文档内容
2017 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．C．6D．±6
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5 B．（﹣x）5=﹣x5 C．x3•x2=x6 D．3x2+2x3=5x5
3．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之
一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表
示为（ ）
A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011 D．39×109
4．（3分）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（
）
A．B．C．D．
6．（3分）解分式方程 ﹣ =1，可知方程的解为（ ）
A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
7．（3分）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，
则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（ ）
A．0B．2C．4D．6
8．（3分）已知点A在函数y =﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y =kx+1+k（k为常
1 2
数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y ，y 图象上的一
1 2
对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
第1页（共24页）9．（4分）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）因式分解：x2﹣6x+9= ．
11．（4分）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他
们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是 ，
众数是 ．
12．（4分）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，
PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 ．
13．（4分）不等式组 的解集是 ．
14．（4分）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相
等的实数根，则AC边上的中线长为 ．
15．（4分）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形
边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径
为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈ = =3，
那么当 n=12 时，π≈ = ．（结果精确到 0.01，参考数据：
sin15°=cos75°≈0.259）
16．（4分）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧 上任意一点（不
与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，
下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①若∠PAB=30°，则弧 的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧 上的位置如何变化，CP•CQ为定值．
第2页（共24页）三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17．（6分）计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣2）0﹣（ ）﹣1．
18．（6分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和
求证，并写出证明过程．
已知：如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ．
求证： ．
19．（8分）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A
（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．
20．（8分）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，
其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的 ，结果打了16个包还多40本；
第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9
个包，那么这批书共有多少本？
第3页（共24页）21．（8分）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做
起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调
查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 频率
0＜t≤2 2 0.04
2＜t≤4 3 0.06
4＜t≤6 15 0.30
6＜t≤8 a 0.50
t＞8 5 b
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计
该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？
22．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架
CD 所 在 直 线 相 交 于 点 O ， 且 OB=OD ， 支 架 CD 与 水 平 线 AE 垂 直 ，
∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．
（1）求支架CD的长；
（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
23．（10分）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与
第4页（共24页）A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面
积为S ，△BND的面积为S ．
1 2
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，
AD=2时，则S •S = ；
1 2
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D
旋转至如图②所示位置，求S •S 的值；
1 2
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S •S 的表达式（结果
1 2
用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S •S 的
1 2
表达式，不必写出解答过程．
24．（10分）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x﹣
交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，
求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若
能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
第5页（共24页）第6页（共24页）2017 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•岳阳）6的相反数是（ ）
A．﹣6 B．C．6D．±6
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：6的相反数是﹣6，
故选A．
【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
2．（3分）（2017•岳阳）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5 B．（﹣x）5=﹣x5 C．x3•x2=x6 D．3x2+2x3=5x5
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=x6，故本选项错误；
B、原式=﹣x5，故本选项正确；
C、原式=x5，故本选项错误；
D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和
法则是解题的关键．
3．（3分）（2017•岳阳）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量
最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用
科学记数法表示为（ ）
A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011 D．39×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
第7页（共24页）【解答】解：39000000000=3.9×1010．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中
1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）（2017•岳阳）下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别分析圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、左视图、俯视图，从而得出
结论．
【解答】解：∵球的主视图、左视图、俯视图都是圆，
∴主视图、左视图、俯视图都相同的是B，
故选B．
【点评】本题考查三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，是解决问题的关键．
5．（3分）（2017•岳阳）从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数
的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据有理数的定义可找出在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为
有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．
【解答】解：∵在 ，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从 ，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 ．
故选C．
【点评】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有
理数的个数是解题的关键．
6．（3分）（2017•岳阳）解分式方程 ﹣ =1，可知方程的解为（ ）
第8页（共24页）A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解
【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．
【解答】解：去分母得：
2﹣2x=x﹣1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．
7．（3分）（2017•岳阳）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（ ）
