置决定的能
表达式
重力G和初、末位置的 重力mg和某一位置的高度h
影响大小的因素
高度差Δh
只与初、末位置的高度 与参考平面的选择有关，同一位
差有关，与路径及参考 置的物体，选择不同的参考平面
特点
平面的选择无关 会有不同的重力势能值
过程量 状态量
重力做功过程是重力势能变化的过程，重力做正功，重力
势能减小，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少
联系
功，重力势能就变化了多少功，即
三、弹性势能
1、定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫弹性势能。
2、弹簧弹性势能大小的影响因素
弹簧的劲度系数（在弹性限度内，不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹性势能越大）；
弹簧的形变量（同一弹簧，在弹性限度内，形变大小越大，弹簧的弹性势能就越大）。
3、弹性势能的表达式式中 为弹簧的弹性势能， 为劲度系数， 为弹簧的形变量。
，
4、弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，做出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图线，如图8所示，根据W＝Fx知，图
线与横轴所围的面积表示F所做的功，即W＝＝kx2，所以E＝kx2。
p
5、弹力做功与弹性势能变化的关系
①弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服
弹力做多少功，弹性势能就增加多少。
②弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量
总等于弹力做功的相反数。
③弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。
6、对弹性势能的理解：
系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具
有系统性。
相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的
弹性势能为零。
核心考点 3 动能定理
一、动能
1、定义
物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。
2、表达式
E＝ m v 2 。
k
3、单位
国际单位为焦耳，符号为J。
4、标矢性
动能只有大小，没有方向，是标量。
5、影响因素
同一物体，速度越大，动能越大；同样速度，质量越大，动能越大。
6、对动能的理解
动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。
由于速度具有相对性，则动能也具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有
不同的动能，一般都以地面为参考系。动能是标量，且只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。动能的变化是指末状态的动能减去
初状态的动能。
二、动能定理
1、内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2、表达式
W＝ m v 2 － m v 2。
2 1
3、适用条件
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是
各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
4、物理意义
揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能
的变化。变化的大小由做功的多少来量度。动能定理的实质说明了功和能两者之间的密切关系，即做功的
过程是能量转化的过程。等号的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，并不意味着“功就是动能增
量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起物体动能的变化”。
5、功与动能的关系
W>0，物体的动能增加；W＝0，物体的动能不变；W<0，物体的动能减少。
6、动能定理表达式的推导：
如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l，速度由v 增加到v ，
1 2
力F对物体做功为：W＝Fl＝F·＝F·＝mv2－mv2。
2 1
7、动能定理中等号体现的关系
因果关系 合外力做功是物体动能变化的原因。
数量关系 合外力做的功与动能变化量相等。
单位关系 国际单位制单位都是焦耳。
8、动能定理的应用技巧
由于动能定理反映的是物体在两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到
终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是
说应用动能定理不受这些问题的限制；一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理
也可以求解，而往往用动能定理求解简捷；可是有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运
动学知识却无法求解。
9、对动能定理的理解
①运用动能定理，研究对象可以是一个物体也可以是一个系统，既适用于全过程也适用于某一个过程。
②动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。
③定理中“外力”的两点理解：重力、弹力、摩擦力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作
用；可以是恒力，也可以是变力。④总功的求法：先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力 F ，然后由W＝F lcosα计算；
合 合
计算各个力对物体做的功W、W、…、W，然后将各个外力所做的功求代数和。
1 2 n
10、应用动能定理求解步骤
①选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程；
②对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和；
③对研究对象进行运动分析，画出运动过程的草图，根据运动性质和特点明确物体在初、末状态的动
能E、E；
k1 k2
④列出动能定理的方程W＝E－E，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
