文档内容
2017 年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在数1，0，﹣1，﹣2中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0D．1
2．（3分）计算a2•a3，正确结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
3．（3分）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是
（ ）
A．俯视图与主视图相同B．左视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三个视图都相同
4．（3分）根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35（微克/立方米）
的空气质量等级为优．将环保部门对我市 PM2.5一周的检测数据制作成如下统
计表，这组PM2.5数据的中位数是（ ）
天数 3 1 1 1 1
PM2.5 18 20 21 29 30
A．21微克/立方米 B．20微克/立方米
C．19微克/立方米 D．18微克/立方米
5．（3分）化简 + 的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1D．
6．（3分）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（
）
A．m≥2B．m＞2C．m＜2D．m≤2
7．（3分）如图，在 ▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（
）
第1页（共26页）A．B．2C．2 D．4
8．（3分）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的
方法是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
9．（3分）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分
的面积是（ ）
A． B． ﹣2 C． D． ﹣
10．（3分）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，
图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关
系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早 小时
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：m2+2m= ．
第2页（共26页）12．（4分）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
13．（4分）已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为 ．
14．（4分）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并
涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
15．（4分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，
后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，
正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，
B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23
题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：（﹣2017）0﹣（ ）﹣1+ ．
第3页（共26页）18．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
19．（6 分）如图是某小区的一个健身器材，已知 BC=0.15m，AB=2.70m，
∠BOD=70°，求端点 A 到地面 CD 的距离（精确到 0.1m）．（参考数据：
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
20．（8分）在全体丽水人民的努力下，我市剿灭劣V类水“河道清淤”工程取得
了阶段性成果，如表是全市十个县（市、区）指标任务数的统计表；如图是截止
2017年3月31日和截止5月4日，全市十个县（市、区）指标任务累计完成数的
统计图．
全市十个县（市、区）指标任务数统计表
县（市、区） 任务数（万方）
A 25
B 25
C 20
D 12
E 13
F 25
G 16
H 25
I 11
J 28
合计 200
第4页（共26页）（1）截止3月31日，完成进度（完成进度=累计完成数÷任务数×100%）最快、最
慢的县（市、区）分别是哪一个？
（2）求截止5月4日全市的完成进度；
（3）请结合图表信息和数据分析，对Ⅰ县完成指标任务的行动过程和成果进行评
价．
21．（8分）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车
行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．
根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（t 小时）的函数
表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明
理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切
线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
23．（10分）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线
A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，
当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积
为y（cm2），y关于x的函数图象由C ，C 两段组成，如图2所示．
1 2
第5页（共26页）（1）求a的值；
（2）求图2中图象C 段的函数表达式；
2
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任
意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关
于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作
GF⊥AF交AD于点G，设 =n．
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
第6页（共26页）2017 年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•丽水）在数1，0，﹣1，﹣2中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0D．1
【分析】根据有理数大小比较的规律即可得出答案．
【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜1，
所以最大的数是1，
故选D．
【点评】本题考查了有理数大小比较的方法．
（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．（2）正数大
于0，负数小于0，正数大于负数．（3）两个正数中绝对值大的数大．（4）两个负数
中绝对值大的反而小．
2．（3分）（2017•丽水）计算a2•a3，正确结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：a2•a3=a2+3=a5，
故选A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不
变，指数相加是解题的关键．
3．（3分）（2017•丽水）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的
说法正确的是（ ）
第7页（共26页）A．俯视图与主视图相同B．左视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三个视图都相同
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上
面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A错误；
B、左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，
所以B正确；
C、左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C错误；
D、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边
看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4．（3分）（2017•丽水）根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35
（微克/立方米）的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据
制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是（ ）
天数 3 1 1 1 1
PM2.5 18 20 21 29 30
A．21微克/立方米 B．20微克/立方米
C．19微克/立方米 D．18微克/立方米
【分析】按大小顺序排列这组数据，最中间那个数是中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：18，18，18，20，21，29，30，位置处于最中间的
数是：20，
所以组数据的中位数是20．
故选B．
【点评】此题主要考查了中位数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据
第8页（共26页）奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如
果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）（2017•丽水）化简 + 的结果是（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x2﹣1D．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣ = = =x+1，
故选A
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）（2017•丽水）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的
取值范围是（ ）
A．m≥2B．m＞2C．m＜2D．m≤2
【分析】根据方程的解为负数得出m﹣2＜0，解之即可得．
【解答】解：∵程x﹣m+2=0的解是负数，
