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2017 年浙江省杭州市中考数学试卷
一．选择题
1．（3分）﹣22=（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2D．4
2．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科
学记数法表示为（ ）
A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×107
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（
）
A． B． C． D．
4．（3分）|1+ |+|1﹣ |=（ ）
A．1B．C．2D．2
5．（3分）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若 ，则2x=3y
6．（3分）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C． ＜﹣1 D．﹣2x＜12
7．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为
16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB
和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l ，l ，侧面积分别记作S ，
1 2 1
S ，则（ ）
2
第1页（共24页）A．l ：l =1：2，S ：S =1：2 B．l ：l =1：4，S ：S =1：2
1 2 1 2 1 2 1 2
C．l ：l =1：2，S ：S =1：4 D．l ：l =1：4，S ：S =1：4
1 2 1 2 1 2 1 2
9．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴
（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平
分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
二．填空题
11．（4分）数据2，2，3，4，5的中位数是 ．
12．（4分）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=
．
第2页（共24页）13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个
是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出
一个球，则两次摸出都是红球的概率是 ．
14．（4分）若 •|m|= ，则m= ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，
AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于 ．
16．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6
元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二
天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉 千克．（用含t的代数式表示．）
三．解答题
17．（6分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行
跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组
含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
组别（m） 频数
1.09～1.19 8
1.19～1.29 12
1.29～1.39 A
1.39～1.49 10
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；
第3页（共24页）（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上
的人数．
18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图
象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
19．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点
G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
20．（10分）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的
另一边长为3．
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为
圆圆和方方的说法对吗？为什么？
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），
第4页（共24页）GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y =（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
1
（1）若函数y 的图象经过点（1，﹣2），求函数y 的表达式；
1 1
（2）若一次函数y =ax+b的图象与y 的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满
2 1
足的关系式；
（3）已知点P（x ，m）和Q（1，n）在函数y 的图象上，若m＜n，求x 的取值范围．
0 1 0
23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），
点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交
于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ 30° 40° 50° 60°
β 120° 130° 140° 150°
γ 150° 140° 130° 120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
第5页（共24页）2017 年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（3分）（2017•杭州）﹣22=（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2D．4
【分析】根据幂的乘方的运算法则求解．
【解答】解：﹣22=﹣4，
故选B．
【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．
2．（3分）（2017•杭州）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150
000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：将150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108．
故选A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若
BD=2AD，则（ ）
第6页（共24页）A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴ = = = ，
则 = ，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题
关键．
4．（3分）（2017•杭州）|1+ |+|1﹣ |=（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：原式1+ + ﹣1=2 ，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．
5．（3分）（2017•杭州）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若 ，则2x=3y
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
第7页（共24页）D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题
关键．
6．（3分）（2017•杭州）若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C． ＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据 ＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题
的关键．
7．（3分）（2017•杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人
次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×
（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2=16.8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，
变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
第8页（共24页）8．（3分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分
别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l ，l ，侧面积
1 2
分别记作S ，S ，则（ ）
1 2
A．l ：l =1：2，S ：S =1：2 B．l ：l =1：4，S ：S =1：2
1 2 1 2 1 2 1 2
C．l ：l =1：2，S ：S =1：4 D．l ：l =1：4，S ：S =1：4
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据圆的周长分别计算l ，l ，再由扇形的面积公式计算S ，S ，求比值即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵l =2π×BC=2π，
1
l =2π×AB=4π，
2
∴l ：l =1：2，
1 2
∵S = ×2π× = π，
1
S = ×4π× =2 π，
2
∴S ：S =1：2，
1 2
故选A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积= lr求解是解
题的关键．
9．（3分）（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的
图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】解：由对称轴，得
b=﹣2a．
（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，
第9页（共24页）当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．
当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b（m﹣1）a﹣2a=（m﹣1）a＞0．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题
关键．
10．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段
BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线
求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求
出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴ = =y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
第10页（共24页）∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM= CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2=9，
故选B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角
三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
二．填空题
11．（4分）（2017•杭州）数据2，2，3，4，5的中位数是 3 ．
【分析】根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中
间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．
【解答】解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，
位于最中间的数是3，
则这组数的中位数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据
奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如
果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12．（4分）（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，
则∠ATB= 50 ° ．
第11页（共24页）【分析】根据切线的性质即可求出答案．
【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=50°，
故答案为：50°
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，本
题属于基础题型．
13．（4分）（2017•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不
同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，
再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是 ．
【分析】根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都
是红球的情况个数，即可求出所求的概率大小．
【解答】解：根据题意画出相应的树状图，
所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，
∴两次摸出都是红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法与树状图，根据题意画出相应的树状图是解本题的关
键．
第12页（共24页）14．（4分）（2017•杭州）若 •|m|= ，则m= 3 或﹣ 1 ．
【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．
【解答】解：由题意得，
m﹣1≠0，
则m≠1，
（m﹣3）•|m|=m﹣3，
∴（m﹣3）•（|m|﹣1）=0，
∴m=3或m=±1，