A．0B．2C．4D．6
【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而
可以求得21+22+23+24+…+22017的末位数字．本题得以解决．
【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴2017÷4=506…1，
∵（2+4+8+6）×506+2=10122，
∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，
故选B．
【点评】本题考查尾数特征，解答本题的关键是发现题目中的尾数的变化规律，求
出相应的式子的末位数字．
8．（3分）（2017•岳阳）已知点A在函数y =﹣（x＞0）的图象上，点B在直线
1
y =kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数
2
y ，y 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情
1 2
况为（ ）
A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对
【分析】根据“友好点”的定义知，函数y 图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点
1
B（﹣a，）一定位于直线y 上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）
2
（ka﹣1）=0，据此可得答案．
第9页（共24页）【解答】解：设A（a，﹣ ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a， ）在直线y =kx+1+k上，
2
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0或ka﹣1=0，
则a=1或ka﹣1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只
有1对；
若k≠0，则a=1或a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好
点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标
将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解
是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
9．（4分）（2017•岳阳）函数y= 中自变量x的取值范围是 x ≠ 7 ．
【分析】根据分母不为零，即可解决问题．
【解答】解：函数y= 中自变量x的范围是x≠7．
故答案为x≠7
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知道分母不能为零是解题的关键．
10．（4分）（2017•岳阳）因式分解：x2﹣6x+9= （ x﹣3 ） 2 ．
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关
键．
第10页（共24页）11．（4分）（2017•岳阳）在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了
抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数
是 9 2 ，众数是 9 5 ．
【分析】环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综
合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数．
【解答】解：这组数据从小到大排列为：83，85，90，92，95，95，96．则中位数是：
92；
众数是95．
故答案是：92，95．
【点评】本题考查了众数、中位数的定义，注意中位数是大小处于中间未知的数，
首先把数从小到大排列．
12．（4分）（2017•岳阳）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，
∠OPD=30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 60 ° ．
【分析】根据直角三角形的内角和，求得∠O，再根据平行线的性质，即可得到
∠MPQ．
【解答】解：∵PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，
∴Rt△OPD中，∠O=60°，
又∵PQ∥ON，
∴∠MPQ=∠O=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，
同位角相等．
13．（4分）（2017•岳阳）不等式组 的解集是 x ＜ ﹣ 3 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
第11页（共24页）【解答】解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜﹣3，
∴不等式组的解集为x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的
解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
14．（4分）（2017•岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣
4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 2 ．
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角
形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2 ，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长= AC=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性
质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
15．（4分）（2017•岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆
内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近
似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6
时，π≈ = =3，那么当n=12时，π≈ = 3.11 ．（结果精确到0.01，参考数据：
sin15°=cos75°≈0.259）
第12页（共24页）【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助
线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得 L=24r•sin15°，
d=2r，进而得到π≈ ≈3.11．
【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，
其顶角为30°，即∠AOB=30°，
作OH⊥AB于点H，则∠AOH=15°，
∵AO=BO=r，
∵Rt△AOH中，sin∠AOH= ，即sin15°= ，
∴AH=r×sin15°，AB=2AH=2r×sin15°，
∴L=12×2r×sin15°=24r×sin15°，
又∵d=2r，
∴π≈ = ≈3.11，
故答案为：3.11
【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成n
（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多
边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
16．（4分）（2017•岳阳）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧 上
任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交
第13页（共24页）BQ于点D，下列结论正确的是 ②③④ ．（写出所有正确结论的序号）
①若∠PAB=30°，则弧 的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在弧 上的位置如何变化，CP•CQ为定值．
【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧 的长；②根据切线的性质以及垂径
定理，即可得到 = ，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是
等边三角形，据此即可得出 PD=6 ；④判定△ACP∽△QCA，即可得到 = ，即
CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ为定值．
【解答】解：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧 的长为 =2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴ = ，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
第14页（共24页）∴PD= OP=6 ，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴ = ，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧
长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直
弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17．（6分）（2017•岳阳）计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣2）0﹣（ ）﹣1．
【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法
则、绝对值的性质进行化简，计算即可．
【解答】解：原式=2× +3﹣ +1﹣2
=2．
【点评】本题考查的是实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的运
算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解题的关键．
18．（6分）（2017•岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和
求证，并写出证明过程．
已知：如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O， AC ⊥ BD ．
第15页（共24页）求证： 四边形 ABCD 是菱形 ．
【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段
BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形．
【解答】已知：如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．
【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质
证得AB=AD是解题的关键．
19．（8分）（2017•岳阳）如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象
限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．
【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；
