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2017 年浙江省嘉兴市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确
选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2 C．D．
2．（3分）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．9
3．（3分）已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣
2的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2B．3，4C．5，2 D．5，4
4．（3分）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对
面的字是（ ）
A．中 B．考 C．顺 D．利
5．（3分）红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命
题中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
第1页（共30页）6．（3分）若二元一次方程组 的解为 ，则a﹣b=（ ）
A．1B．3C．D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（ ，0），B（1，1）．若平移点A
到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移（2 ﹣1）个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
8．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=2B．（x+1）2=2C．（x+2）2=3D．（x+1）2=3
9．（3分）一张矩形纸片ABCD，已知AB=3，AD=2，小明按如图步骤折叠纸片，则线
段DG长为（ ）
A．B．C．1D．2
10．（3分）下列关于函数y=x2﹣6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；
④若函数图象过点（a，y ）和（b，y +1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
0 0
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
第2页（共30页）二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．（4分）分解因式：ab﹣b2= ．
12．（4分）若分式 的值为0，则x的值为 ．
13．（4分）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓形
ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
14．（4分）七（1）班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投进球数的扇形
统计图，则投进球数的众数是 ．
15．（4分）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得 tan∠BA C=1，
1
tan∠BA C= ，tan∠BA C= ，计算 tan∠BA C= ，…按此规律，写出
2 3 4
tan∠BA C= （用含n的代数式表示）．
n
16．（4分）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，
BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线
段BH的长是 ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在
∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．（结果保
第3页（共30页）留根号）
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、
23题每题10分，第24题12分，共66分.）
17．（6分）（1）计算：（ ）2﹣2﹣1×（﹣4）；
（2）化简：（m+2）（m﹣2）﹣ ×3m．
18．（6分）小明解不等式 ﹣ ≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的
序号，并写出正确的解答过程．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点
D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
20．（8分）如图，一次函数y=k x+b（k ≠0）与反比例函数y=（k ≠0）的图象交于
1 1 2
点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
第4页（共30页）（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n
的值；若不存在，说明理由．
21．（8分）小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每月用电量和当
地气温进行了统计．当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年月用电量如图
2．
根据统计图，回答下面的问题：
（1）当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多
少？
（2）请简单描述月用电量与气温之间的关系；
（3）假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测
今年该社区的年用电量？请简要说明理由．
22．（10分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高
AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地
面成80（° ∠FGK=80°），身体前倾成125（° ∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm
（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退
多少？
第5页（共30页）（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17， ≈1.41，结果精确到0.1）
23．（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．
DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH= ，DM=4时，求DH的长．
24．（12分）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：
第6页（共30页）按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t
（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地
12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s= t2+bt+c
（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地
方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙
地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相
遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v + （t﹣30），v 是
0 0
加速前的速度）．
第7页（共30页）2017 年浙江省嘉兴市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确
选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）（2017•随州）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2 C．D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的
相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2017•舟山）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值
可以是（ ）
A．4B．5C．6D．9
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三
边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件
的．
【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根
据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．（3分）（2017•舟山）已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a