k2 k1
11、优先应用动能定理的问题
①不涉及加速度、时间的问题；
②有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题；
③变力做功的问题；
④含有F、l、m、v、W、E 等物理量的力学问题。
k
【注意】应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程
的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。
12、动能定理与图像问题的分析方法
Fx图：由公式W＝Fx可知，Fx图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。
Pt图：由公式W＝Pt可知，Pt图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。
图像的实质是力与运动的关系问题，求解这类问题的关键是理解图像的物理意义，理解图像的轴、点、
线、截、斜、面六大功能。
方法：①首先看清楚所给图像的种类(如vt图像、Ft图像、Ex图像等)；
k
②挖掘图像的隐含条件——求出所需要的物理量，如由vt图像所包围的“面积”求位移，由Fx图像
所包围的“面积”求功等；
③分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
【注意】解题方法：看清图像的横、纵坐标所表示的物理量及单位并注意坐标原来是否从0开始。理
解图像的物理意义，能够抓住图像的一些关键点，如斜率、截距、面积、交点、拐点的物理意义。判断物
体的运动情况或受力情况，明确因变量与自变量间的制约关系，明确物理量的变化趋势，分析图线进而弄
懂物理过程，再结合牛顿运动定律等相关规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确“图像与公式”、
“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题做出准确判断。
13、利用动能定理求解多过程问题的方法
①弄清物体的运动由哪些过程组成；
②分析每个过程中物体的受力情况；
③各个力做功有何特点，对动能的变化有无影响；
④从总体上把握全过程，表达出总功，找出初、末状态的动能；
⑤对所研究的全过程运用动能定理列方程。
【注意】对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个个子过程，分别对每个过程进行分
析，得出每个过程遵循的规律，当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段或全程应用动能定理。
物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，然后再正确写出总功。全程应用动能定理解题求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同的情况分别对待，弄清楚
物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，然后再正确写出总功。
对于物体运动过程中有往复运动的情况，物体所受的滑动摩擦力、空气阻力等大小不变，方向发生变
化，但在每一段上这类力均做负功，而且这类力所做的功等于力和路程的乘积，与位移无关。若题目中涉
及求解物体运动的路程或位置的变化，可利用动能定理求出摩擦力做的功，然后进一步确定物体运动的路
程或位置的变化。
14、不适用动能定理求解全过程的情况
若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，
不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。
15、动能定理与牛顿第二定律的联系和区别
联系：力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，两者都是来描述力的这种作
用效果的。动能定理对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而牛顿第二
定律注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果。
区别：牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间
的联系；动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与
物体运动状态变化之间的联系，因而它们是研究力和运动的关系的两条不同途径。把对一个物理现象每个
瞬时的研究转变成对整个过程的研究，是研究方法上的一大进步。如图所示，一根橡皮绳一端固定于天花板上，另一端连接一质量为m的小球（可视为质点），小球静
止时位于O点。现给小球一竖直向下的瞬时速度 ，小球到达的最低点A与O点之间的距离为 。已
知橡皮绳中弹力的大小与其伸长量的关系遵从胡克定律。不计橡皮绳的重力及空气阻力。小球运动过
程中不会与地板或天花板碰撞。则下列说法正确的是（ ）
A．小球由O点运动至A点的过程中，天花板对橡皮绳所做的功为
B．小球由O点运动至A点的过程中，小球克服合外力做功为
C．小球由O点运动至A点的过程中，小球的动能一直减小
D．小球此后上升至最高点的位置与A点的间距一定等于
【答案】C
【详解】A．小球由O点运动至A点的过程中，天花板对橡皮绳的拉力的位移为零，则天花板对橡皮绳
做功为零，故A错误；B．小球由O点运动至A点的过程中，根据动能定理
则小球克服合外力做功为 ，故B错误；
C．小球由O点运动至A点的过程中，向上的弹力一直大于向下的重力，则合力方向向上，小球向下做
减速运动，小球的动能一直减小，故C正确；
D．若小球在O点时橡皮绳的伸长量大于或等于x，则由对称性可知，小球此后从A点上升至最高点的
位置与A点的间距等于2x；若小球在O点时橡皮绳的伸长量小于x，则小球此后从A点上升至最高点
的位置与A点的间距不等于2x，故D错误。
核心考点 4 机械能守恒定律
一、机械能
1、定义
物体的动能与重力势能(弹性势能)之和称为机械能。
2、表达式
E = E + E ，E 为动能，E 为势能（重力势能和弹性势能）。
K P K P
3、标矢性机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)。
4、对机械能的理解
机械能包括动能、重力势能、弹性势能。重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是
属于弹簧的弹力系统的。
机械能是状态量，做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的机械能。
