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2017 年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2 C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6 D．a12÷a2=a6
3．（3分）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体 C．圆柱D．三棱柱
4．（3分）一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（ ）
A．4和3.5 B．4和3.6 C．5和3.5 D．5和3.6
5．（3分）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩
下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（
）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
6．（3分）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长
第1页（共33页）为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（
）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
7．（3分）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记
本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本
笔记本y元，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹
的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（ ）
A．84株B．88株C．92株D．121株
9．（3分）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺
第2页（共33页）时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于
点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC；
②AM=DE+BM；
③DE2=AD•CM；
④点N为△ABM的外心．
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答
题卡对应题号的横线上．）
11．（3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000人，将数据11
700 000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 事件（从“必然”
“随机”、“不可能”中选一个）．
13．（3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点
D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
14．（3分）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当
AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
15．（3分）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N
（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则
点P的坐标为 ．
第3页（共33页）16．（3分）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A
地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发
至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间
t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车
出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2 h时，两车相遇；④甲车到达C地时，
两车相距40km．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤、文字说明或证明
过程．）
17．（5分）计算：（ ）﹣2﹣（2017﹣π）0+ ﹣|﹣2|．
18．（6分）解分式方程： +1= ．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长
度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y= 的图象于点B，AB= ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P（x ，y ）、Q（x ，y ）是该反比例函数图象上的两点，且x ＜x 时，y ＞y ，指
1 1 2 2 1 2 1 2
出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．
第4页（共33页）20．（7分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔
杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆
顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现
正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰
角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高
BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，
tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
21．（8分）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选
手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：75≤x＜80；B组：
80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100．并绘制出如图
两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；
第5页（共33页）（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比
是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现
要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表
或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O
与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后
的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费
用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第 x
（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时
销售利润最大？
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤） 第1次降价后 第2次降价后的
的价格 价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用 40+3x 3x2﹣64x+400
（元）
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则
第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
24．（10分）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短
的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆
第6页（共33页）拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是
DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 =k（k为大于 的常数），直接用含k的代数式表示 的值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c
（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点
在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2 与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，
点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点
C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
第7页（共33页）（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存
在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共33页）2017 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的）
1．（3分）（2017•随州）﹣2的绝对值是（ ）
A．2B．﹣2 C．D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的
相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2017•随州）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a3）2=a6 D．a12÷a2=a6
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=2a3，不符合题意；
B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C、原式=a6，符合题意；
D、原式=a10，不符合题意，
故选C
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）（2017•随州）如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）
第9页（共33页）A．圆锥B．长方体 C．圆柱D．三棱柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形
【解答】解：这个几何体是圆柱体．
故选C．
【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体
的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和
前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合
生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
4．（3分）（2017•随州）一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（ ）
A．4和3.5 B．4和3.6 C．5和3.5 D．5和3.6
【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照
从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的
数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：2，3，4，4，5，
故这组数据的中位数是：4．
平均数=（2+3+4+4+5）÷5=3.6．
故选B．
【点评】本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题
比较简单，易于掌握．
5．（3分）（2017•随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如
图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的
数学知识是（ ）
第10页（共33页）A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答．
【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩
下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两
点之间线段最短．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
6．（3分）（2017•随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆
心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②
的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为
第11页（共33页）半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于一直角的步骤是解答
此题的关键．
7．（3分）（2017•随州）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅
笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支
铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本共
需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组．
【解答】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元，
根据题意得 ．
故选B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件