第8页（共30页）﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．3，2B．3，4C．5，2 D．5，4
【分析】根据数据a，b，c的平均数为5可知（a+b+c）=5，据此可得出（a﹣2+b﹣
2+c﹣2）的值；再由方差为4可得出数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差．
【解答】解：∵数据a，b，c的平均数为5，
∴ （a+b+c）=5，
∴ （a﹣2+b﹣2+c﹣2）= （a+b+c）﹣2=5﹣2=3，
∴数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为4，
∴ [（a﹣5）2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]=4，
∴a﹣2，b﹣2，c﹣2的方差= [（a﹣2﹣3）2+（b﹣2﹣3）2+（c﹣﹣2﹣3）2]= [（a﹣5）
2+（b﹣5）2+（c﹣5）2]=4．
故选B．
【点评】本题考查的是方差，熟记方差的定义是解答此题的关键．
4．（3分）（2017•舟山）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，
“你”字对面的字是（ ）
A．中 B．考 C．顺 D．利
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点
作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“祝”与“考”是相对面，
“你”与“顺”是相对面，
“中”与“利”是相对面．
故选C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从
第9页（共30页）相对面入手，分析及解答问题．
5．（3分）（2017•舟山）红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”
游戏，下列命题中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
【分析】利用列表法列举出所有的可能，进而分析得出答案．
【解答】解：红红和娜娜玩“锤子、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下
锤子 剪刀 布
红红
娜娜
锤子 （锤子，锤子） （锤子，剪刀） （锤子，布）
剪刀 （剪刀，锤子） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，锤子） （布，剪刀） （布，布）
由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（锤子，锤子）、（剪刀，剪
刀）、（布，布）．
因此，红红和娜娜两人出相同手势的概率为 ，两人获胜的概率都为 ，
红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为 ，错误，故选项A符合题意，
故选项B，C，D不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列举出所有可能是解题关
键．
第10页（共30页）6．（3分）（2017•舟山）若二元一次方程组 的解为 ，则a﹣b=（ ）
A．1B．3C．D．
【分析】将两式相加即可求出a﹣b的值．
【解答】解：∵x+y=3，3x﹣5y=4，
∴两式相加可得：（x+y）+（3x﹣5y）=3+4，
∴4x﹣4y=7，
∴x﹣y= ，
∵x=a，y=b，
∴a﹣b=x﹣y=
故选（D）
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求
出a﹣b的值，本题属于基础题型．
7．（3分）（2017•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（ ，0），B（1，
1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移
方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移（2 ﹣1）个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【分析】过点B作BH⊥OA，交OA于点H，利用勾股定理可求出OB的长，进而可得
点A向左或向右平移的距离，由菱形的性质可知BC∥OA，所以可得向上或向下
平移的距离，问题得解．
【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边
形，
第11页（共30页）过B作BH⊥x轴于H，
∵B（1，1），
∴OB= = ，
∵A（ ，0），
∴C（1+ ，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边
都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
8．（3分）（2017•舟山）用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=2B．（x+1）2=2C．（x+2）2=3D．（x+1）2=3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的
是哪个即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣1=0，
∴x2+2x+1=2，
∴（x+1）2=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
9．（3分）（2017•舟山）一张矩形纸片ABCD，已知AB=3，AD=2，小明按如图步骤折
叠纸片，则线段DG长为（ ）
第12页（共30页）A．B．C．1D．2
【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA′和DC′的长度，进而求出线段DG的长度．
【解答】解：∵AB=3，AD=2，
∴DA′=2，CA′=1，
∴DC′=1，
∵∠D=45°，
∴DG= DC′= ，
故选A．
【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC′的长度．
10．（3分）（2017•舟山）下列关于函数y=x2﹣6x+10的四个命题：
①当x=0时，y有最小值10；
②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；
③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；
④若函数图象过点（a，y ）和（b，y +1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．
0 0
其中真命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物
线的增减性对各选项进行逐一分析．
【解答】解：∵y=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）2﹣6（3+n）+10，
当x=3﹣n时，y=（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10，
∵（3+n）2﹣6（3+n）+10﹣[（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3﹣n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，
第13页（共30页）∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）2﹣6（n+1）+10，
当x=n时，y=n2﹣6n+10，
（n+1）2﹣6（n+1）+10﹣[n2﹣6n+10]=2n﹣4，
∵n是整数，
∴2n﹣4是整数，故③正确；
∵抛物线y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，
∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜
3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，故④是假命题．故选C．
【点评】本题主要考查了二次函数的意义，性质，图象，能够根据二次函数的性质
数形结合是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．（4分）（2017•淮安）分解因式：ab﹣b2= b （ a﹣b ） ．
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=b（a﹣b），
故答案为：b（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
12．（4分）（2017•舟山）若分式 的值为0，则x的值为 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到 ，从而求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得 ，
由2x﹣4=0，得x=2，
由x+1≠0，得x≠﹣1．
综上，得x=2，即x的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
第14页（共30页）13．（4分）（2017•舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的