机械能具有相对性，势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对
性(应该相对于同一个惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。
机械能具有系统性，是物体、地球和弹性系统所共有的。
【注意】重力势能与动能的转化：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，
动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体
的动能转化为重力势能。
弹性势能与动能的转化：只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体
的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的
动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。
二、机械能守恒定律
1、内容
在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能相互转化，但机械能的总量保持不变。
2、表达式
E ＋E ＝E ＋E 。
k2 p2 k1 p1
【注意】应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间过程
的细节，即可以简化计算。
3、守恒条件
受力（物体系统只受重力或弹力作用）；做功（物体系统存在其他力作用，但其他力不做功，只有重
力或弹力做功）；转化（相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转
化）。“只有重力或弹力做功”并非“只受重力或弹力作用”，也不是合力的功等于零，更不是某个物体
所受的合力等于零。
【注意】只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒；除重力外，物体
还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零；除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等
于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。单独一个物体机械能不守恒，例如与弹簧相连的小球下摆的
过程机械能减少。
4、机械能守恒定律的三种观点
观点 表达式 物理意义 注意事项
E ＋E ＝E ＋ 系统初状态的机械能等于 要选取零势能面，在整个分析过
k1 p1 k2
守恒
E 末状态的机械能。 程中必须选取同一个零势能面。
p2
系统减少（或增加）的重
不需要选取零势能面，要明确势
转化 ΔE＝－ΔE 力势能等于系统增加（或
k p
能的增加量或减少量。
减少）的动能。
转移 ΔE A减 ＝ΔE B增 若系统由A、B两部分组 不需要选取零势能面，A部分机成，当系统的机械能守恒 械能的增加量等于A部分末状态
时，则A部分机械能的增 的机械能减去初状态的机械能，
加量等于B部分机械能的 而B部分机械能的减少量等于B
减少量。 部分初状态的机械能减去末状态
的机械能。
【注意】如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒的观点求解比较方便；对于由两个或两个以上
物体组成的系统，用转化或转移的观点求解比较方便。
5、机械能守恒定律解题方法
①明确研究对象；
②分析研究对象的受力情况和运动情况，分析清楚各力做功的情况；
③选取适当的势能平面，明确研究对象的初末状态的机械能；
④选取合适的机械能守恒定律的观点列表达式；
⑤对结果进行讨论和说明。
【注意】机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，应用时首先要判断所研究的物理情景中机械
能是否守恒。
6、多个物体的机械能守恒定律的应用
对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气
阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
注意寻找用绳子或杆相连的物体之间的速度关系和位移关系。
列机械能守恒方程时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，一般选用 ΔE＝－ΔE 或ΔE ＝－
k p A
ΔE 的形式解决问题。
B
7、机械能守恒定律的判断方法
利用定义进行判断 分析动能和势能的和是否发生变化。
利用做功进行判断 系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，或有其
他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
利用能量转化进行 若系统内物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转
判断 化，没有其他形式的能（如没有内能增加）的转化，则系统
的机械能守恒。
【注意】①机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子
弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统克服内部阻力做功，
将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少；
②对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其
他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒（对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力
做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹
力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化）；
③对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒；
④一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒。7、机械能守恒定律与动能定理的区别
类型 机械能守恒定律 动能定理
共同点 机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来