∵m≠1，
∴m=3或m=﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【点评】本题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题
的关键．
15．（4分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在
边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于 7 8 ．
【分析】由勾股定理求出 BC= =25，求出△ABC 的面积=150，证明
△CDE∽△CBA，得出 ，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关
系即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC= =25，△ABC的面积= AB•AC= ×15×20=150，
∵AD=5，
∴CD=AC﹣AD=15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵∠C=∠C，
第13页（共24页）∴△CDE∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：CE=12，
∴BE=BC﹣CE=13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，
∴△ABE的面积= ×150=78；
故答案为：78．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌
握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键
16．（4分）（2017•杭州）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第
二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．
若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉 30﹣ 千克．（用含t的代数
式表示．）
【分析】设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天
的销售额为270元列出方程，求出x即可．
【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，
根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，
则x= =30﹣ ，
故答案为：30﹣ ．
【点评】本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列
出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．
三．解答题
17．（6分）（2017•杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级
50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频
数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
组别（m） 频数
1.09～1.19 8
第14页（共24页）1.19～1.29 12
1.29～1.39 A
1.39～1.49 10
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；
（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上
的人数．
【分析】（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值；
（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，
；
（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500× =300（人）．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题．也考查了样本估计总体．
18．（8分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，
且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
第15页（共24页）（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（1）利用一次函数增减性得出即可．
（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．
【解答】解：设解析式为：y=kx+b，
将（1，0），（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；
（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，
把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=﹣2m+2，
∵m﹣n=4，
∴m﹣（﹣2m+2）=4，
解得m=2，n=﹣2，
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标
特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
19．（8分）（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，
AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
第16页（共24页）【分析】（1）由于 AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明
∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC， ，又易证△EAF∽△CAG，所以 ，从而可知 ．
【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴ =
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴ ，
∴ =
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，
本题属于中等题型．
20．（10分）（2017•杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长
为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为
圆圆和方方的说法对吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用
y≥3得出x的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
第17页（共24页）【解答】解：（1）①由题意可得：xy=3，
则y= ；
②当y≥3时， ≥3
解得：x≤1，
故x的取值范围是：0＜x≤1；
（2）∵一个矩形的周长为6，
∴x+y=3，
∴x+ =3，
整理得：x2﹣3x+3=0，
∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x+y=5，
∴x+ =5，
整理得：x2﹣5x+3=0，
∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，
∴矩形的周长可能是10，
所以方方的说法对．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y
与x之间的关系是解题关键．
21．（10分）（2017•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点
B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
第18页（共24页）【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出
GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作 BN⊥AG 于 N，在 BN 上截取一点 M，使得 AM=BM．设 AN=x．易证
AM=BM=2x，MN= x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+ x）2，
解得x= ，推出BN= ，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN= x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
第19页（共24页）∴1=x2+（2x+ x）2，
解得x= ，
∴BN= ，
∴BG=BN÷cos30°= + ．
方法二：过点A作AH⊥BG，可以构造两个特殊直角三角形，即可解决问题．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度
的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决
问题，属于中考常考题型．
22．（12分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y =（x+a）（x﹣a﹣1），
1
其中a≠0．
（1）若函数y 的图象经过点（1，﹣2），求函数y 的表达式；
1 1
（2）若一次函数y =ax+b的图象与y 的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满
2 1
足的关系式；
（3）已知点P（x ，m）和Q（1，n）在函数y 的图象上，若m＜n，求x 的取值范围．
0 1 0
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）函数y 的图象经过点（1，﹣2），得
1
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a =﹣2，a =1，
1 2
函数y 的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
1
函数y 的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，
1
综上所述：函数y 的表达式y=x2﹣x﹣2；
1
第20页（共24页）（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x =﹣a，x =a+1，
1 2
y 的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），
1
当y =ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；
2
当y =ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；
2
（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x ≤ ；
0
当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得 ＜x ＜1，
0
综上所述：m＜n，求x 的取值范围0＜x ＜1．
0 0
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数
法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的
性质，要分类讨论，以防遗漏．
23．（12分）（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点
A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与
射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ 30° 40° 50° 60°
β 120° 130° 140° 150°
γ 150° 140° 130° 120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
第21页（共24页）【分析】（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，
可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四
点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；
（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为
△ABC的面积的4倍，所以 ，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出
AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r；
【解答】解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°
连接OB，
∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°﹣2α，
∴2β=360°﹣（180°﹣2α），
∴β=α+90°，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴OE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四点共圆，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
第22页（共24页）∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；
（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，
∴α=45°，β=135°，
∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，
由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，
∴∠BEC=90°，
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，
∴ ，
∴ ，
设CE=3x，AC=x，
由（1）可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，
x= ，
∴BE=CE=3 ，AC= ，
∴AE=AC+CE=4 ，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2=（3 ）2+（4 ）2，
∴AB=5 ，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB2=2r2，
∴r=5，
∴⊙O半径的长为5．
第23页（共24页）【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线
的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
第24页（共24页）