⊙O，=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 （ 3 2 + 48π ） cm 2 ．
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S ，根据扇形面积公式求出
△AOB
扇形ACB的面积，计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵ =90°，
∴∠AOB=90°，
∴S = ×8×8=32，
△AOB
扇形ACB（阴影部分）= =48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
14．（4分）（2017•舟山）七（1）班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投
进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是 3 球 ．
第15页（共30页）【分析】根据众数的定义及扇形统计图的意义即可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，3球所占的比例最大，
∴投进球数的众数是3球．
故答案为：3球．
【点评】本题考查的是扇形统计图，熟知扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内
各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数是解答此题的关键．
15．（4分）（2017•舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得
tan∠BA C=1，tan∠BA C= ，tan∠BA C= ，计算tan∠BA C= ，…按此规律，写出
1 2 3 4
tan∠BA C= （用含n的代数式表示）．
n
【分析】作CH⊥BA 于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求
4
出CH、A H，根据正切的概念求出tan∠BA C，总结规律解答．
4 4
【解答】解：作CH⊥BA 于H，
4
由勾股定理得，BA = = ，A C= ，
4 4
△BA C的面积=4﹣2﹣ = ，
4
∴ × ×CH= ，
解得，CH= ，
则A H= = ，
4
∴tan∠BA C= = ，
4
1=12﹣1+1，
第16页（共30页）3=22﹣2+1，
7=32﹣3+1，
∴tan∠BA C= ，
n
故答案为： ； ．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方
形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
16．（4分）（2017•舟山）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边
BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交
于点H，此时线段BH的长是 （ 1 2 ﹣12 ） cm ．现将三角板DEF绕点G按顺时针
方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共
为 （ 1 2 ﹣18 ） cm ．（结果保留根号）
【分析】如图1中，作HM⊥BC于M，设HM=CM=a．在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，
BM= a，根据BM+MF=BC，可得 a+a=12，推出a=6 ﹣6，推出BH=2a=12 ﹣12．如图
2中，当DG⊥AB时，易证GH ⊥DF，此时BH 的值最小，易知BH =BK+KH =3 +3，当
1 1 1 1
旋转角为60°时，F与H 重合，易知BH =6 ，观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的
2 2
变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH +HH ，由此即可解决问题．
1 2
【解答】解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM=a，则CM=HM=a．
第17页（共30页）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，BC=12，
在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，BM= a，
∵BM+FM=BC，
∴ a+a=12，
∴a=6 ﹣6，
∴BH=2a=12 ﹣12．
如图2中，当DG⊥AB时，易证GH ⊥DF，此时BH 的值最小，易知BH =BK+KH =3
1 1 1 1
+3，
∴HH =BH﹣BH =9 ﹣15，
1 1
当旋转角为60°时，F与H 重合，易知BH =6 ，
2 2
观察图象可知，在∠CGF 从 0°到 60°的变化过程中，点 H 相应移动的路径长
=2HH +HH =18 ﹣30+[6 ﹣（12 ﹣12）]=12 ﹣18．
1 2
故答案为（12 ﹣12）cm，（12 ﹣18）cm．
【点评】本题考查轨迹、旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关
键是正确寻找点H的运动轨迹，属于中考常考题型．
第18页（共30页）三、解答题（本大题共8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、
23题每题10分，第24题12分，共66分.）
17．（6分）（2017•舟山）（1）计算：（ ）2﹣2﹣1×（﹣4）；
（2）化简：（m+2）（m﹣2）﹣ ×3m．
【分析】（1）首先计算乘方和负指数次幂，计算乘法，然后进行加减即可；
（2）首先利用平方差公式和单项式的乘法法则计算，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式=3﹣ ×（﹣4）=3+2=5；
（2）原式=m2﹣4﹣m2=﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确理解乘法公式是关键．
18．（6分）（2017•舟山）小明解不等式 ﹣ ≤1的过程如图．请指出他解答过程
中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即
可．
【解答】解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：
去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，
合并同类项，得﹣x≤5，
两边都除以﹣1，得x≥﹣5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解法及步
骤是解题的关键．
19．（6分）（2017•舟山）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点
第19页（共30页）D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【点评】此题主要考查了基本作图，三角形的内切圆的性质，四边形的内角和公式，
第20页（共30页）解本题的关键是作出三角形的内切圆．
20．（8分）（2017•舟山）如图，一次函数y=k x+b（k ≠0）与反比例函数y=（k ≠0）
1 1 2
的图象交于点A（﹣1，2），B（m，﹣1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n＞0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n
的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当PA=PB时，可得（n+1）2+4=（n﹣2）2+1．②当AP=AB时，可
得22+（n+1）2=（3 ）2．③当BP=BA时，可得12+（n﹣2）2=（3 ）2．分别解方程即可解
决问题；
【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入y= ，得到k =﹣2，
2
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
∵B（m，﹣1）在Y=﹣ 上，
∴m=2，
由题意 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴AB=3 ，
①当PA=PB时，（n+1）2+4=（n﹣2）2+1，
∴n=0，
∵n＞0，
∴n=0不合题意舍弃．
②当AP=AB时，22+（n+1）2=（3 ）2，
∵n＞0，
第21页（共30页）∴n=﹣1+ ．
③当BP=BA时，12+（n﹣2）2=（3 ）2，
∵n＞0，
∴n=2+ ．
综上所述，n=﹣1+ 或2+ ．
【点评】本题考查反比例函数综合题．一次函数的性质、待定系数法、等腰三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用 分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（8分）（2017•舟山）小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每
月用电量和当地气温进行了统计．当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年