研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的
方程都是标量方程。
区别 对象 物体组成的系统。 是一个物体(质点)。
条件 只允许重力和弹力做 没有条件的限制，它不但允许重力
功。 和弹力做功，还允许其他力做功。
着眼点 系统初、末状态的机 合外力做的功及初、末状态的动能
械能的表达式。 的变化。
机械能守恒定律的应用
应用类型 分析方法
单个物体的机械能 明确研究对象；分析研究对象的受力情况和运动情况，
守恒问题 分析清楚各力做功的情况；选取合适的机械能守恒定律
的观点列表达式；对结果进行讨论和说明。
多个物体的机械能 分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹
守恒问题 力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，
从而判断系统机械能是否守恒。对多个物体组成的系
统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是
否守恒。注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系
和位移关系。
含弹簧的机械能守 弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变
恒问题 化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做
功，系统机械能守恒。弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长
（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹
性势能最大。
非质点的机械能守 像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生
恒问题 形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体
不能再看成质点来处理，虽然不能看成质点来处理，但
因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，
可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则并确定物
体各部分的重心位置，然后根据初末状态物体重力势能
的变化列式进行求解。把一压力传感器固定在水平地面上，轻质弹簧竖直固定在压力传感器上，如图甲所示。 时，将金
属小球从弹簧正上方由静止释放，小球落到弹簧上后压缩弹簧到最低点，又被弹起离开弹簧，上升到
一定高度后再下落，如此反复。压力传感器中压力大小F随时间t变化图像如图乙所示。下列说法正确
的是（ ）
A． 时刻，小球的动能最大
B． 时间内，小球始终处于失重状态
C． 时间内，小球所受合力的冲量为0
D． 时间内，小球机械能的增加量等于弹簧弹性势能的减少量
【答案】D
【详解】A．由图乙可知，在 时刻，小球落到弹簧上，开始压缩弹簧，此后弹簧的弹力开始增大，小
球受到的重力与弹力的合力方向向下，逐渐减小，由牛顿第二定律可知，加速度向下，且逐渐减小，
小球的速度仍在增大，当弹力增大到大小等于重力时，小球的速度最大，则动能最大，A错误；
B．由图乙可知， 时刻弹力最大，此时压缩弹簧到最低点，可知在 时间内，弹力先小于重力后
大于重力，则加速度方向先向下，后向上，小球先失重后超重，B错误；
C． 时间内，小球与弹簧组成的整体机械能守恒，可知在 时刻小球落到弹簧上， 时刻小球离
开弹簧，则有两时刻小球的速度大小相等，方向相反，设此时的速度大小为v，小球的质量为m，取
向上方向为正方向，则有小球的动量变化量为 ，由动量定理可知，小球在
时间内，所受合力的冲量 ，C错误；
D． 时间内，弹力逐渐减小，是小球被弹起直至离开弹簧的过程，此过程小球和弹簧组成的整体
机械能守恒，则有小球增加的动能与重力势能之和等于弹簧弹性势能的减少量，即小球机械能的增加
量等于弹簧弹性势能的减少量，D正确。故选D。
核心考点 5 功能关系和能量守恒定律
一、功能关系
1、内容
功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。做功的过程一定伴随着能量的转化，
而且能量的转化必须通过做功来实现。
2、选用原则①在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
②只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
③只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
④只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
3、常见的功能关系
比较
做功特点 功能关系
力
做功与路径无关，只与初、末位置的
重力 W ＝－ΔE＝mgh －mgh
G p 1 2
高度差有关
做功只与弹簧的劲度系数和形变量有 W ＝－ΔE＝k(Δx)2－k(Δx)2(不
弹 p 1 2
弹力(弹簧)
关 要求计算)
滑动摩擦力做功与路径有关，可以做
摩擦力 |W |＝F ·s(s为路程)
f滑 f滑
正功、负功，也可以不做功
一对滑动摩擦
做功代数和小于零 |W |＝Q＝|ΔE |＝F ·x
f滑 机械能 f滑 相对
力
一对静摩擦力 做功代数和为零
作用力和反作用力可以做功，也可以
一对相互作用
不做功，做功代数和可以大于零、小
力
于零，也可以等于零
合力如果是恒力，可以根据功的定义
合力 F ·x＝ΔE(动能定理)
合 k
式求解
重力及弹簧弹
重力及弹簧弹力以外的其他力所做的
力以外的其他 W ＝ΔE
其他力 机械能
功将改变系统的机械能
力
与路径无关，由初、末位置的电势差
电场力 W ＝－ΔE＝qU
电场力 p
决定
洛伦兹力 不做功，只改变速度的方向
安培力 可以做功，也可以不做功
感应电流在磁
做负功，阻碍导体棒与导轨的相对运
场中受到的安 |W |＝|ΔE |＝Q
安 机械能
动
培力
分子力 可以做正功，也可以做负功 W ＝－ΔE
分子力 p
核力 核力破坏时将释放巨大的能量 ΔE＝Δmc2其中c为光速
4、摩擦力做功与能量的关系
静摩擦力做功的特点：①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；②相互作用的一对静
摩擦力做功的代数和总等于零；③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。
滑动摩擦力做功的特点：①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；②相互间存在滑