∴x=m﹣2＜0，
解得：m＜2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出
不等式是解题的关键．
7．（3分）（2017•丽水）如图，在 ▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则
BC的长是（ ）
A．B．2C．2 D．4
【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
第9页（共26页）∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD= =2 ；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；
熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．
8．（3分）（2017•丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过
点A（1，4）的方法是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：A、平移后，得y=（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意；
B、平移后，得y=（x﹣3）2，图象经过A点，故B不符合题意；
C、平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D、平移后，得y=x2﹣1图象不经过A点，故D符合题意；
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．
9．（3分）（2017•丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则
图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． ﹣2 C． D． ﹣
【分析】连接OC，根据已知条件得到∠ACB=90°，∠AOC=30°，∠COB=120°，解直角
三角形得到AB=2AO=4，BC=2 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
第10页（共26页）∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴∠ACB=90°，∠AOC=60°，∠COB=120°，
∴∠ABC=30°，
∵AC=2，
∴AB=2AO=4，BC=2 ，
∴OC=OB=2，
∴阴影部分的面积=S ﹣S = ﹣ ×2 ×1= π﹣ ，
扇形 △OBC
故选A．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于
扇形OCD的面积是解题关键．
10．（3分）（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，
乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小
时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早 小时
【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．
【解答】解：A、由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；
B、∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，
故乙行驶全程所用时间为： =1 （小时），
第11页（共26页）由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，
故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5=1.25（小时），
故甲车的速度为： =80（km/h），
故B选项正确，不合题意；
C、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：
60km，40+60=100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；
D、由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1 =（小时），故此选项错误，
符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键正确理解函
数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的
相应解决．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2017•丽水）分解因式：m2+2m= m （ m + 2 ） ．
【分析】根据提取公因式法即可求出答案．
【解答】解：原式=m（m+2）
故答案为：m（m+2）
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础
题型．
12．（4分）（2017•丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 100 °
．
【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等
解答．
【解答】解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100°的角是顶角是
解题的关键．
第12页（共26页）13．（4分）（2017•丽水）已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为 2 ．
【分析】原式后两项提取﹣1变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2+a=1，
∴原式=3﹣（a2+a）=3﹣1=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
14．（4分）（2017•丽水）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个
小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，
黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：= ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确得出符合题意的位置是解题
关键．
15．（4分）（2017•丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一
幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD
的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 10
．
第13页（共26页）【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进
一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形 EFGH的面积，
进一步求出正方形EFGH的边长．
【解答】解：（14×14﹣2×2）÷8
=（196﹣4）÷8
=192÷8
=24，
24×4+2×2
=96+4
=100，
=10．
答：正方形EFGH的边长为10．
故答案为：10．
【点评】考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和
差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
16．（4分）（2017•丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x
轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 1 2 ．
第14页（共26页）【分析】（1）把点C的坐标代入函数解析式求得m的值；然后结合一次函数解析
式求得A、B的坐标，然后利用等积法求得点O到直线AB的距离是 ；
（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进
行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题
意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．
【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，
所以直线AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2）．
∴OB=OA=2，AB=2 ．
设点O到直线AB的距离为d，
由S = OA2= AB•d，得
△OAB
4=2 d，
则d= ．
故答案是： ．
（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，
由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA=OB，
则∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA=∠ABO=45°，
所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，
第15页（共26页）所以 = ，即 = ，
解得m=12．
故答案是：12．
【点评】本题考查了一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相
似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，另外，解题时，注意分类讨
论数学思想的应用．
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题每题6分，第20,21题每题8分，第22,23
题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）（2017•丽水）计算：（﹣2017）0﹣（ ）﹣1+ ．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需
要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（﹣2017）0﹣（ ）﹣1+
=1﹣3+3
=1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运
算．
18．（6分）（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x =0，x =4．
1 2
第16页（共26页）【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因
式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方
法．
19．（6分）（2017•丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知 BC=0.15m，
AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决
问题．
【解答】解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，
∵OD⊥CD，∠BOD=70°，
∴AE∥OD，
∴∠A=∠BOD=70°，
在Rt△AFB中，∵AB=2.7，
∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918，
∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m，
答：端点A到地面CD的距离是1.1m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）（2017•丽水）在全体丽水人民的努力下，我市剿灭劣V类水“河道清
第17页（共26页）淤”工程取得了阶段性成果，如表是全市十个县（市、区）指标任务数的统计表；
如图是截止2017年3月31日和截止5月4日，全市十个县（市、区）指标任务累
计完成数的统计图．
全市十个县（市、区）指标任务数统计表
县（市、区） 任务数（万方）
A 25
B 25
C 20
D 12
E 13
F 25
G 16
H 25
I 11
J 28
合计 200
（1）截止3月31日，完成进度（完成进度=累计完成数÷任务数×100%）最快、最
慢的县（市、区）分别是哪一个？
（2）求截止5月4日全市的完成进度；
（3）请结合图表信息和数据分析，对Ⅰ县完成指标任务的行动过程和成果进行评
价．
【分析】（1）利用条形统计图结合表格中数据分别求出C，I两县的完成进度；
（2）利用条形统计图结合表格中数据求出总的完成进度；
（3）可从识图能力、数据分析能力以及综合运用能力分析得出答案．
【解答】解：（1）C县的完全成进度= ×100%=107%；
第18页（共26页）I县的完全成进度= ×100%≈27.3%，
所以截止3月31日，完成进度最快的是C县，完成进度最慢的是I县；
（2）全市的完成进度=（20.5+20.3+27.8+9.6+8.8+17.1+9.6+21.4+11.5+25.2）
÷200×100%
=171.8÷200×100%
=85.9%；
（3）A类（识图能力）：能直接根据统计图的完成任务数对I县作出评价；
B类（数据分析能力）：能结合统计图通过计算完成对I县作出评价，
如：截止5月4日，I县的完成进度= ×100%≈104.5%，超过全市完成进度；
C类（综合运用能力）：能利用两个阶段的完成进度、全市完成进度的排序等方面
对I县作出评价，
如：截止3月31日，I县的完成进度= ×100%≈27.3%，完成进度全市最慢；
截止5月4日，I县的完成进度= ×100%≈104.5%，超过全市完成进度，
104.5%﹣27.3%=77.2%，与其它县（市、区）对比进步幅度最大．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及统计表的综合应用，利用图表获取正确
信息是解题关键．
21．（8分）（2017•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行
销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100
千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（t 小时）的函数
表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明
理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围
【分析】（1）根据表格中数据，可知V是t的反比例函数，设V= ，利用待定系数法
第19页（共26页）求出k即可；
（2）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断；
（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可；
【解答】解：（1）根据表格中数据，可知V= ，
∵v=75时，t=4，
∴k=75×4=300，
∴v= ．
（2）∵10﹣7.5=2.5，
∴t=2.5时，v= =120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
（3）∵3.5≤t≤4，
∴75≤v≤ ，
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤ ．
【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
22．（10分）（2017•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交
AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC= =12，设BD=x，在Rt△BDC中，
第20页（共26页）BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程
即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴AE=EC，
∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC= =12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，
解得x=9，
∴BC= =15．
第21页（共26页）【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）（2017•丽水）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s
的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q
两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），
△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C ，C 两段组成，如图2所示．
1 2
（1）求a的值；
（2）求图2中图象C 段的函数表达式；
2
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任
意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．
【分析】（1）作PD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得到PD= AP=x，根据三角形
的面积公式得到函数解析式，代入计算；
（2）根据当x=4时，y= ，求出sinB，得到图象C 段的函数表达式；
2
（3）求出y= x2的最大值，根据二次函数的性质计算即可．
【解答】解：（1）如图1，作PD⊥AB于D，
∵∠A=30°，
∴PD= AP=x，
第22页（共26页）∴y= AQ•PD= ax2，
由图象可知，当x=1时，y= ，
∴ ×a×12= ，
解得，a=1；
（2）如图2，
由（1）知，点Q的速度是1cm/s，
∵AC+BC＜2AB，而点P的速度时2cm/s，所以点P先到达B点，
作PD⊥AB于D，
由图象可知，PB=5×2﹣2x=10﹣2x，
PD=PB•sinB=（10﹣2x）•sinB，
∴y= ×AQ×PD= x×（10﹣2x）•sinB，
∵当x=4时，y= ，
∴ ×4×（10﹣2×4）•sinB= ，
解得，sinB= ，
∴y= x×（10﹣2x）× =﹣ x2+ x；
（3） x2=﹣ x2+ x，
解得，x =0，x =2，
1 2
由图象可知，当x=2时，y= x2有最大值，最大值是 ×22=2，
﹣ x2+ x=2，
解得，x =3，x =2，
1 2
∴当2＜x＜3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线
段AC上任意一点时△APQ的面积．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算、二次函数的解析式的确定、二次函数的
第23页（共26页）性质，根据图象确定x的运动时间与面积的关系是解题的关键．
24．（12分）（2017•丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结
BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过
点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n．
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
【分析】（1）直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG，即可得出EG=EF，代换
即可；
（2）先判断出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论；
（3）先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°，分两种情况建立方程求解即可．
【解答】解：设AE=a，则AD=na，
（1）由对称知，AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AF，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG；
（2）如图1，当点F落在AC上时，
由对称知，BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
∵∠BAE=∠D=90°，
第24页（共26页）∴△ABE∽△DAC，
∴ ，∵AB=DC，
∴AB2=AD•AE=na2，
∵AB＞0，
∴AB= a，
∴ ；
（3）若AD=4AB，则AB= a，
如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时 a=a，
∴n=4，
∴当点F落在矩形内部时，n＞4，
∵点F落在矩形内部，点G在AD上，
∴∠FCG＜∠BCD，
∴∠FCG＜90°，
①当∠CFG=90°时，
如图3，则点F落在AC上，
由（2）得， ，
∴n=16，
②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DGC，
∴ ，
∴AB•DC=DG•AE，
∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=（n﹣2）a，
∴（ a）2=（n﹣2）a•a，
∴n=8+4 或n=8﹣4 （舍），
∴当n=16或n=8+4 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．
第25页（共26页）【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似
三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出EG=EF，解（2）的关键是判断出
△ABE∽△DAC，解（3）的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题，是一道中考
常考题．
第26页（共26页）