第16页（共24页）（2）先根据直线解析式得到BO=CO=1，再根据△BCP的面积等于2，即可得到P的
坐标．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入双曲线y= ，可得k=2，
∴双曲线的解析式为y= ；
把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，
∴直线的解析式为y=x+1；
（2）设P点的坐标为（x，0），
在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，
∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，
∵△BCP的面积等于2，
∴ BP×CO=2，即 |x﹣（﹣1）|×1=2，
解得x=3或﹣5，
∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函
数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
20．（8分）（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包
寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的 ，结果打了16
个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起
刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次
方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这批书共有3x本，
根据题意得： = ，
第17页（共24页）解得：x=500，
∴3x=1500．
答：这批书共有1500本．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等．列出关于x的
一元一次方程是解题的关键．
21．（8分）（2017•岳阳）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校
园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读
时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 频率
0＜t≤2 2 0.04
2＜t≤4 3 0.06
4＜t≤6 15 0.30
6＜t≤8 a 0.50
t＞8 5 b
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的a= 2 5 ，b= 0.10 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计
该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？
【分析】（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b的
值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：2÷0.04=50（人），
第18页（共24页）则a=50﹣（2+3+15+5）=25；b=5÷50=0.10；
故答案为：25；0.10；
（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×0.10=200（人），
则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．
【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题
中的数据是解本题的关键．
22．（8分）（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热
水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，
∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．
（1）求支架CD的长；
（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
【分析】（1）在Rt△CDE中，根据∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的长是多少
即可．
（2）首先在Rt△OAC中，根据∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的长是多少，进而求
出OD的长是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB的长是多
少．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，
∴CD=80×cos30°=80× =40 （cm）．
第19页（共24页）（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，
∴OC=AC×tan30°=165× =55 （cm），
∴OD=OC﹣CD=55 ﹣40 =15 （cm），
∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55 ×2﹣15 =95 （cm）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象
为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
23．（10分）（2017•岳阳）问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直
线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记
△ADM的面积为S ，△BND的面积为S ．
1 2
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，
AD=2时，则S •S = 1 2 ；
1 2
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D
旋转至如图②所示位置，求S •S 的值；
1 2
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S •S 的表达式（结果
1 2
用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S •S 的
1 2
表达式，不必写出解答过程．
【分析】（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S = •22= ，S = •（4）
1 2
2=4 ，由此即可解决问题；
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得 = ，推出 = ，推出
xy=8，由S = •AD•AM•sin60°= x，S = DB•sin60°= y，可得S •S = x• y= xy=12；
1 2 1 2
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S =
1
第20页（共24页）•AD•AM•sinα= axsinα，S = DB•BN•sinα= bysinα，可得S •S = （ab）2sin2α．
2 1 2
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S = •22= ，S = •（4）2=4 ，
1 2
∴S •S =12，
1 2
故答案为12．
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．
∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴ = ，
∴ = ，
∴xy=8，
∵S = •AD•AM•sin60°= x，S = DB•sin60°= y，
1 2
第21页（共24页）∴S •S = x• y= xy=12．
1 2
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S = •AD•AM•sinα= axsinα，S = DB•BN•sinα= bysinα，
1 2
∴S •S = （ab）2sin2α．
1 2
Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S = •AD•AM•sinα= axsinα，S = DB•BN•sinα= bysinα，
1 2
∴S •S = （ab）2sin2α．
1 2
【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似
三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）（2017•岳阳）如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直
线l：y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不
与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，
第22页（共24页）求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若
能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m，m2﹣ m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2，m2﹣ m﹣2），
根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）求得E（0，﹣ ），得到CE= ，设P（m，m2﹣ m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，
列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG=GE，
PG=FG，得到G（0，﹣ ），设P（m，m2﹣ m﹣2），则F（﹣m，m﹣ ），列方程得到此
方程无实数根，于是得到结论．
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得， ，
∴
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2；
（2）设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，PM+PN的最大值是 ；
（3）能，
理由：∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，
∴E（0，﹣ ），
∴CE= ，
设P（m， m2﹣ m﹣2），
若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，
第23页（共24页）①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣ m﹣ ），
∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ，或 m2﹣ m﹣2+ m+ = ，
∴m =1，m =0（舍去），m = ，m = ，
1 2 3 4
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣ ），
设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），
∴ ×（ m2﹣ m﹣2﹣ m﹣ ）=﹣ ，
∴m= ，m=0（舍去），
综上所述，F（1，﹣ ），（ ， ），（ ， ），（ ，﹣ ），以E，C，P，F为顶点的四边
形能构成平行四边形．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的
性质，正确的理解题意是解题的关键．
第24页（共24页）