动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果（机械能全部转化为内能；有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能）。
摩擦生热的计算：Q＝F x ，其中x 为相互摩擦的两个物体间的相对位移。
f 相对 相对
静摩擦力 动摩擦力
只有能量的转移，而 既有能量的转移，又有能量的转
能量的转化
不 没有能量的转化 化
同 一对滑动摩擦力所做功的代数和
一对摩擦 一对静摩擦力所做功
点 不为零，总功W＝－F·l ，即摩
f 相对
力的总功 的代数总和等于零
擦时产生的热量
相
同 做功的正、负 两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功
点
二、能量守恒定律
1、内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移
到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2、适用范围
能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适应的一条规律。
3、表达式
①E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
②ΔE ＝ΔE ，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。
增 减
4、对能量守恒定律的理解
某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；某个物体的能量
减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
5、能量守恒定律解题步骤
①选取研究对象和研究过程，了解对应的受力情况和运动情况。
②分析有哪些力做功，相应的有多少形式的能参与了转化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、
电势能）、内能等。
③明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量 ΔE 和增加的能量ΔE 的
减 增
表达式。
④列出能量转化守恒关系式：ΔE ＝ΔE ，求解未知量，并对结果进行讨论。
减 增
三、两种模型的能量分析
1、传送带模型
模型条件：①传送带匀速或加速运动；②物体以初速度v 滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传
0
送带间有摩擦力；③物体与传送带之间有相对滑动。
模型特点：①若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定和传送带之间产生相对滑动，物体一定
受到沿传送带前进方向的摩擦力；②若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦
因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带
向后滑动；③若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用。
功能关系：①对功W 和Q的理解：传送带做的功：W ＝Fx ；产生的内能Q＝F x ，其中x 为
F F 传 f 相对 相对
相互摩擦的物体与传送带间的相对位移。
功能关系分析：W ＝ΔE＋ΔE＋Q。
F k p
分析流程如下：
(多选)如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度 v匀速运动．现将质量为m的某
物块无初速地放在传送带的左端，经过时间t物块保持与传送带相对静止．设物块与传送带间的动摩
擦因数为μ，对于这一过程，下列说法正确的是( )
A．摩擦力对物块做的功为mv2
B．传送带克服摩擦力做的功为mv2
C．系统摩擦生热为mv2
D．电动机多做的功为mv2
解析：选ACD。设物块与传送带之间的滑动摩擦力大小为F，物块的位移大小为x，物块对传送带摩
f 1
擦力的作用点对地位移大小为x，则x＝vt，x＝vt＝2x，对物块运用动能定理有W＝Fx＝mv2，选项
2 1 2 1 f f 1
A正确；传送带克服摩擦力做的功为W′＝Fx＝2Fx＝mv2，选项B错误；系统摩擦生热为Q＝Fx
f f 2 f 1 f 相对
＝F(x－x)＝Fx＝mv2，选项C正确；根据能量的转化与守恒定律，电动机多做的功等于物块增加的
f 2 1 f 1
动能和系统增加的内能之和，即为mv2，选项D正确。
2、板块模型
模型特点：滑块放置于长木板上，滑块和木板均相对地面或者斜面运动，且滑块和木板在摩擦力的作
用下发生相对滑动。
分析思路：对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程，注意摩擦力的方向；
Δv Δv
t= 2 = 1
a a
从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由 2 1 ，可求出共同速度v和所用时间t；求解位
移时注意区分三个位移：①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x ；②求摩擦力对木板做功时用木
滑
板对地的位移x ；③求摩擦生热时用相对位移Δx.
板从能量角度分析板块模型时对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律。
【注意】使滑块不从木板的末端掉下来的临界条件是滑块到达木板末端时的速度与木板的速度恰好相
同。
如图所示，木板A静止于光滑水平面上，木块B轻置于木板A上。现施加外力F拉着木块B做匀加速
直线运动，木板A在摩擦力作用下也向右加速运动，但加速度小于木块B的加速度，则（ ）
A．木板A所受摩擦力对木板A做负功
B．木板A对木块B的摩擦力做的功与木块B对木板A的摩擦力做的功的大小相等
C．木块与木板间摩擦产生的热量等于木板A对木块B的摩擦力做功的大小减去木块B对木板A的摩擦
力做的功
D．力F做的功等于木块B与木板A的动能增量之和
【答案】C
【解析】A．木板A所受摩擦力方向与其运动方向相同，对木板A做正功，故A错误；
B．木板 A 对木块 B 的摩擦力做的功大小为W =f x，木块 B 对木板 A 的摩擦力做的功大小为
1 AB
W =f x
2 BA 1
由题意得f 的大小与f 的大小相等，但x>x ，所以两者做功大小不相等，故B项错误；
AB BA 1
C．摩擦生热的计算公式为Q=f⋅Δs，又因为Δs=x−x ，所以有Q=f⋅Δs=W −W 故C项正确；
1 1 2
D．根据能量守恒有，力F做的功等于木块B和木块A动能的增量之和，再加上A、B相对运动产生的
热量，故D项错误。