列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
8．（3分）（2017•随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图
反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（ ）
A．84株B．88株C．92株D．121株
【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍
药的数量．
【解答】解：由图可得，
芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，
第12页（共33页）∴ 当 n=11 时 ， 芍 药 的 数 量 为 ： 4+ （ 2×11﹣1 ） ×4=4+ （ 22﹣1 ）
×4=4+21×4=4+84=88，
故选B．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目
中图形的变化规律．
9．（3分）（2017•随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程
之间关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： =﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题
意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关
系等知识，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
10．（3分）（2017•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将
△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作
ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM=AD+MC；
②AM=DE+BM；
③DE2=AD•CM；
第13页（共33页）④点N为△ABM的外心．
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出
AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出当AB
＜BC时，AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出
EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是
△ABM的外心．
【解答】解：∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM=MF=MC+CF，
∴AM=MC+AD，故①正确；
当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，
设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，
在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，
解得a=1.5，即BM=1.5，
∴由勾股定理可得AM=2.5，
∴DE+BM=2.5=AM，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
第14页（共33页）∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=AD•CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，
∴AM是△ABM的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
∴当BM∥AD时， = ＜1，
∴N不是AM的中点，
∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩
形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应
边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三
角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的
距离相等．
二、填空题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答
题卡对应题号的横线上．）
11．（3分）（2017•随州）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11 700 000
人，将数据11 700 000用科学记数法表示为 1.17 × 1 0 7 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
【解答】解：11700000=1.17×107．
故答案为：1.17×107．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中
第15页（共33页）1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12．（3分）（2017•随州）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机 事
件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，
故答案为：随机．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随
机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在
一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
13．（3分）（2017•随州）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O
上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=
35 度．
【分析】首先利用垂径定理证明， = ，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC=
AOC=35°．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= AOC=35°，
故答案为35．
第16页（共33页）【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，用转化的思想思考问题．
14．（3分）（2017•随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E
在边AC上，当AE= 或 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 = 或 = ，分情况进行讨论
后即可求出AE的长度．
【解答】解：当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE= = = ；
当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE= = = ；
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的
关键是分两种情况进行讨论．
15．（3分）（2017•随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的
一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使
PM+PN最小，则点P的坐标为 （ ， ） ．
第17页（共33页）【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由
作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三
角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM+PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（3，0），
∴ON=3，
∵点M是ON的中点，
∴OM=1.5，
∴PM= ，
∴P（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三
第18页（共33页）角形，关键是确定P的位置．
16．（3分）（2017•随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地
之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A
地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）
与甲车行驶时间（t h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两
车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2 h时，两车相遇；④
甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是 ②③④ （填写所有正确结论
的序号）．
【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，
即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根
据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③
根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2 h时，两车相遇，结论③正确；④结合
函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即
可得出结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；
②甲车的速度为240÷4=60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）=1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；
③∵（240+200﹣60）÷（60+80）=2 （h），
∴乙车出发2 h时，两车相遇，结论③正确；
④∵80×（4﹣3.5）=40（km），
第19页（共33页）∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是
解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出必要演算步骤、文字说明或证明
过程．）
17．（5分）（2017•随州）计算：（ ）﹣2﹣（2017﹣π）0+ ﹣|﹣2|．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代
数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：原式=9﹣1+3﹣2=9．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
18．（6分）（2017•随州）解分式方程： +1= ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3+x2﹣x=x2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（6分）（2017•随州）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平
移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y= 的图象于点
B，AB= ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P（x ，y ）、Q（x ，y ）是该反比例函数图象上的两点，且x ＜x 时，y ＞y ，指
1 1 2 2 1 2 1 2
出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．
第20页（共33页）【分析】（1）求出点B坐标即可解决问题；
（2）结论：P在第二象限，Q在第四象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意B（﹣2， ），
把B（﹣2， ）代入y= 中，得到k=﹣3，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
（2）结论：P在第二象限，Q在第四象限．
理由：∵k=﹣3＜0，
∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，
∵P（x ，y ）、Q（x ，y ）是该反比例函数图象上的两点，且x ＜x 时，y ＞y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴P、Q在不同的象限，
∴P在第二象限，Q在第四象限．
【点评】此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）（2017•随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机
组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A
第21页（共33页）处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山
顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直
线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不
计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：
tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
【分析】作 BE⊥DH，知 GH=BE、BG=EH=10，设 AH=x，则 BE=GH=43+x，由
CH=AHtan∠CAH=tan55°•x 知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据 BE=DE 可得关于 x
的方程，解之可得．
【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，
∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH=tan55°•x=1.4×45=63，