月用电量如图2．
根据统计图，回答下面的问题：
（1）当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多
少？
（2）请简单描述月用电量与气温之间的关系；
（3）假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测
今年该社区的年用电量？请简要说明理由．
【分析】（1）由每月的平均气温统计图和月用电量统计图直接回答即可；
（2）结合生活实际经验回答即可；
（3）能，由中位数的特点回答即可．
【解答】解：
第22页（共30页）（1）由统计图可知：月平均气温最高值为30.6℃，最低气温为5.8℃；
相应月份的用电量分别为124千瓦时和110千瓦时．
（2）当气温较高或较低时，用电量较多；当气温适宜时，用电量较少；
（3）能，因为中位数刻画了中间水平．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（10分）（2017•舟山）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）
靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时
下半身与地面成80（° ∠FGK=80°），身体前倾成125（° ∠EFG=125°），脚与洗漱台距
离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退
多少？
（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17， ≈1.41，结果精确到0.1）
【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即
可解决问题；
（2）求出OH、PH的值即可判断；
【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，
∴EF=66，
∵∠FGK=80°，
∴FN=100•sin80°≈98，
第23页（共30页）∵∠EFG=125°，
∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，
∴FM=66•cos45°=33 ≈46.53，
∴MN=FN+FM≈144.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB=48，O为AB中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66•sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，
∵GN=100•cos80°≈17，CG=15，
∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，
∴他应向前9.5cm．
【点评】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）（2017•舟山）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点
A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
第24页（共30页）（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH= ，DM=4时，求DH的长．
【分析】（1）只要证明AE=BM，AE∥BM即可解决问题；
（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边
形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，
AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI= AM，MI⊥AC，即可解
决问题；
②设DH=x，则AH= x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四
边形，推出DF∥AB，推出 = ，可得 = ，解方程即可；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
第25页（共30页）∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
第26页（共30页）∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI= BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM．
∴MI= AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则AH= x，AD=2x，
∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴ = ，
∴ = ，
解得x=1+ 或1﹣ （舍弃），
∴DH=1+ ．
【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角
的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）（2017•嘉兴）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：
第27页（共30页）按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t
（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地
12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s= t2+bt+c
（b，c是常数）刻画．
（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地
方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙
地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相
遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v + （t﹣30），v 是
0 0
加速前的速度）．
【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到
乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6
千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车
最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，
设她离乙地的距离为s ，则s 与时间t的函数关系式为s =0.48t+h（t≥35），当
1 1 1
t=35时，s =s= ，从而可求出h的值，最后潮头与小红相距 1.8千米时，即s﹣
1
s =1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达
1
乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30=26分钟，
第28页（共30页）【解答】解：（1）由题意可知：m=30；
∴B（30，0），
潮头从甲地到乙地的速度为： 千米/分钟；
（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，
∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，
设小红出发x分钟与潮头相遇，
∴0.4x+0.48x=12﹣7.6，
∴x=5
∴小红5分钟与潮头相遇，
（3）把（30，0），C（55，15）代入s= t2+bt+c，
解得：b=﹣ ，c=﹣ ，
∴s= t2﹣ ﹣
∵v =0.4，
0
∴v= （t﹣30）+ ，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，
此时v=0.48，
∴0.48= （t﹣30）+ ，
∴t=35，
当t=35时，
s= t2﹣ ﹣ = ，
∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小
红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．
设她离乙地的距离为s ，则s 与时间t的函数关系式为s =0.48t+h（t≥35），
1 1 1
当t=35时，s =s= ，代入可得：h=﹣ ，
1
∴s = ﹣
1
最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s =1.8，
1
∴ t2﹣ ﹣ ﹣ + =1.8
解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去），
第29页（共30页）∴t=50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50﹣30=26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟，
【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用，一元二次方程的解
法，待定系数法求解析式等知识，综合程度较高，属于中等题型．
第30页（共30页）