答：塔杆CH的高为63米．
第22页（共33页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直
角三角形并解直角三角形．
21．（8分）（2017•随州）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，
初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分），A组：
75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜
100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有 4 0 名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比
是多少？
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现
要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表
或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总
人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以
总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到
一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），
B组有：40×25%=10（人）．
频数分布直方图补充如下：
第23页（共33页）故答案为40；
（2）C组对应的圆心角度数是：360°× =108°，
E组人数占参赛选手的百分比是： ×100%=15%；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为 = ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识
点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2017•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经
过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余
角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到
第24页（共33页）∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，根据勾股定
理得到BD=OD= ，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴2（x+1）2=（ x+x）2，
∴x= ，
∴BD=OD= ，
∴图中阴影部分的面积=S ﹣S = ﹣ =1﹣ ．
△BOD 扇形DOE
【点评】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定
理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
第25页（共33页）23．（10分）（2017•随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经
过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费
用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第 x
（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时
销售利润最大？
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤） 第1次降价后 第2次降价后的
的价格 价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用 40+3x 3x2﹣64x+400
（元）
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则
第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次
降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价
﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）
中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2=8.1，
x=10%或x=190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，
∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=1时，y有最大值，
第26页（共33页）y =﹣17.7×1+352=334.3（元），
大
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y有最大值，
y =380（元），
大
综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y= ，
第10天时销售利润最大；
（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，
由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），
252.5≤105（4﹣a）﹣115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是
正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个
取值中的最大值才是最大利润．
24．（10分）（2017•随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平
行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆
拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是
DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 =k（k为大于 的常数），直接用含k的代数式表示 的值．
第27页（共33页）【分析】（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得
AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可
根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行
线分线段成比例定理得到 = =1，所以DM=EM；
（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明
四边形ABCD为正方形得到AC= a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+
b，则NE=NF+EF=2a+ b，然后计算 的值；
（4）利用 = =k得到 = ，则 = = • +1= ．
【解答】解：（1）如图1，
证法一：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠CDM=∠FEM，
在△CDM和△FEM中
，
∴△CDM≌△FEM，
∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
证法二：∵四边形ABCD为菱形，
∴DH=BH，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴AF∥BE，
第28页（共33页）∵HM∥BE，
∴ = =1，
∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
（2）∵△CDM≌△FEM，
∴CM=FM，
设AD=a，CM=b，
∵∠ABE=135°，
∴∠BAF=45°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠NAF=45°，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC= AD= a，
∵AB∥EF，
∴∠AFN=∠BAF=45°，
∴△ANF为等腰直角三角形，
∴NF= AF= （ a+b+b）=a+ b，
∴NE=NF+EF=a+ b+a=2a+ b，
∴ = = = ；
（4）∵ = = +2• =k，
∴ = （k﹣ ），
∴ = ，
∴ = = • +1= • +1= ．
【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握平行线分线段成比例定理、平行四
边形和菱形的性质；灵活利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代
数法表示线段之间的关系．
25．（12分）（2017•随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线
y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有
一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
第29页（共33页）已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2 与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 y=﹣ x + ，点A的坐标为
（﹣ 2 ， 2 ） ，点B的坐标为 （ 1 ， 0 ） ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点
C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存
在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式
可求得A、B的坐标；
（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，
则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作
NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的
长，则可求得N点坐标；
（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点
K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点
坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），
由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析
式可求得t的值，可求得E、F的坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣ x2﹣ x+2 ，
第30页（共33页）∴其梦想直线的解析式为y=﹣ x+ ，
联立梦想直线与抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴A（﹣2，2 ），B（1，0），
故答案为：y=﹣ x+ ；（﹣2，2 ）；（1，0）；
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在y=﹣ x2﹣ x+2 中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，
∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），
∴AC= = ，
由翻折的性质可知AN=AC= ，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，
∵OD=2 ，
∴ON=2 ﹣3或ON=2 +3，
当ON=2 +3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2 ﹣3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
第31页（共33页）在Rt△AMD中，AD=2，OD=2 ，
∴tan∠DAM= = ，
∴∠DAM=60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
∴MP= MN= ，NP= MN= ，
∴此时N点坐标为（ ， ）；
综上可知N点坐标为（0，2 ﹣3）或（ ， ）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x
轴于点K，
则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ACK=∠EFH，
第32页（共33页）在△ACK和△EFH中
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH=CK=1，HE=AK=2 ，
∵抛物线对称轴为x=﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0， ），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2 ﹣ = ，即E点纵坐标为﹣ ，
∴E（﹣1，﹣ ）；
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2 ），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5， ），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2 ，
∴x=﹣4，y=2 ﹣t，
代入直线AB解析式可得2 ﹣t=﹣ ×（﹣4）+ ，解得t=﹣ ，
∴E（﹣1，﹣ ），F（﹣4， ）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣ ）、F（﹣
4， ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的
性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中
梦想直线的定义是解题的关键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON的长是解题
的关键，在（3）中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知
识点较多，综合性较强，难度较大．
第33页（共33页）
